生活中的對稱及對稱性的刻畫

余永麗

【摘 要】文章通過對一些具體的對稱對象進(jìn)行分析，得到了對對稱的基本特性的認(rèn)識，并給出了對稱的精確刻畫。

【關(guān)鍵詞】對稱 結(jié)構(gòu) 變換

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.04.096

對稱是自然界普遍存在的一種現(xiàn)象，無論是靜止的還是變化事物往往都呈現(xiàn)出各種各樣的對稱性。掌握好對稱的一些基本知識有便于提高人們的審美素質(zhì)，也能在科學(xué)領(lǐng)域里得到廣泛的應(yīng)用，例如對稱的一些基本原理能用于化學(xué)中晶體結(jié)構(gòu)的研究、藝術(shù)中作品的構(gòu)造、生物中物種進(jìn)化研究等等。而對對稱的認(rèn)識往往都只在于表面，文章通過從一些特殊的對稱對象出發(fā)，經(jīng)過循序漸進(jìn)的分析得到了對稱的一般定義。

一、直觀的圖形對稱

形體的對稱在自然界幾乎隨處可見，如樹葉的對稱、蝴蝶的對稱，自然風(fēng)景的對稱等等。對稱總給人以美感，人們欣賞對稱的美，而且對稱也給人的生活帶來很多的方便，于是人們在繪畫創(chuàng)作中追求對稱，在建筑和機(jī)械設(shè)計中都講究對稱美。數(shù)學(xué)作為一門高度抽象了的科學(xué)，在對稱方面的體現(xiàn)更是精確和美麗。人們從小學(xué)到現(xiàn)在所學(xué)的幾何圖形中見得最多的都是對稱的圖形。

不管是在生活中還是在高度抽象的數(shù)學(xué)中，很多對稱都如天平一樣左右關(guān)于某一直線或平面分開而能重合，具體的說：一個物體，即空間構(gòu)形，如果在關(guān)于給定直線E（或平面）的一個反射下變?yōu)槠渥陨?，我們就說它關(guān)于E是對稱的。取垂直于E的任意直線l以及l(fā)上的任意一點(diǎn)P，那么此時在l上（在E的另一邊）就存在一點(diǎn)P‘（也只有這么一點(diǎn)P‘）與E有同樣的距離。僅當(dāng)P在E上，點(diǎn)P‘才與P重合。

關(guān)于E的反射是空間到其自身上的映射ψ：P→P‘，這一映射把任意點(diǎn)P變?yōu)殛P(guān)于E的鏡像P‘（如圖）。用人們的話來說，就是左和右關(guān)于對稱直線（或平面）反射可完全重合，這里左和右是一個相對的概念，即是在人為規(guī)定下得到的，這樣的物體的空間結(jié)構(gòu)兩邊是完全相同的。

那么空間結(jié)構(gòu)又怎樣去描述呢？可以從重合這里開始，重合實(shí)際上是對于任意的兩點(diǎn)A、B∈S在映射ψ作用的前后A、B的距離d（A，B）沒有發(fā)生改變，這樣我們可以看到圖形的對稱實(shí)際上是在反射的作用下保持空間結(jié)構(gòu)不變且回到自身的一種特性。

二、裝飾上的對稱

一個在平移L下不變的圖形顯示了裝飾藝術(shù)中的所謂“無限關(guān)聯(lián)”，即圖案以一定的周期在空間中規(guī)則的重復(fù)，而且我們?nèi)绻汱i為L在相同方向上平移i次，則圖案在L1，L2，L3，…，Ln，…下也是不變的，如果L平移圖案的長度為a，那么Ln平移它的量為na，從這個意義上來說，將直線上的一個給定的具有無限關(guān)聯(lián)的圖案，仍映為其自身的所有平移，就是基本平移a的倍數(shù)na，而且這一周期也可以和反射對稱結(jié)合起來。如果這樣的話，那么相鄰的反射中心之間的距離為1/2a。這樣所謂裝飾中的無限關(guān)聯(lián)就是具有在平移的作用下保持空間結(jié)構(gòu)不變且回到自身的一種特性。

三、抽象的數(shù)式的對稱

類似于圖形的對稱，也可以看到整數(shù)集Z={…，-n，…，-1，0，1，…，n，…}關(guān)于0對稱，有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集等都具有對稱性；

對于Z={…，-n，…，-1，0，1，…，n，…}作映射Ψ1：k→k，（k∈Z），Ψ2：k→-k，（k∈Z），這樣Z在Ψ1，Ψ2的作用下是不變的；

我們所熟悉的n個變元x1，x2，…，xn的n元多項(xiàng)式中也存在著不易發(fā)現(xiàn)的對稱性，如： F（x1，x2，…，xn）=x1+x2+…+xn、f（x1，x2，…，xn）=x1x2…xn ，任意交換xi，xj（1≤i，j≤n）的位置，不改變多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，這類似于在置換：

Ψ：（1，2，…，n）→（i1，i2，…，in），（i1，i2，…，in是1，2，…，n）的一個全排列）的作用下f（x1，x2，…，xn）的結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生改變，為了下面討論的方便記Ψ：（1，2，…，n）→（i1，i2，…，in）= 。

由此可見在很多地方對稱都散發(fā)著它的光彩。

四、對稱的進(jìn)一步歸納

以上的反射、平移、置換都是一個映射。所以對稱就是對象在某個映射下有保持其結(jié)構(gòu)不變且回到自身的一種特性，而對于不同的對象其結(jié)構(gòu)有著不同的含義，在這里只關(guān)注對象在變換下保持不變，其結(jié)構(gòu)的本質(zhì)意義并不是我們所討論的重點(diǎn)內(nèi)容，為了研究的方便，統(tǒng)一把這些結(jié)構(gòu)叫關(guān)系，記作“*”。例如在平面中d（A，B）=A*B.另外上面中的映射都有著他們特殊的性質(zhì)，就是保持結(jié)構(gòu)不變且回到自身，即保持元素間關(guān)系不變，這樣就可以給出如下的定義：

定義1：設(shè)集合M有一個到自身的映射Ψ，M的元素間定義了某種關(guān)系“*”，滿足 ，就稱Ψ是保持了集合的關(guān)系“*”的一一變換。這樣一個集合S的對稱實(shí)際上就可以如下的描述：

定義2：設(shè)M是一個給頂?shù)募?，S是M的一個子集，如果M存在一一變換Ψ（非恒等），使得 ，則稱集合S是對稱的。

可以說S是對稱的，是指S存在一個非恒等一一變換，使得S保持結(jié)構(gòu)不變且回到自身的一種屬性。不對稱集合S對于任意的非恒等一一變換，都不能回到自身。

以上給出了對稱的定義。只要在其變換下保持不變的事物都具有著對稱性，而從上面的例子中可以看到反射、平移、平移后反射、旋轉(zhuǎn)變換下的對稱，但是對稱的形式很多，并不只局限于以上幾種。

參考文獻(xiàn)

[1]魏爾著.對稱性[M].上海：上海翻譯出版社，1990：3.

[2]王仲春等著.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論[M].北京：高等教育出版社，1989：66，67.