等腰三角形一個(gè)重要結(jié)論的證明與應(yīng)用

李修權(quán)

【摘要】教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)探索定理的證明和應(yīng)用，是一個(gè)非常重要的教學(xué)過(guò)程.文章從一個(gè)等腰三角形的結(jié)論出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到積極主動(dòng)探索、合作交流，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、動(dòng)手操作、自主探索等方面得到進(jìn)步與發(fā)展的教學(xué)目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；重要結(jié)論；證明與應(yīng)用；教學(xué)心得

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人.教師的職責(zé)是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)探索、合作交流，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、動(dòng)手操作、自主探索等方面得到進(jìn)步與發(fā)展.

基于這一點(diǎn)，我們從一個(gè)等腰三角形的結(jié)論出發(fā)，讓學(xué)生在探索證明和應(yīng)用的過(guò)程中，以達(dá)到上述目標(biāo).

一個(gè)結(jié)論：等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，P是底邊BC上任一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)B，C）.過(guò)P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，過(guò)B作BD⊥AC于D.求證：BD=PE+PF.

三種證明：利用面積分割法或利用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法求解.

解法一（面積分割法）：

解法三（補(bǔ)短法）：類(lèi)似于截長(zhǎng)法，運(yùn)用全等三角形和矩形的相關(guān)學(xué)生可自行解決.

以上三種證明方法，展現(xiàn)出很多知識(shí)點(diǎn)和解題思想：面積不變性證明恒等式，添加輔助線的方法，構(gòu)造并證明全等三角形，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等等.通過(guò)此證明，開(kāi)拓學(xué)生多方思路，鞏固已學(xué)知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和探索品質(zhì).

實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用

1.矩形中的應(yīng)用：

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF的值為.

解析 由上述結(jié)論可知PE+PF就等于等腰△ABD中BD邊上的高h(yuǎn)，由1[]2AB·AD=1[]2·BD·h，得h=2.4.

2.正方形中的應(yīng)用：

正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，A E=AD，P為BE上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，E重合），PM⊥ AC于M，PN ⊥ AB于N，則PM+PN與AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解析 過(guò)B作BO ⊥AC于O，由上述結(jié)論可知，等腰三角形ABE中，PM+PN=BO，而B(niǎo)O=1[]2AC，所以PM+PN=1[]2AC.

應(yīng)用心得：上面兩個(gè)題的解決，很大程度上得益于我們給出的結(jié)論，雖然圖形有變化，但是，問(wèn)題的本質(zhì)、原型沒(méi)有改變.所以我們應(yīng)善于總結(jié)歸納，把數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的一些聯(lián)系和規(guī)律歸納出來(lái)，在學(xué)習(xí)上必能起到事半功倍的效果.

【參考文獻(xiàn)】

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