漫談《高等數(shù)學》中的指數(shù)函數(shù)ex

段展鵬

【摘要】對以e為底的指數(shù)函數(shù)，指出了其奇偶分解、及其與一元定積分、概率積分、第二類換元積分、級數(shù)展開及歐拉公式等內(nèi)容的聯(lián)系及應(yīng)用雛形，有助于進一步認識該函數(shù)的重要性.

【關(guān)鍵詞】以e為底的指數(shù)函數(shù)；定積分；第二類換元積分法；級數(shù)展開

一、引 言

數(shù)e在1727年由Euler引進用以表記極限值limn→∞1+1nn，后被證明e是超越數(shù).以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex是《高等數(shù)學》中常見的函數(shù)，也是連續(xù)復利等模型的雛形.但是，瀏覽多部教材后發(fā)現(xiàn)，教材對該函數(shù)并未有專門的分析和深入研究.本文就該函數(shù)在高等數(shù)學中與不同部分內(nèi)容的聯(lián)系和作用做一簡單的串聯(lián)，并對其亮點作簡單分析，是為“漫談”.

二、《高等數(shù)學》中的函數(shù)ex

（一）由y=ex的奇偶分解可得shx，chx

ex雖然不具有奇偶性，但ex=12（ex+e-x）+12（ex-e-x）很明確告訴我們：它可以分解為奇偶兩部分.這個思路在信號處理中可以理解為信號的奇偶分離；因此，12（ex+e-x），12（ex-e-x）是值得注意的兩個函數(shù)，實際上它們就是：chx=12（ex+e-x），shx=12（ex-e-x），而且懸鏈線方程可由chx表示.

亮點：從分解的角度引出chx，shx，并解釋為信號的奇偶分離，和實際問題相聯(lián)系.

（二）shx，chx及其反函數(shù)的導數(shù)

y=12（ex+e-x）的反函數(shù)：y=ln（x+x2-1），（x≥1）

y=12（ex-e-x）的反函數(shù)：y=ln（x+x2+1），（x∈R）

顯然：（shx）′=chx，（chx）′=shx；y=ln（x+x2-1），（x>1）的導數(shù)為1x2-1，而y=ln（x+x2+1），（x∈R）導數(shù)為1x2+1.

亮點：其反函數(shù)的導數(shù)是積分中常見的根式.

（三）ex與不定積分的第二類換元法

第二類換元積分中帶有根式的積分是一個難點，基本的積分有如下幾種：∫u2+1du，∫u2-1du，∫1u2+1du及∫1u2-1du.這些積分都可以利用ex或者shx，chx進行換元，如下：

例1 求∫u2+1du.

解 在∫u2+1du中，設(shè)u=12（ex-e-x），則有：

u2+1=12（ex+e-x），du=12（ex+e-x），

∫u2+1du=∫（12（ex+e-x））2dx=18e2x+18e-2x+x2+C=12ex+e-x2ex-e-x2+x2+C=u2u2+1+12ln（u+u2+1）+C.

（四）ex與一元定積分

在一元定積分中，不難知道：∫+∞0tndt（n∈N）是發(fā)散的，而∫+∞0e-ttndt（n∈N）是收斂的，因此，得出：∫+∞0pn（t）dt是發(fā)散的，而∫+∞0e-t·pn（t）dt是收斂的，其中：pn（t）是t的多項式.

這個現(xiàn)象有直接的現(xiàn)實意義：假設(shè)在工程中獲得某些信號的測量數(shù)據(jù)的時間（t）序列值，如果將這些觀測數(shù)據(jù)用多項式擬合，在計算信號能量時就會遇到積分∫+∞0pn（t）dt發(fā)散的問題；為解決該問題，引進一個控制因子e-t，改用pn（t）e-t來擬合，則既可以保持擬合函數(shù)比較好的性質(zhì)，又不會出現(xiàn)積分發(fā)散的情況.若控制因子e-t太強大，為此將其弱化為e-λ·t（λ>0）.而∫+∞1pn（t）e-λtdt（λ>0）是收斂的.實際上，此類積分還可以改進到x的指數(shù)出現(xiàn)某些負數(shù)的情形：Γ（s）=∫+∞0xs-1e-xdx（s>0）也是收斂的，此即是著名的Γ函數(shù).

亮點：串起了廣義積分中兩個常見積分，突出了e-x的控制作用，賦予了應(yīng)用的背景.使學生知曉為何介紹這兩個積分、有什么實際意義.

（五）ex與廣義二重積分

不難知道：x2+y2≤R2x，y≥0e-x2-y2dxdy=∫π20dθ∫R0re-r2dr=π4（1-e-R2）及x2+y2≤R2x，y≥0e-x2-y2dxdy≤0≤x，y≤Re-x2-y2dxdy≤x2+y2≤2R2x，y≥0e-x2-y2dxdy，而0≤x，y≤Re-x2-y2dxdy=（∫R0e-x2dx）2，因此，令R→+∞就可以得到：∫+∞0e-x2dx=π2，從而易知：1π∫+∞-∞e-x2dx=1，此為概率積分，其重要性是非常顯然的.

亮點：和重要的概率積分相聯(lián)系，同時展示了一元廣義積分計算的另一思路.

（六）從證明ex>1+x，（x>0）開始延伸

例2 證明ex>1+x，（x>0）.

證明：記f（x）=ex-（1+x），（x≥0），則該函數(shù)在[0，+∞）上連續(xù)、在（0，+∞）內(nèi)可導，且f′（x）=ex-1，（x>0），因此f′（x）>0，（x>0），從而該函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)增加，從而，當x>0時，f（x）>f（0）=0，得到：f（x）=ex-（1+x）>0，（x>0），故：ex>1+x，（x>0）.

這個例題很平淡，高中學生是可以利用導數(shù)和單調(diào)的知識來證明的.

現(xiàn)在，請考慮：ex>1+x+12x2，（x>0）的證明.

方法如前，只需構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=ex-（1+x+12x2），（x≥0）.并利用ex>1+x，（x>0）來說明這個時候的輔助函數(shù)ex-（1+x+12x2），（x>0）的導數(shù)為正.

現(xiàn)在請學生根據(jù)剛才的推導過程，猜想、提出下一個類似的不等式：

ex>1+x+12x2+13！x3，（x>0），如此，一直下去，得到：

ex>1+x+12x2+…1n！xn，（x>0），取極限可得：ex≥1+x+12x2+…1n！xn+…，（x>0）.所以出現(xiàn)這樣的巧妙結(jié)果，是因為其背后的事實是：ex=1+x+12x2+…1n！xn+…，（x∈R）.

亮點：展示了思維發(fā)散和探索的過程，對學生是較好的示范.

（七）從ex的冪級數(shù)展開到Euler公式

從級數(shù)理論部分不難得知：ex=1+x+12x2+…1n！xn+…，（x∈R），

sinx=x-13！x3+15！x5-17！x7+…，（x∈R），cosx=1-12！x2+14！x4-16！x6+…，（x∈R），實際上，上述結(jié)論可以推廣到：ez=1+z+12z2+…1n！zn+…，（z∈C），因

∑+∞n=0znn！絕對收斂，因此：

eix=1+（ix）+12！（ix）2+13?。╥x）3+14?。╥x）4+15?。╥x）5+…+1n！（ix）n+…=1+ix-12！x2-i13！x3+14！x4+i15！x5+…+1n?。╥x）n+…=cosx+isinx，（x∈R）.

由此得到著名的Euler公式：ei·x=cosx+isinx，（x∈R），進而由此得到象征數(shù)學和諧美的等式：ei·π+1=0.其中1是正整數(shù)，也是實數(shù)的基本單位，i是虛數(shù)的基本單位，0是唯一的中性數(shù)，它們都具有獨特的地位，最具有代表性，可以說，i來源于代數(shù)，π來源于幾何，e來源于分析，它們居然如此和諧地統(tǒng)一在一個式子中[3].

亮點：將ex，sinx，cosx乃至0，1，π聯(lián)系在一起.

三、結(jié)束語

對以e為底的指數(shù)函數(shù)，指出了其奇偶分解可得到雙曲正弦、雙曲余弦，介紹了它在一元定積分、概率積分和第二類換元積分中的作用，其級數(shù)展開與歐拉公式的聯(lián)系.通過這些串聯(lián)重組，更加明晰地揭示了函數(shù)y=ex的重要地位.