實(shí)變函數(shù)課程化難為易的教學(xué)探討

何廣平　雷剛

[摘 要]實(shí)變函數(shù)課程的內(nèi)容抽象復(fù)雜、邏輯嚴(yán)密、習(xí)題難做，相對(duì)于數(shù)學(xué)分析課程來(lái)說(shuō)難度顯著增加了，初學(xué)者普遍感到不易掌握。針對(duì)學(xué)生普遍認(rèn)為實(shí)變函數(shù)課程難學(xué)的實(shí)際情況，探討該課程教學(xué)中化難為易的途徑。用“問(wèn)題”構(gòu)建教學(xué)思路，用幾何直觀和通俗語(yǔ)言描述抽象概念和理論，用“化整為零”對(duì)付復(fù)雜問(wèn)題，都有助于降低課程內(nèi)容的難度。

[關(guān)鍵詞]實(shí)變函數(shù) 教學(xué) 化難為易

[中圖分類號(hào)] G642.3 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2015）05-0093-02

實(shí)變函數(shù)課程的內(nèi)容抽象復(fù)雜、邏輯嚴(yán)密、習(xí)題難做，相對(duì)于數(shù)學(xué)分析課程來(lái)說(shuō)難度顯著增加了，初學(xué)者普遍感到不易掌握。一些教材在序言中還特別指出了這個(gè)問(wèn)題[1]，網(wǎng)上有句流行的調(diào)侃說(shuō)法是“實(shí)變函數(shù)學(xué)十遍”，可見(jiàn)學(xué)習(xí)該課程之艱難困苦狀況。因此，設(shè)法化難為易、降低難度，就成為該課程教學(xué)中一個(gè)繞不開(kāi)的焦點(diǎn)問(wèn)題。為此，我們?cè)谥v授這門(mén)課程中探索了一些教學(xué)處理方法。

一、用“問(wèn)題”構(gòu)建教學(xué)思路

以課程引言的教學(xué)處理為例。開(kāi)始學(xué)習(xí)一門(mén)課程時(shí)，學(xué)生往往關(guān)心這門(mén)課學(xué)什么？為何要學(xué)？怎么學(xué)？這些問(wèn)題需要在課程一開(kāi)始就解決?？梢蚤_(kāi)門(mén)見(jiàn)山的挑明這門(mén)課程的中心任務(wù)就是建立一種新的積分，并且闡明建立新積分的思路。數(shù)學(xué)分析中剛剛學(xué)過(guò)了積分內(nèi)容，為何又要學(xué)新積分？因?yàn)閿?shù)學(xué)分析中的黎曼積分還不夠好，主要是可積函數(shù)范圍不夠大，另外涉及積分極限運(yùn)算的條件苛刻，不能滿足許多理論研究和實(shí)踐應(yīng)用的需要。比如，區(qū)間[0，1]上的狄利克雷函數(shù)D（x），函數(shù)只取0和1兩個(gè)值，從值域角度看函數(shù)夠簡(jiǎn)單了，可是它是黎曼不可積的，所以有必要建立一種新的積分。對(duì)新積分有什么要求？當(dāng)然首先希望它比黎曼積分的可積函數(shù)范圍大，原來(lái)黎曼可積的函數(shù)現(xiàn)在照樣可積而且積分值也要相等，有一些黎曼不可積的函數(shù)現(xiàn)在黎曼可積了；其次，新積分必須保留原來(lái)積分的基本運(yùn)算性質(zhì)，比如線性運(yùn)算性質(zhì)、可加性等，在此基礎(chǔ)上希望新積分有某些更好的運(yùn)算性質(zhì)，比如能將經(jīng)常遇到的積分與極限運(yùn)算的交換次序問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單些。

為了使新積分的可積函數(shù)范圍擴(kuò)大，先回顧黎曼可積的條件和黎曼積分的定義。通過(guò)分析初步體會(huì)到黎曼積分從根本上說(shuō)是針對(duì)連續(xù)函數(shù)建立的，對(duì)破壞連續(xù)性不太嚴(yán)重的函數(shù)也適用，對(duì)于只有有限個(gè)間斷點(diǎn)、或間斷點(diǎn)可以形成一個(gè)收斂點(diǎn)列的有界函數(shù)也都能用。那么，函數(shù)的不連續(xù)性嚴(yán)重到什么程度就不可積了？這個(gè)問(wèn)題到課程后面就很容易回答。對(duì)于不連續(xù)性程度比較嚴(yán)重的函數(shù)，即使在小區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)彼此非常接近，但函數(shù)值相差不能變小。這樣，黎曼積分定義中在各小區(qū)間內(nèi)選取任意一點(diǎn)的函數(shù)值計(jì)算積分和就不夠合理。在足夠多的小區(qū)間內(nèi)都是這樣的情形，那么選取不同介點(diǎn)計(jì)算的積分和就彼此不同，即使小區(qū)間的長(zhǎng)度最大值趨于零也無(wú)法使積分彼此誤差消失，于是不可積就是自然的結(jié)果。

為了克服黎曼積分定義中影響可積性的這個(gè)重大缺陷，可以嘗試將原來(lái)劃分定義域的做法改為劃分值域。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，其下確界和上確界分別為A和B。將區(qū)間[A，B]劃分為若干小區(qū)間：[A，A1]，[A1，A2]，…，[An-1，B]，記Ei={x：Ai-1？燮f（x）

二、借助通俗語(yǔ)言或幾何直觀表達(dá)

對(duì)有些內(nèi)容，采用通俗的語(yǔ)言或幾何直觀會(huì)收到事半功倍的效果。比如，康托集的教學(xué)，只要在數(shù)軸上將閉區(qū)間[0，1]一分為三、挖中間（開(kāi)區(qū)間）留兩邊，對(duì)留下的每個(gè)小閉區(qū)間反復(fù)運(yùn)用這個(gè)做法，則康托集的定義就易于掌握。又例如，用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近可測(cè)函數(shù)的定理的證明過(guò)程的確復(fù)雜，可以從函數(shù)圖像角度理解證明的思路以及結(jié)論為何成立的道理。將函數(shù)值域區(qū)間劃分為n等分，在每個(gè)小值域區(qū)間上，用該區(qū)間上的最小值或下確界近似代替原來(lái)的函數(shù)值，幾何上看就是到處用短的水平線段代替原來(lái)曲線段。繼續(xù)將每個(gè)小區(qū)間細(xì)分，皆等分為2個(gè)小區(qū)間，重復(fù)這個(gè)做法，用更短更密的短線段代替曲線，水平線段與曲線的縱坐標(biāo)誤差會(huì)更小。這種幾何做法，相當(dāng)于用簡(jiǎn)單函數(shù)不斷的逼近原來(lái)的可測(cè)函數(shù)。經(jīng)過(guò)這樣的幾何直觀描述，再用式子、用邏輯推理嚴(yán)格的論證就易于理解了。假如撇開(kāi)了幾何直觀，其證明過(guò)程讓人感到有點(diǎn)復(fù)雜而又莫名其妙。

在葉果洛夫定理的教學(xué)中，為了便于理解和記憶定理的內(nèi)容，可以這樣通俗解釋：測(cè)度有限集合上幾乎處處收斂的函數(shù)列，是“差不多”一致收斂的。究竟怎么樣的“差不多”？它是從定義域的測(cè)度角度來(lái)看的，無(wú)論指定多么小的誤差要求ε>0，都存在定義域的可測(cè)子集，使得原來(lái)的定義域和這個(gè)子集之差的集合測(cè)度能夠小于ε，而函數(shù)列在這個(gè)足夠大的子集上就是一致收斂的。既然這個(gè)ε要想有多小都能辦到，可見(jiàn)二者的定義域范圍差的就是不多！關(guān)于可測(cè)函數(shù)的其他幾個(gè)重要定理及其證明可以類似的處理。在論證集合對(duì)等的結(jié)論及證明思路時(shí)，借助通俗的例子是很有啟發(fā)性和化難為易的效果的。比如用希爾伯特房間故事說(shuō)明給可數(shù)集添加有限個(gè)元素后仍然能夠與原來(lái)的集合對(duì)等。

三、將復(fù)雜的內(nèi)容“化整為零”

有的定理證明過(guò)程太復(fù)雜，可以采用“化整為零”的做法，或者說(shuō)是將一大步分解為若干小步完成，從而降低難度。這種做法在課程中比較普遍。以勒貝格積分線性性質(zhì)為例，要證明等式 [αf（x）+βg（x）]dx=α f（x）dx+β g（x）dx，只要分別證明數(shù)乘性質(zhì) αf（x）dx=α f（x）dx和加法性質(zhì) [f（x）+g（x）]dx= f（x）dx+ g（x）dx。對(duì)數(shù)乘性質(zhì)，若α=0結(jié)論顯然成立；可以先考慮就α>0情形，對(duì)α<0的情形，通過(guò)α=-α能夠轉(zhuǎn)化為已證明過(guò)的情形。對(duì)于加法性質(zhì)，可以先就非負(fù)函數(shù)情形證明之，最后利用函數(shù)分解式f=f +-f -及積分定義就可以得出一般的情形都成立。

還有，乘積集合的可測(cè)性、勒貝格積分的幾何意義論證等都是這類例子。它們都是先就集合為區(qū)間這種最簡(jiǎn)單的情形證明之，接著是開(kāi)集、Gδ型集、零測(cè)度集，最后合成起來(lái)得統(tǒng)一結(jié)論。其實(shí)，整個(gè)建立勒貝格積分的過(guò)程就是一個(gè)先化整為零，再積零成整，由簡(jiǎn)單過(guò)渡到復(fù)雜的處理過(guò)程。

當(dāng)然還有其他一些做法都能起到化難為易的作用，值得教師在授課中不斷的總結(jié)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 程其襄，張奠宇.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010：1-3.

[2] 張奠宇，張蔭南.新概念：用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004（3）：8-10.

[3] 曹懷信.實(shí)變函數(shù)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

[4] 周性偉.講授實(shí)變函數(shù)課的點(diǎn)滴體會(huì)[J].高等理科教育，2000（1），42-45.

[5] 高文華，郭繼東.實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的幾點(diǎn)體會(huì)[J].伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007（2），58-61.

[責(zé)任編輯：林志恒]