從問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律在求解中探究結(jié)論

譚玉寶

教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、探索者.”這就是說(shuō)，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)適當(dāng)創(chuàng)設(shè)一些情境，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和探究，自己發(fā)現(xiàn)某些概念、某些規(guī)律，探究某些結(jié)論，這樣可以使學(xué)生對(duì)概念的理解更深刻，知識(shí)的掌握更牢固，學(xué)生能從中體驗(yàn)到成功的感覺(jué)，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性.下面是筆者在“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”這一節(jié)的教學(xué)實(shí)踐中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探究雙曲線切線幾個(gè)性質(zhì)的過(guò)程.

1.創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

例求過(guò)點(diǎn)P（2，0），曲線y=1x的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

解設(shè)切點(diǎn)為Q（x0，y0）（x0≠0），則切線的斜率k=kPQ=1x0（x0-2），又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在切點(diǎn)Q（x0，y0）處的切線的斜率k=y′|x=x0=-1x20，于是有1x0（x0-2）=-1x20，∴x0=1，k=-1.

∴過(guò)點(diǎn)P的切線l的方程為：y=-x+2，它與兩坐標(biāo)軸分別交于P（2，0）和B（0，2）.

故切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為S=2.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握過(guò)一點(diǎn)的曲線的切線的求法，并在此基礎(chǔ)上提出變式1，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，展開(kāi)從特殊雙曲線到一般雙曲線的切線的探究.

變式1：求過(guò)點(diǎn)P（t，0）（t≠0），曲線C：y=1x的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

仿照上面的方法，同學(xué)們迅速得到切點(diǎn)Qt2，2t，切線斜率k=-4t2，切線方程：y=-4t2（x-t），切線分別交坐標(biāo)軸于P（t，0），B0，4t，切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積S=12t4t=2.

2.以靜制動(dòng)，提示規(guī)律

變式2：求曲線D：y=mx（m≠0）在P（x0，y0）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

生：曲線y=mx（m≠0）在P（x0，y0）處的切線方程為y0x+x0y-2m=0，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為2my0，0，0，2mx0，于是切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=122my0·2mx0=2m.

師：雙曲線D的任何一條切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積也是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是不是生2同學(xué)所說(shuō)的實(shí)半軸長(zhǎng)的平方？

生4：當(dāng)m>0時(shí)，求得雙曲線y=mx（m≠0）與對(duì)稱軸y=x的交點(diǎn)（即頂點(diǎn)），從而求得實(shí)軸長(zhǎng)為2a=22m；當(dāng)m<0時(shí)，求得雙曲線y=mx（m≠0）與對(duì)稱軸y=-x的交點(diǎn)（即頂點(diǎn)），從而求得實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2-2m.于是可知，上面的常數(shù)為實(shí)半軸長(zhǎng)的平方.

師：曲線D是等軸雙曲線，兩坐標(biāo)軸是它的漸近線.上面的探索即為：“等軸雙曲線上任意一點(diǎn)的切線與兩漸近線圍成的三角形面積等于實(shí)半軸長(zhǎng)的平方.”那么，對(duì)更一般的雙曲線，你能作出什么樣的猜想？

3.合理猜想，證明猜想

生5：雙曲線上任意一點(diǎn)P處的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積等于實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)之積.

4.反思總結(jié)，拓展提升

通過(guò)上面的探索，我們得到雙曲線切線的一個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)：雙曲線上任意一點(diǎn)P處的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積等于實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)之積.

同時(shí)，從性質(zhì)1的探求過(guò)程中還得到了一個(gè)“副產(chǎn)品”，即雙曲線x2a2-y2b2=1，（a>0，b>0）上任意一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程①.那么，雙曲線的動(dòng)切線還有沒(méi)有其他性質(zhì)呢？留著大家去探究.