對一道數(shù)學(xué)中考壓軸題的探索

胡明鋒

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）06-0103-01

有關(guān)二次函數(shù)的壓軸題，是一道函數(shù)與幾何的綜合題，它具有選拔功能，是數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用題，它考查的知識點(diǎn)多、解題方法多、能力要求高，體現(xiàn)了數(shù)與形的巧妙結(jié)合。下面對2014年濰坊市數(shù)學(xué)中考最后一道題進(jìn)行探索，讓我們來感受數(shù)學(xué)的魅力。

題目：如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E。

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）平行于DE的一條動直線Z與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：第（1）題由拋物線的對稱性易求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0），基礎(chǔ)知識掌握好的學(xué)生可以較快把拋物線的解析式正確求出。

第（2）題是面積問題。面積問題是中考的熱點(diǎn)問題，一般情況下，可以直接運(yùn)用圖形的面積公式求；對于不規(guī)則圖形的面積可以利用“割補(bǔ)法”或“平行線法”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。有運(yùn)動的題目要注意以靜求動?？疾榱朔匠?、數(shù)形結(jié)合和化歸的數(shù)學(xué)思想。

第（3）題考查了方程和分類討論的數(shù)學(xué)思想?？梢愿鶕?jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍分類，也可以根據(jù)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方或下方分類。

解法一：（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，4），對稱軸x=-■=1，

可得點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0），c=4 ① ∴ 16a+4b+c=0 ②

又拋物線過點(diǎn)A（-2，0）∴ 4a-2b+c=0，③ 由①②③ 解得：a=-■， b=1 ，c=4.

所以拋物線的解析式是y=-■x2+x+4

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)F，如圖所示，連接BF、CF、OF.過點(diǎn)F分別作FH⊥x軸于H，F(xiàn)G⊥y軸于G.

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，-■t2+t+4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，-t+4） 其中0∴S四邊形ABFC=S△AOC+S△OBF +S△OFC=■OA×OC +■OB×FH +■OC×FC=■×2×4 +■×4×（-■t2+t+4）+■×4×t=4-t2+2t+8+2t= -t2+4t+12.

令-t2+4+12 =17，即t2-4t+5=0，則△=（-4）2-4×5=-4<0，

∴方程t2-4t+5=0無實(shí)根。

故不存在滿足條件的點(diǎn)F.

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），又過點(diǎn)B（4，0），C（0，4）

所以4k+b=0b=4，解得：k=-1b=4，

所以直線BC的解析式是y=-x+4.

由y=-■x2+x+4=-■（x-1）2+■得D（1，■），

又點(diǎn)E在直線BC上，則點(diǎn)E（1，3）， 于是DE=■-3=■

若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，因?yàn)镈E∥PQ，只須DE=PQ

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，-m+4），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（m，-■m2+m+4）.

易得 PQ=（-■m2+m+4）-（-m+4）=-■m2+2m

①當(dāng)0