條件概率的第三定義條件概率的第三定義

謝楠

【摘要】條件概率是數(shù)學(xué)選修2—3第二章2.2節(jié)內(nèi)容，課本在給出兩個定義的過程中，由于未對條件概率的兩種情形進行說明，致使學(xué)生難于理解.本文嘗試給出條件概率的另一種定義，幫助大家分清條件概率的兩種情形，加深對條件概率內(nèi)涵的理解.

【關(guān)鍵詞】條件概率；概率；隨機試驗；事件；抽簽

一、課本上思考問題的另一種解法

思考問題（見數(shù)學(xué)選修2—3第二章2.2節(jié)）：3張獎券中只有1張能中獎，現(xiàn)分別由3名同學(xué)無放回地抽取，如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券，那么最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是多少？

課本解法：用A表示第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券的事件，B表示最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的事件，Y表示抽到中獎獎券，N表示沒抽到中獎獎券，則B={NNY}，A={N NY，N Y N}，由古典概型可知，最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是n（B）[]n（A）=1[]2，由此引出條件概率定義：P（B|A）=n（AB）[]n（A）

另一解法：用A表示第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券的事件，B表示最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的事件，所有的基本事件為兩張不中獎獎券和1張能中獎獎券，一名同學(xué)抽獎后，剩余的基本事件全體為Ω={1張中獎獎券，1張不能中獎獎券}，含B的基本事件是{1張中獎獎券}，由古典概型可知，最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是1[]2，由此啟發(fā)我們給出條件概率的另一定義：P（B|A）=A發(fā)生后剩余的含B的基本事件個數(shù)/A發(fā)生后剩余的基本事件總數(shù).

本文稱之為條件概率的第三定義.本定義較之課本給出的條件概率定義，學(xué)生比較容易理解和掌握.

二、條件概率第三定義應(yīng)用舉例

例1 （見數(shù)學(xué)選修2—3第二章2.2節(jié)P60頁）在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率.

解 設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，第1次抽到理科題后剩余的題數(shù)是4道，其中2道理科題，

由條件概率第三定義可知，

P（B|A）=2[]4，即P（B|A）=1[]2.

例2 （見數(shù)學(xué)選修2—3第二章2.2節(jié)P61頁）從一副不含大小王的52張撲克牌中不放回地抽取2次，每次抽1張，已知第1次抽到A，求第2次也抽到A的概率.

解 設(shè)第1次抽到A為事件B，第2次也抽到A為事件C，第1次抽到A后剩余的基本事件總數(shù)是51，第1次抽到A后剩余的A撲克牌有3張，

所以，依據(jù)條件概率第三定義得，P（C|B）=3[]51

例3 （見數(shù)學(xué)選修2—3第二章2.2節(jié)P61頁）100件產(chǎn)品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1件抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率.

解 設(shè)第1件抽出的是次品為事件A，第2次抽出正品為事件B，第1件抽出次品后剩余的基本事件總數(shù)是99，第1件抽出次品后剩余的含正品的基本事件個數(shù)為95，

所以，依據(jù)條件概率第三定義得，P（B|A）=95[]99.

例4 （見數(shù)學(xué)選修2—3第二章2.2節(jié)P63頁）一個口袋內(nèi)裝有2個白球和2個黑球，那么（1）先摸出1個白球不放回，再摸出1個白球的概率是多少？

（2）先摸出1個白球放回，再摸出1個白球的概率是多少？

解 記先摸出1個白球為事件A，再摸出1個白球為事件B，

（1）先摸出1個白球后剩余的基本事件總數(shù)為3，先摸出1個白球后剩余的白球個數(shù)是1，故依據(jù)條件概率第三定義得，P（B|A）=1[]3.

（2）先摸出1個白球后剩余的基本事件總數(shù)為4，先摸出1個白球后剩余的白球個數(shù)是2，

故，依據(jù)條件概率第三定義得，P（B|A）=2/4，即P（B|A）=1[]2.

運用條件概率第三定義解決以上例題，較之課本給出的定義，更簡捷、更能抓住題目的本質(zhì).

三、條件概率的兩種情形

條件概率P（B|A）為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生包括兩種情形.第一種情形：事件A發(fā)生后，事件B才發(fā)生；第二種情形：事件A發(fā)生的同時，事件B也可能發(fā)生.這兩種情形的共同點是事件A、B都發(fā)生.本文給出的條件概率第三定義適用范圍是第一種情形.如果是第二種情形，必須運用課本的條件概率定義.

例如，一個箱子中裝有4個白球和3個黑球，一次摸出2個球，在已知它們的顏色相同的情況下，求該顏色是白色的概率？

解 記摸出的2個球顏色相同為事件A，摸出的2個球是白球為事件B，由于事件A發(fā)生的同時，事件B也可能發(fā)生，故用課本給出的條件概率定義解決，

n（AB）=n（B）=C24，n（A）=C24+C23，

所以，P（B|A）=C24/（C24+C23）.

本文對條件概率的兩種分類，以及據(jù)此給出的條件概率第三定義，可以較好地幫助學(xué)生認清條件概率的本質(zhì)

【參考文獻】

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