三角函數(shù)積分和有理函數(shù)積分的分類研究

劉艷

【摘要】在《數(shù)學(xué)分析》不定積分這一章，不定積分的方法繁多，特別是三角函數(shù)積分和有理函數(shù)積分種類較多，教材中沒有給出具體的分類，類型題也不夠全面，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到困惑不解，筆者在此對三角函數(shù)積分和有理函數(shù)積分的分類進(jìn)行如下的探索與研究.并通過舉例應(yīng)用，達(dá)到鞏固和舉一反三的作用.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)積分；有理函數(shù)積分；塞法；賦值法；待定系數(shù)法

一、三角函數(shù)的不定積分

類型1至類型7用的是第一換元法，即塞法；類型8用第二換元法，即萬能代換

類型1：∫cosmxsinnxdx，m和n都是正整數(shù)，m與n其中一個(gè)為奇數(shù)另一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則把指數(shù)是奇數(shù)次方的三角函數(shù)塞進(jìn)去，湊成微分.

例如：∫cos2xsin3xdx=-∫cos2xsin2x（-sinx）dx=-∫cos2x（1-cos2x）d（cosx）

=∫（cos4x-cos2x）d（cosx）=15cos5x-13cos3x+C.

類型2：∫cosmxsinnxdx，m和n都是正整數(shù)，m與n皆為奇數(shù)，這時(shí)塞任意一個(gè)三角函數(shù)，湊成微分.

例如：∫cos3xsin3xdx=-∫cos3x（1-cos2x）d（cosx）=∫cos5xd（cosx）-∫cos3xd（cosx）=16cos6x-14cos4x+C.

類型3：∫cosmxsinnxdx，m和n都是正整數(shù)，m與n皆為偶數(shù)，這時(shí)用公式2sinxcosx=sin2x 或 sin2x=1-cos2x2 或 cos2x=1+cos2x2，從而達(dá)到降冪的作用，然后用塞法，湊成微分.

例如：∫cos2xsin2xdx=14∫（2sinxcosx）2dx=14∫sin22xdx

=18∫（1-cos4x）dx=18x-132sin4x+C.

類型4：∫sinαxcosβxdx 或 ∫sinαxsinβxdx 或 ∫cosαxsinβxdx，這時(shí)需要積化和差，把原積分化成部分積分和，然后用塞法，湊成微分.

例如：∫sin2xsin4xdx=12∫（sin6x-sin2x）dx=14cos2x-112cos6x+C.

類型5： ∫sinmxdx 或 ∫cosmxdx，m為正整數(shù)，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，用公式sin2x=1-cos2x2 或 cos2x=1+cos2x2；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，塞sinx或cosx

例如：∫sin4xdx=∫1-cos2x22dx=14∫（1-2cos2x+cos22x）dx

=14∫（1-2cos2x+1+cos4x2）dx=38x-14sin2x+132sin4x+C.

∫sin5xdx=∫sin4xsinxdx=-∫（1-cos2x）2d（cosx）=23cos3x-cosx-15cos5x+C.

類型6： ∫R（sinx，cosx）dx，如果用-sinx和-cosx同時(shí)代入，被積函數(shù)符合不變的話，此時(shí)設(shè)tanx=t，這時(shí)sin2x=t21+t2，cos2x=11+t2，dx=11+t2dt

例如：求∫1+sin2xcos4xdx，設(shè)tanx=t，∫1+sin2xcos4xdx=∫1+t21+t2（11+t2）2·11+t2dt=∫（2t2+1）dt=2t33+t+c=2tan3x3+tanx+C.

類型7：∫sinmxcosnxdx 或 ∫cosmxsinnxdx，m是奇數(shù)，n是奇數(shù)或偶數(shù)，這時(shí)塞cosx或sinx

例如：∫cos3xsin2xdx=∫cos2xsin-2xd（sinx）=∫（1-sin2x）sin-2xd（sinx）=∫（sin-2x-1）d（sinx）=-1sinx-sinx+C.

類型8：∫R（sinx，cosx）dx，一般的，被積函數(shù)含有sinx和cosx且它們的指數(shù)都是1，以及被積函數(shù)不是上面的7種類型的，這時(shí)用萬能代換，設(shè)tanx2=t，sinx=2t1+t2，cosx=1-t21+t2，dx=21+t2dt.

例如：求∫1sinx+cosxdx，設(shè)tanx2=t.

∫1sinx+cosxdx=∫12t1+t2+1-t21+t2·21+t2dt=∫-2t2-2t-1dt=-2∫1（t-1）2-2d（t-1）=-22lnt-1+2t-1-2+c=-22lntanx2-1+2tanx2-1-2+C.

二、有理函數(shù)積分

有理函數(shù)一般形式是P（x）Q（x），其中P（x）與Q（x）都是多項(xiàng)式，如果P（x）Q（x）是假分式，用Q（x）除P（x）能化成多項(xiàng)式與有理真分式的和，即P（x）Q（x）=T（x）+F（x）Q（x），所以求有理函數(shù)的不定積分，關(guān)鍵在于求有理真分式F（x）Q（x）的不定積分，也就是把F（x）Q（x）進(jìn)行分解的問題，對F（x）Q（x）的分解方法探究如下：

類型1：當(dāng)分母Q（x）只有不相等的實(shí)根時(shí)，用賦值法.

例如：F（x）Q（x）=2x+1（x+1）（x-2），設(shè)2x+1（x+1）（x-2）=Ax+1+Bx-2=A（x-2）+B（x+1）（x+1）（x-2），

此時(shí)，A（x-2）+B（x+1）=2x+1，

設(shè)x=-1時(shí)，有-3A=-1，從而A=13；x=2時(shí)，有3B=5，從而B=53.

∫2x+1（x+1）（x-2）dx=13∫1x+1d（x+1）+53∫1x-2d（x-2）=13lnx+1+53lnx-2+C.

類型2：當(dāng)分母只有不相等的復(fù)數(shù)根時(shí)，用待定系數(shù)法.

例如：F（x）Q（x）=x3+3x2+2x+1（x2+1）（x2+x+1），設(shè)x3+3x2+2x+1（x2+1）（x2+x+1）=A1x+B1x2+1+A2x+B2x2+x+1=（A1x+B1）（x2+x+1）+（A2x+B2）（x2+1）（x2+1）（x2+x+1）.

由等號左、右兩分式的分子相等，再比較系數(shù)，解方程組A1+A2=1，A1+B1+B2=3，A1+A2+B1=2，B1+B2=1.

得：系數(shù)A1=2，A2=-1，B1=1，B2=0.

∫x3+3x2+2x+1（x2+1）（x2+x+1）dx=∫2x+1x2+1dx+∫-xx2+x+1dx=∫1x2+1d（x2+1）+∫1x2+1dx-∫1x+122+34dx+12

=ln（x2+1）+arctanx-233arctan23x3+C.

類型3：當(dāng)分母Q（x）只有重復(fù)數(shù)根時(shí)，用除法.

例如：F（x）Q（x）=x3+2x2+x+1（x2+x+1）2，用除法，x3+2x2+x+1x2+x+1=x+1+-xx2+x+1，

所以，x3+2x2+x+1（x2+x+1）2=x+1x2+x+1+-x（x2+x+1）2

∫x3+2x2+x+1（x2+x+1）2dx=∫x+1x2+x+1dx+∫-x（x2+x+1）2dx=∫xx2+x+1dx+∫1x2+x+1dx+∫-x（x2+x+1）2dx=12∫2x+1x2+x+1dx+12∫1x+122+34dx+∫-12（2x+1）+12（x2+x+1）2dx

=12∫1x2+x+1d（x2+x+1）+12∫1x+122+34dx+12-12∫d（x2+x+1）（x2+x+1）2+12∫1[x+122+34]2dx+12=12ln（x2+x+1）+539arctan3（2x+1）3+x+23（x2+x+1）+C.

（其中，第二項(xiàng)積分用公式∫1x2+a2dx=1aarctanxa+C，第四項(xiàng)積分用公式

∫1（x2+a2）2dx=x2a2（x2+a2）+12a2∫1x2+a2dx）

類型4：當(dāng)分母Q（x）只有重實(shí)根時(shí)，用綜合除法.

例如：F（x）Q（x）=x4+3x3+2x2+x+1（x-1）5，用綜合除法得：

x4+3x3+2x2+x+1（x-1）5=8（x-1）5+18（x-1）4+17（x-1）3+7（x-1）2+1x-1.

∫x4+3x3+2x2+x+1（x-1）5dx=∫8（x-1）5dx+∫18（x-1）4dx+∫17（x-1）3dx+∫7（x-1）2dx+∫1x-1dx=-2（x-1）4-6（x-1）3-172（x-1）2-7x-1+lnx-1+C.

結(jié)束語：上面通過舉例詳細(xì)地分析、歸納了三角函數(shù)積分和有理函數(shù)積分的類型及解題的方法，這些方法可以簡化復(fù)雜的計(jì)算，進(jìn)而使問題得以解決.在此筆者只是拋磚引玉，希望對初學(xué)者有所幫助.