淺談Fabonacci的通項(xiàng)公式

宋鹿鳴

【摘要】斐波那契數(shù)列自問(wèn)世以來(lái)，不斷彰顯出它的數(shù)學(xué)魅力.現(xiàn)在，斐波那契數(shù)列幾乎滲透到數(shù)學(xué) 的每一個(gè)分支中.本文從斐波那契數(shù)列的遞推公式出發(fā)，介紹了斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式，同時(shí)利用高等代數(shù)中的特征方程、矩陣的相關(guān)知識(shí)，解答斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】Fabonacci數(shù)列；通項(xiàng)公式

1.Fabonacci數(shù)列的產(chǎn)生

Fabonacci數(shù)列是Fabonacci于1202年所著的《珠算原理》中的“生兔子問(wèn)題”產(chǎn)生的.設(shè)定兩初生的兔子一個(gè)月后成熟并開(kāi)始繁殖，而一對(duì)兔子每個(gè)月會(huì)生產(chǎn)兩只兔子.問(wèn)：一對(duì)初生兔子按此規(guī)律進(jìn)行繁殖，12個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子？按照這個(gè)規(guī)律寫(xiě)出的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列（Fabonacci），通常記為Fn，數(shù)列中的每一項(xiàng)稱為斐波那契數(shù)，按照生兔子問(wèn)題得到Fn的遞推公式F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2.

2.Fabonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式

Fabonacci數(shù)列產(chǎn)生后的三百年里，如何求出他的通項(xiàng)公式這個(gè)問(wèn)題一直困擾著數(shù)學(xué)家們，直到16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）用第二數(shù)學(xué)歸納法推出：

Fn=155+12n-5-12n n∈N，n≥1.

我們可以利用相關(guān)的高等代數(shù)的知識(shí)來(lái)推出Fabonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2.1 特征方程推導(dǎo)法

由Fabonacci數(shù)列的遞推公式，得到對(duì)應(yīng)的特征方程x2=x+1，即x2-x-1=0.

解方程，求出其特征根為x1=1+52，x2=1-52.

Fn=C11+52n+C21-52n（其中C1，C2為常數(shù)）

由初始條件，F(xiàn)1=F2=1，

代入得C11+52+C21-52=1，C11+522+C21-522=1.

解得，C1=15，C2=-15.于是，

Fn=151+52n-1-52n，n≥1，n∈N.

2.2相似矩陣推導(dǎo)法

取Fn數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)組成數(shù)組αn=Fn-1，F(xiàn)n，組成序列α1，α2，…，αn.

于是，αn=FnFn-1=Fn-1+Fn-2Fn-1=1110Fn-1Fn-2=

1110Fn-2+Fn-3Fn-3=11101110Fn-2Fn-3=

11101110Fn-3+Fn-4Fn-3=

111011101110Fn-3Fn-4=……=

1110n-2F2F1=1110n-211.

令A(yù)=1110，則 αn=FnFn-1=An-2·α2=An-2·11.

要想求Fn，首先要先求出An-2，我們可以利用矩陣的相似性理論，求出An-2.

λE-A=λ1001-1110=λ00λ-1110=λ-1-1-1λ.

A的特征多項(xiàng)式PA=λE-A=λλ-1-1=λ2-λ-1，令PA=0，有λ1=1+52，λ2=1-52.于是，有特征向量X1=λ11，X2=λ21.

以X1，X2為兩列組成可逆方陣P=X1X2=λ1λ211，則A=Pλ100λ2P-1.

P-1=1P·P =1λ1-λ21-λ2-1λ1（P為P的伴隨陣）

An-2=Pλ100λ2P-1n-2=Pλn-2100λn-22P-1

于是，αn=FnFn-1=An-211=Pλn-2100λn-22P-111

=λ1λ211λn-2100λn-221λ1-λ21-λ2-1λ111

=λn-11λn-12λn-21λn-221-λ2-1λ1111λ1-λ2

=λn-11-λn-12-λn-11λ2+λ1λn-12λn-21-λn-22-λn-21λ2+λ1λn-22111λ1-λ2

=λn-111-λ2+λn-12λ1-1λn-211-λ2+λn-22λ1-11λ1-λ2

=λn1-λn2λn-11-λn-121λ1-λ2

所以，有

Fn=151+52n-1-52n ，n≥1，n∈N.

3.總 結(jié)

從上面的推導(dǎo)過(guò)程中，我們可以發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列揭示了一個(gè)非常有趣的事實(shí)，那就是用“無(wú)理數(shù)”來(lái)表示“有理數(shù)列”的通項(xiàng)公式，正好與用“有理數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)”來(lái)表示無(wú)理數(shù)恰恰相反，這也是斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式很難求出的原因.本文另辟蹊徑，通過(guò)特征方程的推導(dǎo)法和相似矩陣的推導(dǎo)法來(lái)求解斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式，給讀者以啟示.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳振奎.斐波那契數(shù)列[M].沈陽(yáng)：遼寧教育出版社.1987.

[2]宋廷武.用特征方程推到斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，29（4）：91-93.