球冪定理

謝兆帥

球冪的定義：一點(diǎn)P對(duì)半徑為R的球O的冪為：OP2-R2 ，即：（點(diǎn)P與球O的球心點(diǎn)0的距離的平方）與（球的半徑平方）的差.

證明：

點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)共球（1）設(shè)點(diǎn)P為球O內(nèi)一點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn)P作直線分別交球于A，B，C，D，E，F(xiàn)…….則面ABCD，面ABEF，面CDEF，……分別與球O相交，且相交線為一個(gè)圓.

因?yàn)槊鍭BCD交球O得一個(gè)圓.

根據(jù)相交弦定理得：PA

PD因?yàn)槊鍭BEF交球O得一個(gè)圓.

根據(jù)相交弦定理得：PA

PB=PE

PF.

因?yàn)槊鍯DEF交球O得一個(gè)圓.

根據(jù)相交弦定理得：

PC

PD=PE

PF.

自點(diǎn)P引直線過(guò)球心點(diǎn)0，交球于點(diǎn)G，H，令PH>PG，

則：PH=OP+R，PG=R-OP.

因?yàn)槊鍭BGH交球O得一個(gè)圓，根據(jù)相交弦定理得，

PA

PB=PH

PG=（R+OP）（R-OP）=R2-OP2.

因?yàn)辄c(diǎn)P在球內(nèi)所以R>OP，即R2-OP2>0.

即PA

PB=PC

PD=PE

PF=PG

PF=…=R2-OP2.

也就是說(shuō)在球內(nèi)的一點(diǎn)引一條直線與球相交于兩點(diǎn).這點(diǎn)與球兩個(gè)交點(diǎn)線段的長(zhǎng)度的乘積為一定值.大小為（球半徑的平方）與（該點(diǎn)與球心距離的平方）的差.

（2）設(shè)點(diǎn)P在球上.則OP=R，

OP2-R2=0，根據(jù)球冪定義，恒為零.

（3）設(shè)點(diǎn)P在球外.自點(diǎn)P引切線交球O于T，

自點(diǎn)P引割線交球O于A1B1，C1D1，E1F1…….

因?yàn)橹本€PT與球O相切

（點(diǎn)T，A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1共球）所以：

直線PT與（球O與面PTA1B1相交的圓）相切.

直線PT與（球O與面PTC1D1相交的圓）相切.

直線PT與（球O與面PTE1F1相交的圓）相切.

根據(jù)切割線定理，得：

PT2=PA1·PB1，PT2=PC1·PD1，PT2=PE1·PF1，

自點(diǎn)P引直線過(guò)球心點(diǎn)0，交球于點(diǎn)G1，H1，設(shè)PH>PG，則PH1=R+OP，PG1=OP-R.

根據(jù)切割線定理，則PT2=PH·PG=OP2-R2，

因?yàn)辄c(diǎn)P在球外，則OP>R

即OP2-R2>0.

（4）點(diǎn)P在球O的外部，自點(diǎn)引割線交球O于點(diǎn)A2B2，C2D2，E2F2…….

因?yàn)槿我馄矫媾c球相交的曲線都是圓.

所以面A2B2C2D2 交球O的曲線是圓.

面A2B2E2F2 交球O的曲線是圓.

面C2D2E2F2 交球O的曲線是圓.

（點(diǎn)A2B2C2D2E2F2共球）

根據(jù)割線定理，則

PA2·PB2=PC2·PD2 PA2·PB2=PE2·P2F PC2·PD2=PE2·PF…….

自點(diǎn)P引直線過(guò)球心，交球于點(diǎn)G2，H2.設(shè)PH2>PG2，

則PH2=OP+R，PG2=OP-R.

因?yàn)槊鍭2B2G2H2交球O的曲線是圓，則根據(jù)割線定理

PA2·PB2=PG2·PH2=OP2-R2.

因?yàn)辄c(diǎn)P在球外，則OP>R，即OP2-R2>0.

根據(jù)（1）（2）（3）（4）得，在三維空間中，空間中的一點(diǎn)，與球的球心的距離，（設(shè)為d）（設(shè)球的半徑為R），自該點(diǎn)任意引直線交球于兩點(diǎn).

則該點(diǎn)與兩交點(diǎn)的距離乘積恒為定值.大小為（d2-R2）.

圓冪定理是球冪定理，在一個(gè)平面中的特例.

若該點(diǎn)在球內(nèi)，則該點(diǎn)的球冪為負(fù).

在球上，恒為零.

在球外，球冪為正.

球冪定理將圓冪定理中的相交弦定理，切割線定理，割線定理都推廣到三維空間，在本質(zhì)上，揭示了點(diǎn)與球（點(diǎn)與球相交線段）的關(guān)系，把平面幾何與立體幾何完美的統(tǒng)一在一起.