高考數(shù)學(xué)試題分析及思考探究

李功慧

【摘要】“注重通性通法，淡化解題技巧”是數(shù)學(xué)《大綱》中一貫堅(jiān)持的口號(hào)，而且每年的高考試卷都體現(xiàn)了這一思想，所以在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，僅僅有知識(shí)的累積還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要注意歸納方法、類比總結(jié)數(shù)學(xué)思想、掌握常見(jiàn)的通用的解題方法，才能在瑣碎的知識(shí)點(diǎn)間做到游刃有余、化腐朽為神奇.

【關(guān)鍵詞】向量數(shù)量積；代數(shù)形式；幾何形式

在高三的復(fù)習(xí)中，我們要在瑣碎、繁雜的知識(shí)點(diǎn)間做到胸有成竹、游刃有余，就要注重歸納和整理.這時(shí)候，一題多解固然必要，但是多題一法卻顯得尤為重要和具有普遍意義.“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)；“通法”就是概念所蘊(yùn)含的思想方法，針對(duì)某一類題型所用的一貫套路進(jìn)行求解.下面我想針對(duì)向量數(shù)量積具體題目，談?wù)勚匾暿裁床攀亲非髷?shù)學(xué)教學(xué)的“長(zhǎng)期效益”？

圖 1例1 （2013年陜西寶雞第三次模擬）a=（0，1），b=（1，0）且（a-c）·（b-c）=0，則c的最大值是.

設(shè)c=（x，y），則a-c=（-x，1-y），b-c=（1-x，-y）

由已知（a-c）·（b-c）=0，所以得：（-x）（1-x）+（-y）（1-y）=0，

整理得：x-122+y-122=12，所以如圖1：

c=（x，y）的起點(diǎn)為原點(diǎn)O，終點(diǎn)在圓x-122+y-122=12上運(yùn)動(dòng)，

所以c≤ 12-02+12-02+22=2.

評(píng)注 幾何解法中抓住向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，構(gòu)造出以圓為背景的圖形，將向量模的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大（小）值的問(wèn)題，把向量問(wèn)題幾何化，解法直觀明了，但學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化和化歸思想顯得有些力所不及.代數(shù)方法用到了向量數(shù)量積的意義，數(shù)量積不等式，解一元二次不等式等知識(shí)，而這幾部分知識(shí)都是高中數(shù)學(xué)課程中的基本概念與運(yùn)算，學(xué)生易于掌握和按部就班地做下去.

變式1 （2009年全國(guó)高考題）已知a=b=c=1，a·b=0，則a-c·b-c的最小值為（ ）

A.-2 B.2-2 C.-1 D.1-2

幾何解法 由已知設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，因?yàn)閍=b=c=1，a·b=0，

圖 2所以如圖2，A，B，C三點(diǎn)均在單位圓上，而且OA⊥OB，不妨設(shè)A，B兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，易知

∠ACB=135°，

a-c·b-c=ACBCcos135°=-22ACBC.

在△ABC中由余弦定理，得

AB2=AC2+BC2-2ACBCcos135°，即AC2+BC2+2ACBC=2，

所以，2≥2ACBC+2ACBCACBC≤2-2，

當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧上時(shí)，∠ACB=45°，

a-c·b-c=ACBCcos45°=22ACBC.

顯然此時(shí)a-c·b-c的值是大于零的.

綜上，a-c·b-c=-22ACBC≥-22×2-2=1-2，

故選D.

代數(shù)解法 a-c·b-c=a·b-a·c-c·b+c2

因?yàn)閍=b=c=1，a·b=0，所以a+b=1.

a-c·b-c=-c·（a+b）+1=-c·a+bcos（c，a+b）+1≤-1×2+1=1-2.

故選D.

評(píng)注 例1是已知數(shù)量積和垂直關(guān)系，求模的最大值，而變式1則是已知垂直和模，求數(shù)量積的最小值.題目都是從數(shù)量積，向量垂直和向量的模出發(fā)，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，但針對(duì)本題而言，幾何解法用到了余弦定理、基本不等式等基本解題思路，而且用到了化歸思想和分類思想，這使得該題給同學(xué)們一種“小題大做”的感覺(jué)；而代數(shù)解法從數(shù)量積的定義出發(fā)，結(jié)合一個(gè)角的余弦值最大為1，就輕而易舉的解出了本題.通性通法在這里發(fā)揮了它的“神奇”作用.