品高考三視圖考題 談空間思維能力培養(yǎng)

孫世林

【摘要】新課標(biāo)將立體幾何的內(nèi)容由原來(lái)的“以位置關(guān)系為主線、從局部到整體到展開(kāi)圖”，變?yōu)椤耙詧D形特征為主線，從整體到局部”，這一變化中最突出的是增加了三視圖.三視圖從三個(gè)不同的視角描述了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)三視圖可以更好地發(fā)展學(xué)生的空間思維，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，并在幾何直觀的基礎(chǔ)上，初步形成對(duì)空間圖形的邏輯推理能力，但三視圖不能全面反映空間幾何體的所有信息.

【關(guān)鍵詞】高考；三視圖；空間思維

那么如何才能幫助學(xué)生透徹地理解并準(zhǔn)確地解決三視圖問(wèn)題，又如何通過(guò)三視圖問(wèn)題發(fā)展學(xué)生的空間思維能力，下面談?wù)勛约旱囊恍┱J(rèn)識(shí)：

1.品三視圖的概念，在正確理解投影中全面認(rèn)識(shí)三視圖

三視圖是光線從幾何體的前面向后面、左面向右面、上面向下面三個(gè)方向的正投影，得到的三個(gè)平面圖形.對(duì)于投影，學(xué)生有從日常生活得到的直接經(jīng)驗(yàn)，易于接受但不嚴(yán)謹(jǐn)，可以借助物理光學(xué)的知識(shí)去理解.所以，只有準(zhǔn)確科學(xué)地理解了投影的概念才能把握三視圖的本質(zhì).實(shí)質(zhì)上投影線和投影面是“線面垂直關(guān)系”，點(diǎn)、線、面、體在投影面上的投影圖都可以歸結(jié)為“點(diǎn)到平面上的投影（或射影）”.

例1 （2014年北京高考理科）在空間直角坐標(biāo)系oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，2）；若S1，S2，S3分別表示三棱錐D-ABC在xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（ ）.

A.S1=S2=S3 B.S1=S2且 S3≠S2

C.S1=S3且 S3≠S2D.S2=S3且 S1≠S3

解析 本題主要考查空間直角坐標(biāo)系與空間幾何體的正投影的概念和畫法，考查空間想象能力和基本運(yùn)算能力；一般而言，在多面體內(nèi)部構(gòu)造投影面，通過(guò)該投影面和已知條件觀察幾何體的視圖往往可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).

圖 1對(duì)于本題，首先，根據(jù)坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中作出三棱錐D-ABC，作出三棱錐在三個(gè)坐標(biāo)平面的正投影，如圖所示1，△ABC為三棱錐在坐標(biāo)平面xOy平面上的正投影，

所以S1=12×2×2=2；

三棱錐在坐標(biāo)平面yoz上的正投影與ΔDEF（E，F(xiàn)分別為OA，BC的中點(diǎn)）全等，所以S2=12×2×2=2；三棱錐在坐標(biāo)平面xOz上的正投影與ΔDGH（G，H分別為AB，OC的中點(diǎn)）全等，所以，S2=12×2×2=2；所以，S2=S3且 S1≠S3，所以選D.

例2 （2008年廣東高考理科）

將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖2所示，A，B，C

分別是ΔGHI三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖3，

則該幾何體按圖3所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）.

圖 2 圖3

解析 本題考查學(xué)生的空間想象能力，由于三視圖中的投影是平行投影，解題時(shí)可以想象在幾何體的正前方、右方和下方各放一面墻，所以本題可在圖3的右邊放一面墻，又因?yàn)槭钦庵?，且AE在平面DEHG中，所以在側(cè)視圖中，AE應(yīng)為豎直的，便可得答案為A.

歸納：要想得到準(zhǔn)確的三視圖就要搞清幾何體中的點(diǎn)、線、面在投影面中的投影是什么形狀，根據(jù)投影的概念，直線在投影面內(nèi)的投影有可能是直線也可能是點(diǎn)，平面在投影面內(nèi)的投影可能是平面也可能是直線，幾何體中的線面投影有如下規(guī)律：線段平行于投影面時(shí)投影長(zhǎng)不變，平面（圖形）平行于投影面，它的投影形狀不變；線段垂直于投影面，它的投影成一個(gè)點(diǎn)；平面（圖形）垂直于投影面，它的投影為線段；線段傾斜于投影面，它的投影長(zhǎng)變短；平面（圖形）傾斜于投影面.它的投影根據(jù)傾斜程度而改變.

2.品三視圖的生成，在轉(zhuǎn)化中培養(yǎng)并發(fā)展空間想象能力

空間幾何體的三視圖是用物體的三個(gè)正投影來(lái)描述空間幾何體結(jié)構(gòu)的平面圖形，在由幾何體向三視圖的轉(zhuǎn)化中，要用想象去“透視”物體，要能“看見(jiàn)”幾何體內(nèi)部看得見(jiàn)和看不見(jiàn)的部分（虛線表示），看得見(jiàn)的輪廓線或棱用實(shí)線表示，看不見(jiàn)的輪廓或棱用虛線表示，通過(guò)比較概括動(dòng)手畫出三視圖，其規(guī)律是：“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”.

例3 （2012年陜西高考理科）將正方體（如圖4）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖5所示的幾何體，則該幾何體的左視圖是（ ）.

圖 4

圖 5

解析 如圖7的幾何體可還原成如圖6的正方體，其左視圖就是向正方體的右側(cè)面BCC1B1作投影，過(guò)D1，D，A三點(diǎn)向平面BCC1B1作垂線，D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線，又平面ABB1的投影為BB1，平面DCD1的投影為CC1，所以選B.

圖 6

例4 （2010年北京高考理科）

一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體

的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如圖所示，

則該幾何體的俯視圖為（ ）.

解析 本題是由三視圖的正視圖、左視圖得到幾何體，再由幾何體畫出幾何體的左視圖，解題的關(guān)鍵是要搞清觀察的方位與圖形的相對(duì)位置，通過(guò)正視圖、左視圖可知該長(zhǎng)方體挖去了一個(gè)小長(zhǎng)方體，

挖掉的小長(zhǎng)方體從前方看是在觀測(cè)者的左上方，

從左向右看是在觀測(cè)者的右上方，所以該幾何體的直觀如圖8，因此，從上向下方看應(yīng)該在

觀測(cè)者的左下方，所以選C.

圖 6

歸納：新課標(biāo)要求學(xué)生能根據(jù)基本幾何體或?qū)嵨锬Ｐ瓦M(jìn)行三視圖描述，此類問(wèn)題考查學(xué)生的空間想象能力和判斷推理能力，畫三視圖時(shí)要注重實(shí)物模型的作用，充分認(rèn)清幾何體的本質(zhì)屬性，要注意選擇適當(dāng)?shù)慕嵌?，運(yùn)用好投影的知識(shí)和規(guī)律得到投影，要觀察好幾何體的特征，把握好投影是實(shí)線還是虛線，只有這樣才能由幾何體得到準(zhǔn)確的三視圖.

3.品如何從三視圖回歸幾何體，在反思中形成對(duì)空間圖形的邏輯推理

一個(gè)幾何體的位置確定之后，它的三視圖是唯一的，但反過(guò)來(lái)，相同的三視圖可以對(duì)應(yīng)不同的幾何體，由于不是一一對(duì)應(yīng)，這就要求我們需要更深入地觀察和思考，避免思維的僵化和定式；在由幾何體的三視圖還原直觀圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的基本特征得到幾何體的長(zhǎng)、寬、高，并由此對(duì)還原后的幾何體進(jìn)行相關(guān)幾何量的計(jì)算，完成對(duì)空間圖形的邏輯推理.

圖 7例5 若某幾何體的三視圖（單位：cm）

如圖所示，則此幾何體的體積等于cm3.

解析 由正視圖可知該幾何體的正面為梯形，上底長(zhǎng)為4，下底長(zhǎng)為2+4+2=8，由俯視圖可知該幾何體的底面為矩形，寬為4，結(jié)合正視圖可知矩形的長(zhǎng)為11，由側(cè)視圖可知該幾何體的側(cè)面為三角形，結(jié)合正視圖與俯視圖可知三角形的底邊長(zhǎng)為4，由此，我們可還原三視圖得到如圖7所示的幾何體ABCDEF，

將它分割成一個(gè)直三棱柱EGI-FHJ和兩個(gè)完全相等的四棱錐E-AIGD與F-JBCH，由正視圖可知該四棱錐的高為3，由此可得該幾何體的體積

V=VEGI-FHJ+VE-AIGD+VF-JBCH

=12×4×3×4+2×13×2×4×3

=40（cm3）

另解 也可將幾何體分割成三棱住DAE-MNF和四棱錐F-BCMN，如圖8，

圖 8∴V=VDAE-MNF+VF-BCMN

=12×4×3×4+13×4×4×3=40（cm3）

歸納：研究幾何體的空間結(jié)構(gòu)，包括研究幾何體的表面積、體積以及幾何體中線面平行關(guān)系和垂直關(guān)系，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是由三視圖正確還原幾何體，在由三視圖還原幾何體時(shí)：第一，要分析幾何體是不是組合體，如果是，由幾部分組成，每部分是什么幾何體，最終得到幾何體的結(jié)構(gòu)特征；第二，要熟悉常見(jiàn)幾何體，如棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的三視圖，特別是某些側(cè)面垂直于底面的棱錐的三視圖，只有熟悉了這些常見(jiàn)的幾何體的三視圖，才能在復(fù)雜的幾何題中發(fā)現(xiàn)它們并加以運(yùn)用；第三，三視圖中的虛線是幾何體中存在的邊線，但在三視圖中并沒(méi)有投影出來(lái)，準(zhǔn)確理解虛線與實(shí)線的區(qū)別，充分挖掘虛線所提供的信息，并準(zhǔn)確運(yùn)用“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”，實(shí)現(xiàn)對(duì)空間圖形的邏輯推理.

【參考文獻(xiàn)】

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