非線性時(shí)滯差分方程解的全局吸引性

田建雨　蘇淑華　樂美桃

【摘要】本文構(gòu)造出V-函數(shù)并證明二階非線性差分方程解的全局吸引性的方法，同時(shí)構(gòu)造了一個(gè)V-函數(shù)來研究非線性時(shí)滯差分方程：xn+1=cxn+f（xn-xn-k）解的全局吸引性，并且本文證明了時(shí)滯差分方程有關(guān)平衡點(diǎn)的吸引性、穩(wěn)定性都可用非時(shí)滯差分方程來證明.

【關(guān)鍵詞】非線性差分方程； 時(shí)滯性；V-函數(shù)；全局吸引性

1.引 言

本文討論非線性時(shí)滯差分方程：

xn+1=cxn+f（xn-xn-k）（1.1）

其中c∈[0，1）的一個(gè)常數(shù)，k是一個(gè)正整數(shù)，f：R→R的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且f（0）=0，當(dāng)u≠0時(shí)f（u）≠0.該方程由早期宏觀經(jīng)濟(jì)模型中的“商業(yè)周期”模型而得來，并且該問題得到了許多學(xué)者的關(guān)注.近年來，差分方程解的有關(guān)性質(zhì)的研究發(fā)展非常迅速，其中以當(dāng)k=1時(shí)的二階非線性差分方程的研究是最受人們關(guān)注的，Sedaghat證明了在不同的約束下，二階非線性差分方程解的全局吸引性、穩(wěn)定性、周期性、以及振動(dòng)性等一系列的性質(zhì).H.A EL-Morshedy證明了二階非線性差分方程在約束條件比較大的關(guān)于平衡點(diǎn)的全局吸引性以及振動(dòng)性，其中最主要的方法是構(gòu)造一個(gè)V-函數(shù)，利用級(jí)數(shù)的收斂性來證明.受到該篇的啟發(fā)，本文將H.A EL-Morshedy推廣到了高階的情形，即對(duì)于高階非線性時(shí)滯差分方程構(gòu)造一個(gè)V-函數(shù)來證明方程在函數(shù)f以及參數(shù)c滿足一定條件時(shí)方程（1.1）關(guān)于平衡點(diǎn)是全局吸引的.

定義1.1 當(dāng)n≥-k時(shí)，方程（1.1）的解全是常數(shù)，該常數(shù)稱為方程（1.1）的平衡點(diǎn)，即如果

xn=x-，n≥-k，

則x-是方程（1.1）的平衡點(diǎn).顯然，方程（1.1）只有唯一的平衡點(diǎn)0.

定義1.2 當(dāng)任意的初始條件，方程的每一個(gè)解xn有l(wèi)imn→∞xn=x-，則稱平衡點(diǎn)x-是方程的全局吸引點(diǎn).顯然當(dāng)limn→∞xn=0時(shí)，0是方程（1.1）的全局吸引點(diǎn).

定義1.3 當(dāng)對(duì)任意的ε>0，存在δ>0使得當(dāng)x-k-x-+x1-k-x-+…+x0-x-<δ時(shí)對(duì)所有的n≥-k有l(wèi)imn→∞xn=x-成立，稱x-是局部吸引點(diǎn)，其中xn是方程的解，x-是方程的平衡點(diǎn).

定義1.4 當(dāng)任意的ε>0，存在δ>0使得當(dāng)x-k-x-+x1-k-x-+…+x0-x-<δ時(shí)對(duì)所有的n≥-k有xn-x-<ε成立，稱x-是局部穩(wěn)定的，其中xn是方程的解，x-是方程的平衡點(diǎn).

定義1.5 如果方程的平衡點(diǎn)x-是局部穩(wěn)定也是局部吸引點(diǎn)，稱x-是局部漸近穩(wěn)定點(diǎn).

2.全局吸引性

這節(jié)我們構(gòu)造V-函數(shù)來證明非線性差分方程（1.1）的解關(guān)于原點(diǎn)全局吸引，首先，我們給出下面一些性質(zhì).

性質(zhì)2.1 令xn，yn是兩個(gè)實(shí)數(shù)列并使得yn=xn-xn-k（n≥1）且x2=cx1+f（x1-x1-k），則xn是方程xn+1=cxn+f（xn-xn-k）的解當(dāng)且僅當(dāng)yn是方程：yn+1=cyn+f（yn）-f（yn-k）（1.2）的解；原點(diǎn)方程xn+1=cxn+f（xn-xn-k）的全局吸引點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是原點(diǎn)方程yn+1=cyn+f（yn）-f（yn-k）的全局吸引點(diǎn).

證明：先證第一部分，必要性：

如果xn是方程xn+1=cxn+f（xn-xn-k）的解，因?yàn)閥n=xn-xn-k（n≥1）則：

yn+1=xn+1-xn+1-k

=cxn+f（xn-xn-k）-xn+1-k

=c（xn-xn-k）+cxn-k-xn+1-k+f（xn-xn-k）

=cyn-f（xn-k-xn-zk）+f（yn）

=cyn-f（yn-k）+f（yn）

=cyn+f（yn）-f（yn-k）.

則yn是方程yn+1=cyn+f（yn）-f（yn-k）的解；

充分性：

設(shè)yn是方程yn+1=cyn+f（yn）-f（yn-k）的解，因?yàn)閥n=xn-xn-k（n≥1）則：

xn+1-xn+1-k=cxn+f（xn-xn-k）-cxn-k-f（xn-k-xn-zk）

xn+1=xn+1-k+cxn+f（xn-xn-k）-cxn-k-f（xn-k-xn-zk）

xn+1-cxn-f（xn-xn-k）=xn+1-k-cxn-k-f（xn-k-xn-zk）

因?yàn)閤2=cx1+f（x1-x1-k）即x2-cx1-f（x1-x1-k）=0由歸納法知xn+1-cxn-f（xn-xn-k）=0即xn是方程xn+1=cxn+f（xn-xn-k）的解；

第二部分證明方程（1.1）的平衡點(diǎn)原點(diǎn)是全局吸引當(dāng)且僅當(dāng)方程（1.2）的平衡點(diǎn)原點(diǎn)也是全局吸引.如果limn→∞xn=0，由于yn=xn-xn-k，則limn→∞yn=limn→∞（xn-xn-k）=0，如果limn→∞yn=0，由于yn=xn-xn-k.則xn+1=cxn+f（xn-xn-k）=cxn+f（y）n，n=1，2，3…

x1=cx0+f（y0），

x2=cx1+f（y1）=c（cx0+f（y0））+f（y1）=c2x0+cf（y0）+f（y1）

由歸納法知xn=cnx0+∑n-1i=0cn-1-if（yi）由于0≤c<1則limn→∞cnx0=0令y～n=∑n-1i=0cn-1-if（yi） （1）當(dāng)∑∞i=0f（yi）ci=M<∞，其中M是個(gè)常識(shí)，顯然y～n=∑n-1i=0cn-1-if（yi）=cn-1∑∞i=0f（yi）ci=Mcn-1.

limn→∞y～n=limn→∞Mcn-1=0.

（2）當(dāng)∑∞i=0f（yi）ci=∞由Stolze定理知

limn→∞y～n=limn→∞∑n-1i=0f（yi）ci1cn-1=limn→∞f（yn）1-c=f（0）1-c=0.

因此，limn→∞xn=0.

3.結(jié) 語

本文給出了構(gòu)造一個(gè)V- 函數(shù)的方法來驗(yàn)證高階非線性差分方程在平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.即對(duì)于高階非線性時(shí)滯差分方程構(gòu)造一個(gè)V-函數(shù)來證明方程在函數(shù)f以及參數(shù)c滿足一定條件時(shí)方程（1.1）關(guān)于平衡點(diǎn)是全局吸引性.