一道高考題的多種解法

肖運(yùn)彭　夏小剛

【摘要】高考題注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考察，在一道題中往往涉及多種數(shù)學(xué)思想方法，而這些數(shù)學(xué)思想方法對(duì)提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力具有極大的促進(jìn)作用.對(duì)選拔出合格優(yōu)秀的學(xué)生具有重要的參考價(jià)值.因此，無(wú)論老師還是學(xué)生，都應(yīng)關(guān)注高考題，特別是能夠體現(xiàn)出多種數(shù)學(xué)思維的高考題.本文就以2014年新課標(biāo)全國(guó)卷2理科數(shù)學(xué)選修坐標(biāo)系與參數(shù)方程為例，探討該題的多種解法及思想.

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo)；坐標(biāo)系；參數(shù)；垂直

（2014年新課標(biāo)全國(guó)卷2理數(shù)）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，θ∈0，π2.

（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：y=3x+2垂直，根據(jù)（Ⅰ）中得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).

法一：利用斜率的定義直接得出角度值

（Ⅰ）解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρ·cosθ.

∴x2+y2=2x（x-1）2+y2=1.

∴C的參數(shù)方程為x=1+cosα，y=sinα（其中α為參數(shù)，α∈[0，π]）.

（Ⅱ）解：由題可知直線CD的斜率與直線l斜率相等，

即：kCD=kl.∴sinα-01+cosα-1=3，解得α=π3，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為D32，32.

法二：（1）C的普通方程為（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）

可得C的參數(shù)方程為

x=1+cost，y=sint（t為參數(shù)，0≤t≤π）.

（1）設(shè)D（1+cost，sint）.由（1）知C是以G（1，0）為圓心，1為半徑的上半圓.

因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同.

tant=3，t=π3.故點(diǎn)D的坐標(biāo)是1+cosπ3，sinπ3，即D32，32.

法三：利用點(diǎn)到直線的距離公式

（Ⅰ）解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρ·cosθ.

∴x2+y2=2x（x-1）2+y2=1.

∴C的參數(shù)方程為x=1+cosα，y=sinα（其中α為參數(shù)，α∈[0，π]）.

（2）如圖所示，

O′CB為矩形，O′C=BD，O′C=2+32.

所以BD=sint-3（cost+1）-21+3=2sin（t-π3）-3-22.

所以sin（t-π3）=0t=π3所以點(diǎn)D32，32.

法四：直接利用圖形

（1）C的普通方程為

（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）.

可得C的參數(shù)方程為：

x=1+cost，y=sint（t為參數(shù)，0≤t≤π）.

（2）如圖所示可直接得出D32，32.

法五：利用直線的斜截式方程與方程組思想

（1）C的普通方程為

（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）.

可得C的參數(shù)方程為：

x=1+cost，y=sint（t為參數(shù)，0≤t≤π）.

（2）設(shè)過(guò)D點(diǎn)的切線方程為y=-33x+b.

由圓心（1，0）到切線的距離33-b332+1=1，

解得b=-33（舍）或b=3.

所以x-12+y2=1，y=-33x+3.解得D32，32 .

通過(guò)上述解法我們不難發(fā)現(xiàn)，高考題涉及諸多思想方法，學(xué)生完全可以根據(jù)自己的知識(shí)進(jìn)行有效的選擇.作為老師，在日常的教學(xué)工作中，也應(yīng)該重視對(duì)一題多解的探討，這更有助于對(duì)學(xué)生發(fā)散思維，創(chuàng)新能力的培養(yǎng).