變式探究，推陳出新

李思楊

【摘要】變式訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)方式，然而如何能結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行合理變式卻是數(shù)學(xué)教師一直在思考的問題.本文試圖通過一節(jié)解析幾何的課題，淺析變式訓(xùn)練的一些經(jīng)驗(yàn).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題；變式訓(xùn)練

問題是數(shù)學(xué)的核心，思維總是從問題開始的.要想激發(fā)學(xué)生的思維，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的渴望及興趣，設(shè)法創(chuàng)設(shè)情景，恰當(dāng)?shù)靥岢?、設(shè)置問題是關(guān)鍵.通過對(duì)問題分析、探討的一系列過程，從而產(chǎn)生解決問題的思維途徑與有效方法.若教師能在問題教學(xué)中，不斷創(chuàng)設(shè)一些變式訓(xùn)練、一題多解等，這將更有利于學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).“變式訓(xùn)練”的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)在設(shè)計(jì)問題的過程中，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知和技能的最近發(fā)展區(qū)，誘發(fā)學(xué)生通過探索、求異的思維活動(dòng)去發(fā)展能力.

現(xiàn)就以《直線與圓》的一道課本習(xí)題為例，談?wù)勗鯓佑幸庾R(shí)地去加強(qiáng)變式教學(xué)的訓(xùn)練.其做法大致如下：

1.問題：求過點(diǎn)P（2，3），并且在兩軸上的截距相等的直線方程.

本題的教學(xué)安排是：先由學(xué)生思考，教師在下面巡視中，發(fā)現(xiàn)此題雖然不難，但做錯(cuò)的相當(dāng)多；基本上分為兩類：一類是有三條直線；一類是有兩條直線.此時(shí)教師并不急著去講解，而是找作出這兩種答案的兩名同學(xué)甲、乙（甲的結(jié)果是三條直線，乙的結(jié)果是兩條直線）到黑板上，畫圖、講解；然后再由學(xué)生討論、評(píng)價(jià).下面是師生對(duì)此問題的一段對(duì)話；

T：甲、乙同學(xué)，誰(shuí)的答案是錯(cuò)的？錯(cuò)在什么地方？

S1：乙的答案是錯(cuò)的.因?yàn)榻鼐嗍蔷嚯x，所以乙的答案少了一條傾斜角為45°的直線.

S2：甲同學(xué)的答案是錯(cuò)的.錯(cuò)在截距不是距離.

T：通過以上的討論、評(píng)價(jià)，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)同甲同學(xué)的答案是錯(cuò)的，也都明白了他的錯(cuò)因.此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解“截距”的概念.根據(jù)我自己的課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，好多同學(xué)把“截距”與“距離”混淆以至出錯(cuò).“截距”是直線分別在x，y軸上交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，不是“距離”.但如何使學(xué)生深刻理解這一概念的內(nèi)涵卻是教學(xué)中的難點(diǎn)，所以合理的通過課堂討論、學(xué)生辨析，既避免教師強(qiáng)加式灌輸式的被迫接受，又會(huì)使同學(xué)們對(duì)“截距”的理解更加深刻，會(huì)收到較好的教學(xué)效果.

對(duì)于這一問題探究并沒止于此，接下去應(yīng)適時(shí)地提出新問題，進(jìn)行一系列的變式創(chuàng)新.

2.變式探究

學(xué)生變式：求過點(diǎn)P（2，3），并且在兩軸上截距的絕對(duì)值相等的直線方程.（由于學(xué)生對(duì)此前一個(gè)問題的深刻理解，故而對(duì)本題的解決相當(dāng)順暢.即要分截距相等與截距相反兩種情況討論.）

教師變式：變式（1）求過點(diǎn)P（2，3）且與坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)圍成的三角形面積最小的直線L的方程.

新問題的提出，使學(xué)生馬上投入到積極的思考中，下面展示幾名同學(xué)的思維結(jié)果.

S3：法一 （用重要不等式）設(shè)直線L的方程為：x[]a+y[]b=1 （a>0，b>0）.

∵直線L過P點(diǎn)，∴2[]a+3[]b=1.

∴1=2[]a+3[]b ≥26[]ab

Symbol^C@ ab≥24.當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=6時(shí)，取等號(hào).

∴S=1[]2ab≥12，此時(shí)L的方程為：x[]4+y[]6=1，即3x+2y-12=0.

S4：法二 （用三角）設(shè)直線L的方程為：x[]a+y[]b=1 （a>0，b>0）.

∵直線L過P點(diǎn)，∴ 2[]a+3[]b=1.

令2[]a=cos2θ，

3[]b=sin2θ0<θ<π[]2.

則S=1[]2ab=1[]22[]cos2θ·3[]sin2θ=12[]sin22θ.

∴當(dāng)θ=450 時(shí)，Smin=12，此時(shí)L的方程為：x[]4+y[]6=1，即3x+2y-12=0.

S5：法三 （函數(shù)）設(shè)直線L的方程為：x[]a+y[]b=1 （a>0，b>0）

∵直線L過P點(diǎn)，∴ 2[]a+3[]b=1，∴ b=3a[]a-2.

∴ S=1[]2ab=1[]2a·3a[]a-2=3[]2·a2[]a-2.

以下可用重要不等式或根分布或二次函數(shù)等來解決.（略）

T：對(duì)以上同學(xué)的解答，應(yīng)給予及時(shí)肯定與表?yè)P(yáng)；其中尤以S1的解答，更簡(jiǎn)潔、更優(yōu)美！同時(shí)體現(xiàn)了很強(qiáng)的靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的能力.

變式（2）求過P（2，3）點(diǎn)且在坐標(biāo)軸的正半軸上的截距和最小的直線L的方程.

T：解：設(shè)直線L的方程為：x[]a+y[]b=1 （a>0，b>0）

∵直線L過P點(diǎn)，∴2[]a+3[]b=1，我們的目標(biāo)是求：t=a+b的最小值.怎么辦？

S6：法一（用重要不等式）

t=a+b=（a+b）·2[]a+3[]b=2b[]a+3a[]b+5 ≥26+5.

當(dāng)且僅當(dāng)2[]a=3[]b，即a=2+6，b=3+6時(shí)，取等號(hào).

∴ L的方程為：x[]26+y[]3+6=1，

即：（3+6）x+（2+6）y-12-56=0.

S7：法二（用三角、不等式）設(shè)直線L的方程為：x[]a+y[]b=1 （a>0，b>0）.

∵直線L過P點(diǎn)，∴ 2[]a+3[]b=1.

令 2[]a=cos2θ，

3[]b=sin2θ0<θ<π[]2.

則t=a+b=2[]cos2θ+3[]sin2θ=2（1+tan2θ ）+3（1+cot2θ）

=5+2tan2θ+3cot2θ ≥5+26.當(dāng)且僅當(dāng)2tan2θ=3cot2θ，

即：tanθ=6[]2時(shí)，取等號(hào).

∴ L的方程為：x[]2+6+y[]3+6=1，即：（3+6）x+（2+6）y-12-56=0.

S8：法三 （函數(shù)）.仿變式（1）的法三，同理可做（略）.

變式（3）求過P（2，3）點(diǎn)且與坐標(biāo)軸的正半軸分別交于點(diǎn)M，N，求|MP|·|PN|最小時(shí)的直線L的方程.

T：通過學(xué)生的思考，很快也找到了解決的辦法.

令∠PMO=θ0<θ<π[]2，

則|MP|·|PN|=3[]sinθ+2[]cosθ=12[]sin2θ，

∴當(dāng)θ=45°時(shí)，|MP|·|PN|min=12，此時(shí)L的方程為：x+y-5=0.

通過以上的變式訓(xùn)練，加強(qiáng)了學(xué)生之間的交流，培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.同時(shí)本題還可繼續(xù)進(jìn)行以下變形，由于時(shí)間關(guān)系，更具挑戰(zhàn)性的變式（4），留做思考題.

變式（4）求過P（2，3）點(diǎn)且與坐標(biāo)軸的正半軸分別交于點(diǎn)M，N，求|MP|+|PN|最小時(shí)的直線L的方程.

通過本節(jié)習(xí)題課的教學(xué)，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.在概念辨析、方法的運(yùn)用與積累方面都收到了良好的效果.這對(duì)挖掘?qū)W生的潛能，訓(xùn)練思維能力、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，都起到了積極、促進(jìn)作用；通過一題多變，訓(xùn)練了學(xué)生思維的深刻性、批判性，使學(xué)生從中了解到例（習(xí)）題的來龍去脈，掌握了探索命題演變的思維方法，它是發(fā)展學(xué)生發(fā)散思維、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的有效途徑，也是教師有意識(shí)將探索和發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)留給學(xué)生的有效嘗試，在學(xué)生的探求過程中，有效地進(jìn)行一題多變，一題多解.研究數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的“橫向聯(lián)想”，“縱向引申”，在分析問題、研究問題的過程中訓(xùn)練思維能力，讓學(xué)生嘗到成功的喜悅，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力具有重要意義.