從一則課堂教學(xué)案例看探究性教學(xué)

陳啟海

探究性教學(xué)中，學(xué)生探究的過(guò)程就是創(chuàng)新的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，知識(shí)與能力的獲得主要不是依靠教師的灌輸與培養(yǎng)，而是在教師的指導(dǎo)下由學(xué)生主動(dòng)探索，主動(dòng)思考，親身體驗(yàn)出來(lái)的.

案例 等比數(shù)列前n項(xiàng)和

在等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式探究中，我設(shè)計(jì)了以下三個(gè)層層遞進(jìn)的問(wèn)題：

（1）求數(shù)列1，2，22，23，……的前n項(xiàng)和；

（2）求數(shù)列1，q，q2，q3，……的前n項(xiàng)和；

（3）求等比數(shù)列a1，a2，a3，……的前n項(xiàng)和.

學(xué)生在問(wèn)題的引導(dǎo)下，通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，自主探究與合作交流，經(jīng)過(guò)觀察、類(lèi)比、歸納等活動(dòng)去探究新知：

師：觀察數(shù)列（1）項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，你能得到什么啟發(fā)？

生A：設(shè)數(shù)列（1）前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=1+2+22+…+2n①，

2Sn=2+22+23+…2n+1②.

由②-①，得Sn=2n+1-1，（n∈N*）.

師：n=1時(shí)，a1成立嗎？

生B：A的結(jié)論不正確，數(shù)列（1）的第n項(xiàng)不是2n ，而是2n-1，即Sn=1+2+22+…2n-1，用同樣的方法可得Sn=2n-1，（n∈N*）.

師：你們?cè)趺聪氲絻蛇呁艘?后可求Sn？

生A：觀察這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)，后面一項(xiàng)都是前面一項(xiàng)的2倍，乘以2后①②兩個(gè)等式有n-1項(xiàng)相同，相減可消去得Sn=2n-1.

師：A同學(xué)非常善于觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，B同學(xué)具有敏銳的洞察力，兩人合作，今后一定能成大業(yè).

（同學(xué)們贊許地笑了）

師：哪名同學(xué)總結(jié)一下，什么數(shù)列可以用這種方法求和，以及求和時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題？

生C：等比數(shù)列求和時(shí)應(yīng)注意數(shù)列的通項(xiàng)和項(xiàng)數(shù).

師：很好，數(shù)列的通項(xiàng)是數(shù)列求和的前提條件，下面我們?cè)賮?lái)探究數(shù)列（2）.

生D：數(shù)列（2）和（1）類(lèi)似，是公比為q的等比數(shù)列，用同樣方法可求Sn=1-qn1-q.

生E：D同學(xué)結(jié)論在q≠1時(shí)成立，若q=1，則是常數(shù)列Sn=n，故 Sn=n，q=11-qn1-q，q≠1

同學(xué)們都很滿(mǎn)意地點(diǎn)了點(diǎn)頭，問(wèn)題得到解決.

師：D同學(xué)說(shuō)數(shù)列（2）是以q為公比的等比數(shù)列對(duì)嗎？

生F：q≠0時(shí)是等比數(shù)列.（生E會(huì)心地笑了，也為剛才冒失地回答感到不好意思）

師：請(qǐng)同學(xué)們想一下，若數(shù)列通項(xiàng)是字母表示的應(yīng)注意哪些問(wèn)題？

生G：如果是等比數(shù)列，要討論公比q=1和q≠1的情形，如果不是等比數(shù)列，還要考慮字母取0的情形.

師：下面再來(lái)探究數(shù)列（3）的求和，并請(qǐng)同學(xué)上黑板展示求和過(guò)程.

生H：設(shè)等比數(shù)列a1，a2，…，an，……的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1（1+q+q2+…+qn-1）.

由數(shù)列（2）知：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a11-qn1-q.

師：H同學(xué)借助數(shù)列（2）的結(jié)論得到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，那完整的推導(dǎo)怎么寫(xiě)？

生I：設(shè)等比數(shù)列a1，a2，…，an前n項(xiàng)和為Sn，則

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.①

兩邊乘以q，得qSn=a1q+a1q2+…+a2q3+a1qn-1+a1qn.②

由①-②，得（1-q）Sn=a1-a1·qn.

若q=1，則Sn=na1；若q≠1，則Sn=a1（1-qn）1-q.

故Sn=na1，（q=1），a1（1-qn）1-q，（q≠1）.

師：I同學(xué)非常嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確地推導(dǎo)了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并對(duì)相同的n-1項(xiàng)作了標(biāo)注，我們給這樣求和的方法起個(gè)名字叫錯(cuò)位相減法或錯(cuò)位相消法.

師：同學(xué)們還有其他推導(dǎo)方法嗎？（q≠1情形）

同學(xué)們紛紛議論，上課情緒高漲，過(guò)了一會(huì)兒，有三名同學(xué)給出了他們不同的推導(dǎo)方法.（在此不再贅述）

學(xué)生在問(wèn)題的引導(dǎo)下，自主探究，發(fā)現(xiàn)新知，這有利于啟迪學(xué)生的思維，突破教學(xué)的重難點(diǎn).教師要充分利用教材上的“思考”“探究”等素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的教學(xué)活動(dòng).