探析高等代數(shù)與解析幾何之合并設(shè)課

程新珠　劉莉

【摘要】隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，高等代數(shù)與解析幾何這兩門學(xué)科相互融合已成必然.同時(shí)，由于現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展影響了人們的觀念，原有教材內(nèi)容已不能適應(yīng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，課程和教材的改革，相應(yīng)的教學(xué)方法和手段也得到不斷的認(rèn)識(shí)和改進(jìn)，因此，對(duì)高等代數(shù)與解析幾何這兩門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程進(jìn)行課程內(nèi)容與體系的整合已成為可能.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；解析幾何；合并設(shè)課

中央廣播電視大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)的課程中，有《高等代數(shù)專題研究》和《幾何基礎(chǔ)》這兩門學(xué)科.從內(nèi)容編排上來看，高等代數(shù)包括代數(shù)運(yùn)算與數(shù)學(xué)歸納法、多項(xiàng)式理論、線性空間、線性變換、歐幾里得空間、雙線性函數(shù)和二次型.編者在前言中說：“二次型理論部分，編寫了二次曲線的化簡(jiǎn)，力求給讀者一個(gè)清晰的數(shù)學(xué)分類的思想及高等代數(shù)在幾何方面應(yīng)用的范例.”而《幾何基礎(chǔ)》中編排了向量及其運(yùn)算、向量運(yùn)算的代數(shù)表達(dá)形式、射影幾何、二次曲線等.編者說“學(xué)習(xí)本書所需的基礎(chǔ)知識(shí)是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)，特別是解析幾何.”由此看出，這兩門課程關(guān)系密不可分，且部分內(nèi)容重疊.由于現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展影響了人們的觀念，原有教材內(nèi)容已不能適應(yīng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，課程和教材的改革，相應(yīng)的教學(xué)方法和手段也得到不斷的認(rèn)識(shí)和改進(jìn)，因此，對(duì)高等代數(shù)與解析幾何這兩門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程進(jìn)行課程內(nèi)容與體系的整合已成為可能.隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，課程改革作為教育改革的核心環(huán)節(jié)和教育改革深化的標(biāo)志，在世界范圍內(nèi)得到廣泛的關(guān)注和前所未有的重視.高等代數(shù)與解析幾何作為傳統(tǒng)“三基”模式下的二門課程，關(guān)系非常密切，幾何與代數(shù)互為問題、互為方法、互相交融，因而對(duì)其進(jìn)行合理的整合不僅必要而且切實(shí)可行.作者通過探討高等代數(shù)與解析幾何合并教學(xué)以后教學(xué)內(nèi)容的相互協(xié)調(diào)性、教學(xué)手段的合理性，從而說明高等代數(shù)與解析幾何這兩門學(xué)科相互融合已成必然.

一、高等代數(shù)與解析幾何的內(nèi)容及相互關(guān)系

線性代數(shù)是高等代數(shù)的主要內(nèi)容，具有深刻的幾何背景.而解析幾何則是用代數(shù)方法研究空間的幾何問題.因此把高等代數(shù)與解析幾何合并成一門課具有其內(nèi)在的合理性.總的來說，解析幾何是以高等代數(shù)為主要研究工具的幾何學(xué)，沒有高等代數(shù)這個(gè)主要工具，就沒有解析幾何，而解析幾何又反過來為高等代數(shù)提供了幾何背景、解釋和研究課題，促進(jìn)代數(shù)的發(fā)展，因此，把它們結(jié)合起來作為統(tǒng)一的課程是有必要的，也是十分有益的.

從代數(shù)與幾何的發(fā)展來看，高等代數(shù)與解析幾何從來就是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的.它們的關(guān)系可以歸納為“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景”.前一句話是明顯的事實(shí)，代數(shù)的發(fā)展確實(shí)可以幫助解決許多幾何問題，而后一句話更重要，甚至可以改為“代數(shù)要在幾何中尋找直觀”，以強(qiáng)調(diào)幾何對(duì)代數(shù)發(fā)展的促進(jìn)作用.有很多具體的實(shí)例支持這個(gè)觀點(diǎn).從內(nèi)容的聯(lián)系來看，兩門課之間存在著工具與對(duì)象的聯(lián)系.解析幾何中以代數(shù)為工具，解析幾何中的很多概念、方法都是應(yīng)用線性代數(shù)的知識(shí)、定義來刻畫、描述和表達(dá)的.例如，解析幾何中的向量的共線、共面的充分必要條件就是用線性運(yùn)算的線性相關(guān)來刻畫的，最終轉(zhuǎn)化為用行列式工具來表述；又如，解析幾何中向量的外積（即向量積）、混合積也是行列式工具來表示的典型事例.高等代數(shù)中的許多知識(shí)點(diǎn)的引入、敘述和刻畫亦用到解析幾何的概念或定義.例如線性空間的概念表述就是以解析幾何的二維、三維幾何空間為實(shí)例模型.從概念的內(nèi)涵和外延來看，兩門課之間存在著特殊與一般的關(guān)系，解析幾何的一、二、三維空間是線性代數(shù)n維空間的特例，而線性空間的大量理論又是來源于一、二、三維幾何空間的推廣（抽象）.由此看出兩課合并有利于“數(shù)”與“形”的結(jié)合.從數(shù)學(xué)思想方法來看，兩門課具有統(tǒng)一性.

二、高等代數(shù)與解析幾何一體化教學(xué)內(nèi)容的協(xié)調(diào)

高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容主要有：多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、線性空間、線性變換、歐式空間、二次型.解析幾何主要研究二維實(shí)空間中的直線與二次曲線、三維實(shí)空間中的平面與二次曲面、空間曲線和空間曲面的位置關(guān)系、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換.由此可以看出，兩門課程的內(nèi)容重復(fù)之處較多，而這種重復(fù)基本上是一般與特殊的關(guān)系.因此從學(xué)生的認(rèn)知角度來看，兩門課程合并能讓學(xué)生在具體的幾何背景下更直觀地接受數(shù)學(xué)思想與方法，能充分地發(fā)揮兩門課內(nèi)容的互補(bǔ)作用，符合“數(shù)”與“形”結(jié)合的認(rèn)知規(guī)律，幾何學(xué)的討論給代數(shù)學(xué)提出了相關(guān)問題，而代數(shù)學(xué)研究的結(jié)果又可應(yīng)用到幾何學(xué)中去，它們互為問題、互為方法、相互交融，在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)等技術(shù)都以幾何與線性代數(shù)為其理論基礎(chǔ)，幾何問題的代數(shù)化處理、代數(shù)問題的可視化處理，代數(shù)與幾何更顯得相互滲透、密不可分.根據(jù)高等代數(shù)與解析幾何的密切關(guān)系，首先應(yīng)介紹代數(shù)方法，然后用它去解決一些問題，最后用代數(shù)方法討論一般的幾何問題，這樣既可以輕松地完成解決幾何的教學(xué)和學(xué)習(xí)，同時(shí)學(xué)生也體會(huì)了代數(shù)的妙處，加深了對(duì)代數(shù)的理解.

三、合并設(shè)課符合基礎(chǔ)教育改革的發(fā)展要求

隨著高等教育改革步伐的加大和加快，對(duì)人才的培養(yǎng)越來越強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性和綜合素質(zhì)的提高，讓學(xué)生掌握系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論知識(shí)，必然要進(jìn)行教學(xué)改革.數(shù)學(xué)教師的綜合素質(zhì)與新課程實(shí)施的嚴(yán)重不適應(yīng)已經(jīng)成為當(dāng)前基礎(chǔ)教育改革的主要問題，也是數(shù)學(xué)教育改革成敗的關(guān)鍵問題.如何改革高校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的課程設(shè)置，轉(zhuǎn)變培養(yǎng)模式來提高師生綜合素質(zhì)已迫在眉睫.一方面，從中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育改革的理念“體現(xiàn)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)，以及改革數(shù)學(xué)教師教學(xué)方式與學(xué)生學(xué)習(xí)方式”來看，對(duì)教師數(shù)學(xué)知識(shí)的要求也與過去發(fā)生了很大的變化，更強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)研究方法的理解，更注重對(duì)數(shù)學(xué)公式、定理、概念來龍去脈的推理.高等代數(shù)與解析幾何兩門課程的結(jié)合無論從內(nèi)容上還是從方法上都順應(yīng)這種要求；另一方面從數(shù)學(xué)教師專業(yè)化的要求來看，教師專業(yè)的特殊能力之一是教學(xué)技能的訓(xùn)練與培養(yǎng).據(jù)有關(guān)專家認(rèn)為可將教材教法、微格教學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)融為一門課，以適應(yīng)現(xiàn)代教育教學(xué)的要求.由于高等代數(shù)是一門抽象性很強(qiáng)的課程，而解析幾何卻非常直觀，那么就可以充分利用此特點(diǎn)借助計(jì)算機(jī)多媒體教學(xué)以展示兩者的融合，這樣，既可以提高教學(xué)效益，又能充分體現(xiàn)學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)新理念.

四、合并設(shè)課的嘗試

武漢理工大學(xué)于2000年開始招收信息與計(jì)算專業(yè)學(xué)生.該專業(yè)是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)方向，基礎(chǔ)課有數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)與解析幾何.這是該校第一次將高等代數(shù)與解析幾何合為一門課程，經(jīng)認(rèn)真研討后，制訂了教學(xué)大綱并選定孟道驥《高等代數(shù)與幾何》作為教材，并確立了課堂講授的幾個(gè)準(zhǔn)則：一是注意與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合；二是解析幾何內(nèi)容可作適當(dāng)補(bǔ)充并部分提前講授；三是要講思想精髓，對(duì)教材內(nèi)容要作取舍.這些準(zhǔn)則，從以后的教學(xué)實(shí)踐看，奠定了講好該課程的基礎(chǔ).

經(jīng)過高等代數(shù)與解析幾何合并為一門課的教學(xué)實(shí)踐，教者的體會(huì)是：第一，教師要樹立教書育人的思想，幫助介紹一些數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，說明打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是將來發(fā)展的前提，幫助學(xué)生樹立正確的學(xué)習(xí)心態(tài).第二，不能單純講解數(shù)學(xué)理論，要介紹理論的來源和用途.講授方程組解法時(shí)，可舉例說明投入產(chǎn)出方法，可結(jié)合數(shù)學(xué)軟件讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)上繪制二次曲面的圖形，效果逼真又節(jié)省課堂時(shí)間.第三，要注意因材施教.對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，指定一些參考書讓其課外閱讀，補(bǔ)充教材和講授的不足.對(duì)基礎(chǔ)較差的學(xué)生，通過個(gè)別輔導(dǎo)答疑，讓其達(dá)到基本要求不致掉隊(duì).

五、高等代數(shù)與解析幾何的未來展望

高等代數(shù)與解析幾何兩課合一，這是歷史的必然.但兩者合并并不是機(jī)械地編湊在一起，重要的是從邏輯系統(tǒng)、理論高度妥善處理好它們之間的關(guān)系.從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，代數(shù)與幾何關(guān)系已密不可分，相互依賴；從本質(zhì)上看，解析幾何中的二次曲線、二次曲面的分類與線性代數(shù)中的二次型的分類說的是一回事.高等代數(shù)與解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，隨著計(jì)算機(jī)多媒體的普及，高等代數(shù)與解析幾何的教學(xué)必須得到加強(qiáng).它們的關(guān)系密切且部分內(nèi)容重疊，因此將兩門課程合起來，不僅可節(jié)省時(shí)間，也可使它們互為補(bǔ)充，從而形成統(tǒng)一的整體.

總之，高等代數(shù)與解析幾何是不可分割的，把高等代數(shù)與解析幾何結(jié)合起來作為統(tǒng)一的課程是有必要的，也是十分有益的.這是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，應(yīng)有一個(gè)宏觀設(shè)想.而作為一個(gè)新生事物，要真正做到兩門課程水乳交融、融會(huì)貫通，使其形成一個(gè)有機(jī)的整體，還需要一個(gè)過程，需要不斷積累經(jīng)驗(yàn).讓我們大家努力做好，使我國早日成為世界數(shù)學(xué)大國.

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