《微積分》教學(xué)中的兩點(diǎn)想法

吳愛(ài)娟　賈魯軍

【摘要】本文對(duì)《微積分》教學(xué)中存在的某些問(wèn)題進(jìn)行剖析，針對(duì)這些問(wèn)題提出了作者的想法，特別的對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的引入和微積分基本公式——牛頓萊布尼茲公式的證明給出了作者特有的思路.

【關(guān)鍵詞】微積分；無(wú)窮級(jí)數(shù)；微積分基本公式；原函數(shù)

一、引言

微積分是一門(mén)古老的學(xué)科，從17世紀(jì)至今發(fā)展數(shù)百年，它在社會(huì)生活中的應(yīng)用比比皆是，正因?yàn)樗膽?yīng)用廣泛，所以它是大學(xué)數(shù)學(xué)必修課.但是由于學(xué)科本身的特點(diǎn)，它的學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)理基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)就很吃力.每年在我們的微積分教學(xué)中都存在同樣的問(wèn)題：學(xué)生覺(jué)得學(xué)習(xí)起來(lái)很抽象.這就促使我們老師總是想方設(shè)法把某些微積分中的某些概念或者定理的證明形象化.為此，我在教學(xué)中就有兩點(diǎn)體會(huì)，分別敘述如下.

二、兩點(diǎn)想法

第一，是無(wú)窮級(jí)數(shù)的講解.在某些情況下，我們能夠從一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)求得一個(gè)有限數(shù).無(wú)窮級(jí)數(shù)指的是一個(gè)可以無(wú)限地寫(xiě)下去的數(shù)字組合，如1+12+14+18+…，最后的省略號(hào)表示這個(gè)算式還將無(wú)限地繼續(xù)下去.

學(xué)生到這里就開(kāi)始感到困惑了.無(wú)論我們老師怎樣用一些定理（這些定理大部分學(xué)生都不記得了）向?qū)W生證明，一個(gè)無(wú)窮盡的算式依然可以通過(guò)求和得到一個(gè)確定的數(shù)值.盡管與很多令人信服的數(shù)學(xué)證明，但班上的大部分同學(xué)卻死活不能接受這一結(jié)論.無(wú)限的東西經(jīng)過(guò)疊加怎么可能得到一個(gè)有限的結(jié)果呢？

為解決這一抽象理解，我的做法如下，我讓一個(gè)學(xué)生站在離一堵墻正好2米的地方，現(xiàn)在朝墻壁的方向移動(dòng)12的距離（即1米），繼續(xù)重復(fù)相同的動(dòng)作（即12米），再移動(dòng)剩下距離中的12（即14米），不斷重復(fù)，最終他將十分貼近墻壁，但他永遠(yuǎn)都不會(huì)撞到墻壁，因?yàn)槔碚撋夏闼苿?dòng)的每一步都只有剩余距離的12，若我們同意用米作為計(jì)量單位，那么他所移動(dòng)的距離就可以表示為

1+12+14+18+…，

但是他所走過(guò)的總距離永遠(yuǎn)都不可能超過(guò)2米，也就是一開(kāi)始他與墻壁的距離.出于計(jì)算的目的，他所走路程的總長(zhǎng)度可以簡(jiǎn)單地估算為2米，但數(shù)學(xué)家會(huì)說(shuō)1+12+14+18+…最終收斂于2.

第二，是牛頓—萊布尼茲定理的證明.

微積分基本公式目前在教材上常見(jiàn)的敘述及證明為：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)且有原函數(shù)F（x），則∫baf（x）dx=Fb-Fa.

證明 因?yàn)閒（x）在區(qū)間a，b上是連續(xù)函數(shù)，所以積分上限函數(shù)Φ（x）=∫xaftdt可導(dǎo)，且Φ′（x）=f（x）.

又已知f（x）在區(qū)間a，b上有原函數(shù)F（x），所以F（x）=Φ（x）+C，即

F（x）=∫xaftdt+C.

在上式中取x=a，得C=Fa，

所以，在上式中取x=b，得Fb=∫baf（x）dx+C=∫baf（x）dx+Fa，

故∫baf（x）dx=Fb-Fa.

該公式揭示了微分和積分之間的聯(lián)系，它的提出是微積分創(chuàng)立的標(biāo)志.上述證明是目前較流行的證明，是在引入積分上限函數(shù)的基礎(chǔ)上利用被積函數(shù)的連續(xù)性進(jìn)而利用積分上限函數(shù)的可導(dǎo)性.而我們將減弱該公式的條件，給出一種基于微分中值定理的證明.具體內(nèi)容如下：

定理 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上可積且有原函數(shù)F（x），則∫baf（x）dx=Fb-Fa.

證明 函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上可積，意味著把區(qū)間a，b任意分成n個(gè)小區(qū)間x0，x1，…，xn-1，xn，其中a=x0，b=xn，在每個(gè)小區(qū)間xi-1，xi上任取一點(diǎn)ξi，都有

∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1fξixi-xi-1 1

其中λ=max1≤i≤nxi-xi-1.

特別地，把區(qū)間a，bn等分成n小區(qū)間x0′，x′1，…，x′n-1，x′n，其中a=x′0，b=x′n.又已知f（x）在區(qū)間a，b上有原函數(shù)F（x），所以由微分中值定理可得，在每個(gè)小區(qū)間x′i-1，x′i上都存在一點(diǎn)ξ′i，使得

Fb-Fa=∑ni=1Fx′i-Fx′i-1

=∑ni=1fξ′i·b-an

從而，limn→∞∑ni=1fξ′i·b-an=limn→∞Fb-Fa=Fb-Fa 2

將1，2兩個(gè)等式結(jié)合在一起可得，∫baf（x）dx=Fb-Fa.證畢.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室. 高等數(shù)學(xué).北京：高等教育出版社，2007.

[2]趙樹(shù)嫄.微積分.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2007.