圓錐曲線中與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題研究

范賢麗

[摘 要]主要研究圓錐曲線中因直線運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題，涉及斜率之和、斜率之差、斜率之積三類定值問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞]圓錐曲線 斜率 定值

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）230038

動(dòng)和靜是物體的兩個(gè)方面，動(dòng)是絕對(duì)的，靜是相對(duì)的，動(dòng)靜是辯證地存在的.圓錐曲線是動(dòng)靜結(jié)合的典范.以橢圓為例，橢圓的定義為定點(diǎn)F1、F2，定值2a（2a>F1F2），動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1+PF2=2a，則P的軌跡是橢圓.“動(dòng)”是P的運(yùn)動(dòng)，“靜”是動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1+PF2=2a，點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和是定值.在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，不變的就是靜.本文以圓錐曲線為背景，研究與直線的斜率有關(guān)的定值問(wèn)題.

一、斜率之和為定值

【例1】 橢圓C：x2a2+

y2b2=1（a>b>0）

經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，32），離心率e=12，直線l的方程為x=4.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任意一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3.問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由.

解析：：（Ⅰ）易求出橢圓C的方程為x24+y23=1.

（Ⅱ）設(shè)B（x0，y0）（x0≠±1），則直線FB的方程為y（x0-1）=y0（x-1）.

令x=4，求得M（4，3y0x0-1），從而直線PM的斜率為k3=2y0-x0+12（x0-1）.

直線FB的方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解得A（5x0-82x0-5，3y02x0-5），

則直線PA的斜率為k1=2y0-2x0+52（x0-1），直線PB的斜率為k2=2y0-32（x0-1）.

所以k1+k2=

2y0-2x0+52（x0-1）+

2y0-32（x0-1）=

2×

2y0-x0+12（x0-1）=

2k3.故存在常數(shù)λ=2符合題意.

點(diǎn)評(píng)：過(guò)定點(diǎn)F的動(dòng)直線引出三個(gè)動(dòng)點(diǎn)：與定橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，與定直線l的交點(diǎn)M，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（滿足PF⊥x軸）的調(diào)動(dòng)，得到kPA+kPB=2kPM，動(dòng)中有靜，靜由動(dòng)生，動(dòng)靜和諧，形式優(yōu)美.

二、斜率之差為定值

【例2】 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率e=32，a+b=3，

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）A、B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，D是橢圓C的下頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M.設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，求證：2m-k為定值.

解析：（Ⅰ）易得橢圓C的方程為x24+y2=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），D（0，1），P不為橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)BP的方程為y=k（x-2），k≠0，k≠±12.

將之代入橢圓方程，解得P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1）.

又直線AD的方程為y=12x+1，與BP的方程聯(lián)立，解得M（4k+22k-1，4k2k-1）.

由D（0，1），P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1），N（x，0）三點(diǎn)共線可求得N（4k-22k+1，0）.

所以MN的斜率為m=2k+14，故2m-k=12（定值）.

點(diǎn)評(píng)：定橢圓上的三個(gè)定點(diǎn)A、B、D，由橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P引出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，這些點(diǎn)恰好都在定角∠DAB內(nèi)，兩個(gè)動(dòng)直線MB、MN的斜率受定直線MA的斜率制約.

三、斜率之積為定值

【例3】 橢圓C：x24+y23=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是[-2，-1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（ ）.

A.[12，34]

B.[38，34]

C.[12，1]

D.[34，1]

解析：由題意知，A1（-2，0），A2（2，0）.設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則kPA1=y0x0+2，

kPA2=y0x0-2（x0≠±2），且x204+y203=1.

∴kPA1·kPA2

=y20x20-4=

-34，從而kPA1=-34kPA2，由kPA2∈[-2，-1]得k∈[38，34].故選B.

點(diǎn)評(píng)：橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上不與長(zhǎng)軸端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)與兩個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)連線的斜率之積是常數(shù)-b2a2，反映橢圓上的動(dòng)點(diǎn)具有不變的特性.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）