對(duì)一道教材練習(xí)題的思考

張永靜

【摘要】教材內(nèi)容設(shè)置看似簡(jiǎn)單，注重基礎(chǔ)，但是教材內(nèi)容所涵蓋的深邃內(nèi)容需要研究發(fā)掘，進(jìn)行拓展，才能夠拓展學(xué)生思維，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和能力，如果引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考，得出一些有價(jià)值的東西，既可以提高學(xué)習(xí)興趣，又能夠?yàn)楹罄m(xù)學(xué)習(xí)提供更多的理論基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】源泉 ?探索 ?等積分形

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）08-0103-01

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的源泉，我們應(yīng)該抓住其精髓，比如對(duì)一些習(xí)題，如果能夠進(jìn)行細(xì)致的思考，經(jīng)過(guò)探索，會(huì)發(fā)現(xiàn)別有一番洞天。如果引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考，得出一些有價(jià)值的東西，既可以提高學(xué)習(xí)興趣，又能夠?yàn)楹罄m(xù)學(xué)習(xí)提供更多的理論基礎(chǔ)。義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》八年級(jí)（下）第86頁(yè)有這樣一道練習(xí)題：

已知：如圖1，？荀ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，直線EF過(guò)點(diǎn)O且分別交AD、BC與點(diǎn)E、F，求證：OE=OF

該題證明過(guò)程如下：

證法一（證三角形全等）：

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠EAO=∠FCO，OA=OC

在△OAE和△OCF中

∠EAO=∠FCO

OA=OC

∠AOE=∠COF

∴△OAE≌△OCF

證法二：（用中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)證之）：

∵？荀ABCD是中心對(duì)稱(chēng)圖形

∴點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在BC上

又∵點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線BF上

∴點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是直線BC與直線BF的交點(diǎn)

即點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)F

∴OE=OF

根據(jù)證法二做進(jìn)一步思考可得：

①點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，故而四邊形ABFE與四邊形CDEF關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)。

②由①根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得四邊形ABFE全等于四邊形CDEF，故而有S四邊形ABFE=S四邊形CDEF。

綜上所述可得：直線EF將？荀ABCD分為面積相等的兩部分。

思考：如圖1，直線MN是否也將？荀ABCD分成面積相等的兩部分呢？

答案是肯定的，我們可以仿照上述過(guò)程證得直線MN將？荀ABCD分成面積相等的兩部分，這里不再贅述。

由于直線EF與直線MN具有任意性，綜上所述可得：

經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的任一直線把該平行四邊形分成面積相等的兩部分（等積分形）。

我們可以利用這一結(jié)論將梯形用一直線分成面積相等的兩部分。其思路是將梯形轉(zhuǎn)化為與其等面積的平行四邊形，再利用上述結(jié)論將其分成面積相等的兩部分。

如圖2過(guò)梯形ABCD一腰AB的中點(diǎn)G，作EF∥CD交BC于F，交DA的延長(zhǎng)線于E，則△AEG≌△BFG，從而有

S梯形ABCD=S？荀EFCD，連接CE、DF交于點(diǎn)O，再過(guò)點(diǎn)O作一直線MN，使之與梯形兩底AD、BC分別交于點(diǎn)M、N，則S四邊形MNCD=S四邊形NMEF，由于△AEG≌△BFG，進(jìn)而可以說(shuō)明S△AGE+S五邊形AGFNM=S△BGF+

S五邊形AGFNM，即S四邊形NMEF=S四邊形MNBA，故而S四邊形MNCD=S四邊形MNBA.

這樣我們可以成功地將梯形ABCD分成面積相等的兩部分。

由此看來(lái)，只要引導(dǎo)學(xué)生善于思考，經(jīng)過(guò)探索研究，可以不斷地從教材中汲取營(yíng)養(yǎng)，踏進(jìn)更加美妙的數(shù)學(xué)殿堂。