高等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)途徑

周鐵軍　王敏　李小春

[摘 要]數(shù)學(xué)在學(xué)生邏輯思維能力、定量分析問題能力等方面的培養(yǎng)毋庸置疑具有不可替代的重要作用。培養(yǎng)高等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的途徑主要包括數(shù)學(xué)概念的引入、多方面實(shí)例的搜集、學(xué)生課外活動(dòng)的利用、數(shù)學(xué)建模競賽影響力的擴(kuò)大及教師自身科研的挖掘五個(gè)方面。教師應(yīng)該積極開展應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的研究，使自己具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，平時(shí)多積累數(shù)學(xué)應(yīng)用案例，這樣無論在課堂講授中，還是在其他教學(xué)活動(dòng)中，都能使用最恰當(dāng)?shù)膯栴}，做到得心應(yīng)手，這樣培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力就不會(huì)是紙上談兵。

[關(guān)鍵詞]應(yīng)用能力 高等數(shù)學(xué) 培養(yǎng)途徑

[中圖分類號] G642.1 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）09-0115-02

數(shù)學(xué)在學(xué)生邏輯思維能力、定量分析問題能力等方面的培養(yǎng)毋庸置疑具有不可替代的重要作用。從小學(xué)一年級到高中畢業(yè)整整12年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使進(jìn)入大學(xué)的青年學(xué)生已經(jīng)具備了這些能力。但大部分專業(yè)還要開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程，其目的不僅僅是為了培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，更主要是為了專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，為了利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，體現(xiàn)在專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)上就是要培養(yǎng)基礎(chǔ)扎實(shí)、知識面寬、實(shí)踐能力強(qiáng)的社會(huì)急需的人才。

很多研究人員已經(jīng)在數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的內(nèi)涵、評價(jià)等方面開展了深入研究[1] [2]，有文獻(xiàn)[1]指出影響大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的因素主要有數(shù)學(xué)閱讀能力，數(shù)學(xué)建模能力，近似計(jì)算與估算能力，檢驗(yàn)、討論與評價(jià)能力，實(shí)際上數(shù)學(xué)應(yīng)用能力還應(yīng)包括對問題的簡化抽象能力，任何一個(gè)實(shí)際問題所涉及的因素非常龐雜，我們必須從中找出主要因素，對問題進(jìn)行適度簡化和合理假設(shè)，只有這樣才有了應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)。本文根據(jù)以上影響數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的主要因素，結(jié)合我們高等數(shù)學(xué)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)探討高等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)途徑。

一、注重?cái)?shù)學(xué)概念的引入，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)概念的引入本質(zhì)上是一個(gè)用已學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的最佳教學(xué)過程，因?yàn)榇蠖鄶?shù)數(shù)學(xué)概念不是憑空想象出來的，而是為了解決人們在實(shí)際中遇到的問題而逐步歸納抽象形成的。這些概念從問題的提出到最后形成嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義一般都經(jīng)過了一段較長的時(shí)期，它反映了人類為解決自然問題不斷探索、精益求精的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。比如導(dǎo)數(shù)這一概念源于17世紀(jì)20年代法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對曲線的切線的研究，但直到19世紀(jì)60年代在魏爾斯特拉斯提出ε-δ語言后才最終形成今天這一嚴(yán)格的定義，其間還有牛頓、萊布尼茨、達(dá)朗貝爾、柯西等一大批數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)。如果我們在導(dǎo)數(shù)概念的引入時(shí)能夠把曲線的切線斜率、變速直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度等引例的來龍去脈講解得十分透徹，那么對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力無疑具有非常大的示范作用。

在每個(gè)數(shù)學(xué)概念形成的過程中，一些數(shù)學(xué)思想、方法被提出來并被升華。我們在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，除了清晰講述概念，還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)概念形成過程中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，總結(jié)其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法。掌握好這些數(shù)學(xué)思想與方法比記住相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式要重要得多。

二、多方面搜集應(yīng)用實(shí)例融入課堂教學(xué)

引入數(shù)學(xué)概念時(shí)強(qiáng)調(diào)如何利用曾經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，而當(dāng)一個(gè)概念被提出來后，我們還要讓學(xué)生知道如何利用這個(gè)概念去解決實(shí)際問題。這就要求我們在教學(xué)準(zhǔn)備過程中收集、整理相關(guān)的實(shí)際例子。這些實(shí)例可以從以下幾個(gè)方面去挖掘。

（一）文獻(xiàn)資料

大量的文獻(xiàn)資料中介紹了高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用，如文獻(xiàn)[3]中編選了205個(gè)高等數(shù)學(xué)在物理、化學(xué)、天文、生物、醫(yī)學(xué)、航空航天、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用實(shí)例。我們可根據(jù)所授專業(yè)情況從中選擇一些實(shí)例來介紹如何利用已掌握的知識和方法去分析和解決實(shí)際問題。另外其他專業(yè)的教材中也有大量的例子，如果我們能夠把這些專業(yè)實(shí)例拿到數(shù)學(xué)課堂上來，那么一定能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，加深其了解數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用。

（二）日常生活

數(shù)學(xué)無處不在，我們身邊處處蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)，所以我們要在日常生活中尋找數(shù)學(xué)的應(yīng)用，這將極大地消除數(shù)學(xué)的神秘感，有利于消除學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的畏難情緒，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的積極性。比如“椅子可不可以在地面上放穩(wěn)”“能不能通過面包上任意一點(diǎn)將它切成兩塊面積相等的部分”“下雨天沒有帶傘時(shí)你是應(yīng)該快跑還是慢走”等問題，就非常貼近我們的生活，在學(xué)完相關(guān)知識后不妨把這些問題拋出來讓學(xué)生思考。

（三）中學(xué)公式

中學(xué)數(shù)學(xué)、物理課程中介紹過很多數(shù)學(xué)公式、物理公式，比如圓周長公式、圓面積公式、球體積公式、自由落體下降距離公式，等等。但這些公式在中學(xué)教材里并沒有給出證明，學(xué)生們雖然對這些公式耳熟能詳，但一般都是只知其然不知其所以然。我們可以在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中用相關(guān)高等數(shù)學(xué)知識來給出它們的證明。比如在介紹了極限計(jì)算后，不妨讓學(xué)生們自己證明一下圓周長公式；在介紹完拉格朗日中值定理后，可以讓大家用導(dǎo)數(shù)證明sin2x+cos2x=1、Inxα=αInx等公式；在學(xué)習(xí)定積分后，不妨布置學(xué)生從已知重力加速度出發(fā)探究一下自由落體下降距離公式。文獻(xiàn)[4] 還介紹了一些用高等數(shù)學(xué)方法解決初等數(shù)學(xué)問題的其他例子。

（四）社會(huì)現(xiàn)象

正如文獻(xiàn)[5]所述，在數(shù)學(xué)引入之前，社會(huì)科學(xué)的研究多是模糊研究、定性研究，甚至某些概念都是人為地、感性地在進(jìn)行描述。但是社會(huì)科學(xué)中很多問題，比如人口預(yù)測、區(qū)域經(jīng)濟(jì)規(guī)劃等，無不需要數(shù)學(xué)方法的支持，將數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)已經(jīng)成為社會(huì)科學(xué)發(fā)展的迫切需要。目前在社會(huì)科學(xué)問題的研究中已經(jīng)大量應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法，其中統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用是最為廣泛的。但除了統(tǒng)計(jì)方法，高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)也是社會(huì)科學(xué)研究中的常用方法。比如文獻(xiàn)[5]就用微分方程建立了一個(gè)“朱麗葉與羅密歐數(shù)學(xué)模型”，把導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到心理學(xué)研究中。還有一些悖論我們也可以用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解釋，比如二分法悖論，我們就可以利用級數(shù)的方法進(jìn)行反駁。

三、開展以提升高等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力為主題的學(xué)生課外活動(dòng)

培養(yǎng)學(xué)生高等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，不能僅僅依靠課堂教學(xué)，還可以通過學(xué)生課外活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)能力提升。首先教師應(yīng)該積極組織學(xué)生申報(bào)各類與數(shù)學(xué)應(yīng)用相關(guān)的科研項(xiàng)目，通過指導(dǎo)學(xué)生完成項(xiàng)目來提高其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在我們學(xué)校，這些項(xiàng)目來源主要有團(tuán)委的大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目，有教務(wù)部門的研究性學(xué)習(xí)項(xiàng)目。其次，我們可以利用學(xué)生社團(tuán)開展一些數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的討論或報(bào)告活動(dòng)，比如我們協(xié)助學(xué)生成立了校數(shù)學(xué)愛好者協(xié)會(huì)、數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)，這些社團(tuán)經(jīng)常組織學(xué)生科研項(xiàng)目成員交流研究心得，邀請專家做學(xué)術(shù)報(bào)告，組織協(xié)會(huì)成員開展校際間的活動(dòng)?；顒?dòng)的內(nèi)容可以是高等數(shù)學(xué)概念、思想、方法的進(jìn)一步討論，比如在完成定積分概念教學(xué)后，我們可以就定積分概念形成過程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法組織一場課外的討論，讓學(xué)生掌握這一概念中“分割—求和—求極限”過程所反映的“化整為零—積零為整”、“局部近似—整體精準(zhǔn)”等數(shù)學(xué)思想。

四、擴(kuò)展大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的影響

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的內(nèi)容來自實(shí)際問題，有明確的實(shí)際背景，它有效地提高了大學(xué)生利用所學(xué)數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的意識和能力，目前它已經(jīng)成為全球規(guī)模最大的一項(xiàng)課外科技競賽活動(dòng)，2014年參賽院校達(dá)到1338所，參賽學(xué)生達(dá)到7萬多人，但相對于2014年全國在校大學(xué)生人數(shù)2000多萬的數(shù)字來說，這只是其中一小部分。擴(kuò)大數(shù)學(xué)建模競賽的影響是提高大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的一條有效途徑。

目前國內(nèi)大部分高校通過開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程、組織校內(nèi)數(shù)學(xué)建模競賽等形式使更多的學(xué)生參與到數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中來。除此之外，我們可以采取一種所謂的“后數(shù)學(xué)建模競賽”的形式發(fā)揮數(shù)學(xué)建模競賽的余威，也就是說在三天競賽后組織更多的學(xué)生參與該次競賽題目的研究。很多參賽學(xué)生反映如果給他們更多的時(shí)間，問題就能解決得更完美。所以比賽后我們還可以組織學(xué)生一起交流討論，或者再讓學(xué)生針對問題開展更加深入的后期研究并提交論文，從而使數(shù)學(xué)建模由一年一次的競賽成為一種經(jīng)常性的課外科技活動(dòng)。

五、注意挖掘本身的科研問題，形成學(xué)生研究素材

很多數(shù)學(xué)教師除了從事數(shù)學(xué)理論研究外，還會(huì)和相關(guān)專業(yè)教師合作從事一些應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究，這些研究問題無疑是最直接、最生動(dòng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)例，我們應(yīng)該充分利用它們來作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的素材。

我們可以把一些已經(jīng)獲得的結(jié)果提煉出來總結(jié)成案例在課堂上講，或在課外活動(dòng)中作為研究課題布置給學(xué)生進(jìn)行研究，也可以作為校內(nèi)數(shù)學(xué)建模競賽的題目。對于正在研究的問題，我們可以從中分離出一些相對簡單的小問題，組織部分能力強(qiáng)的學(xué)生開展研究，這樣不但培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，而且也鍛煉了他們從事科學(xué)研究的素質(zhì)。

總之，教師應(yīng)該積極開展應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的研究，使自己具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，平時(shí)多積累數(shù)學(xué)應(yīng)用案例，這樣無論是在課堂講授中，還是在其他教學(xué)活動(dòng)中，都能使用最恰當(dāng)?shù)膯栴}，做到得心應(yīng)手，這樣培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力就不會(huì)是紙上談兵。

[ 注 釋 ]

[1] 范文貴，張守波，朱鳳林.影響數(shù)學(xué)應(yīng)用能力之主要因素的剖析[J].錦州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2000（1）：67-69.

[2] 耿秀榮.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力研究現(xiàn)狀芻議[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2008（2）：7-10.

[3] 李心燦.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例[M].北京：高等教育出版社，1997.

[4] 趙金蘭.用高等數(shù)學(xué)方法解決初等數(shù)學(xué)中的某些問題[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（5）：72-73.

[5] S.Strogatz.Love affairs and differential equations [J].Mathematics Magazine，1988（1）：35.

[責(zé)任編輯：覃侶冰]