半群CPOn（A）的格林關(guān)系

趙 頤，游泰杰

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴陽 550001）

半群CPOn（A）的格林關(guān)系

趙 頤，游泰杰＊

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴陽 550001）

設(shè)POn是X n＝｛1，2，…，n｝上的保序部分變換半群，A是X n的非空子集，令CPOn（A）＝｛α∈POn：（A∩dom（α））α?A，且?x，y∈（A∩dom（α）），｜xα－yα｜≤｜x－y｜｝，則CPOn（A）是POn的子半群.利用變換半群的保序和壓縮性，刻畫了半群CPOn（A）的格林關(guān)系.

變換半群；保序部分變換；格林關(guān)系

在半群的眾多分支中，變換半群是半群代數(shù)理論中一個重要研究方向，許多學(xué)者對部分變換半群Pn的各種子半群的格林關(guān)系進(jìn)行了研究.Pei等［1－2］先后研究了保等價關(guān)系且保序變換半群、保等價關(guān)系變換半群的變種半群的格林關(guān)系；Sun等［3］研究了保等價關(guān)系且保方向變換半群的格林關(guān)系；Deng等［4－6］先后探討了反向保等價關(guān)系變換半群、雙向保等價關(guān)系變換半群及雙向保等價關(guān)系且保序變換半群的格林關(guān)系；Zhao等［7］刻畫了部分保序且壓縮變換半群的格林關(guān)系；鐘艷林等［8］給出了歐氏空間中升序變換半群的格林關(guān)系的一些刻畫；Sangkhanan等［9］討論了具有穩(wěn)定值域的部分線性變換半群的格林關(guān)系.本文將研究半群CPOn（A）的格林關(guān)系，并給出若干等價刻畫.

1 預(yù)備知識

設(shè)X n＝｛1，2，…，n｝且賦予自然序，A是X n的非空子集，Pn是X n上的部分變換半群.設(shè)α∈Pn，若對任意x，y∈dom（α），x≤y?xα≤yα，則稱α是保序的.設(shè)POn是P n中所有保序部分變換之集（不含X n上的恒等變換），則POn是P n的子半群，并稱POn為X n上的保序部分變換半群.令CPOn（A）＝｛α∈POn：（A∩dom（α））α?A，且?x，y∈（A∩dom（α）），｜xα－yα｜≤｜x－y｜｝，則易驗證CPOn（A）是POn的子半群.

設(shè)S是半群，用S1表示在S上添加單位元.設(shè)a，b∈S，若a和b生成相同的主左理想，S1a＝S1b，則稱a與b是L等價的，并記為（a，b）∈L.類似可利用主右理想定義a與b是R等價的，并記為（a，b）∈R.本文未定義的術(shù)語及記法可參見文獻(xiàn)［10］.

2 半群CPOn（A）的格林關(guān)系

顯然，若ker（α，A）＝?，則ker（β，A）＝?；若ker（α，A）＝｛A k｝（k∈｛1，…，r｝），則ker（β，A）＝｛Bk｝.現(xiàn)在，若｜ker（α，A）｜＝t≥2，設(shè)ker（α，A）＝｛Al1，A l2，…，Alt｝（l1＜l2＜…＜l t），則由（1）式可得ker（β，A）＝｛Bl1，Bl2，…，Blt｝.由δ，γ∈（CPOn（A））1，知（A∩dom（α））δ?A，（A∩dom（α））γ?A.注意到A∩Al1＜A∩Al2＜…＜A∩Alt，A∩Bl1＜A∩Bl2＜…＜A∩Blt，任取i，j∈｛1，…，t｝且i≤j，由Akδ?Bk，Bkγ?Ak，得

令d＝max （A∩Al1）－max （A∩Bl1），則min （A∩A lt）－min （A∩Blt）＝max （A∩A l1）－max（A∩Bl1）＝d.若｜ker（α，A）｜＝t≥3，則斷言

若A li＼A≠?，則任取x∈A li＼A，設(shè)A∩A li中到點x距離最小者為.若Bli＼A≠?，則任取y∈Ali＼B，設(shè)A∩Bli中到點y距離最小者為.令

則由（6）式可得，α＝δβ且β＝γα.下面證明δ，γ∈CPOn（A）.注意到

再由（6）式可得δ，γ∈POn，顯然（A∩dom（δ））δ?A，（A∩dom（γ））γ?A.任取x，y∈A∩dom（δ）且x≤y.注意到A∩dom（δ）＝（A∩A l1）∪（A∩A l2）∪…∪（A∩Alt），現(xiàn)分以下5種情形討論.

情形1x，y∈A∩A li，i＝1，t.顯然xδ－yδ＝0，因此｜xδ－yδ｜≤｜x－y｜.

情形2x∈A∩A l1，y∈A li，i∈［2，t－1］.由（5），（7）式可得｜xδ－yδ｜＝｜max（A∩Bl1）－（yd）｜＝｜y－（d＋max（A∩Bl1））｜＝｜y－max（A∩A l1）｜≤｜x－y｜.

情形3x∈A∩Al1，y∈A∩Alt.由（5），（7）式可得｜xδ－yδ｜＝｜max（A∩Bl1）－min（A∩Blt）｜＝max （A∩Al1）－min （A∩Alt） ≤｜x－y｜.

情形4x∈A∩Ali，y∈A∩Alj，i，j∈［2，t－1］.顯然，｜xδ－yδ｜＝｜（x－d）－（y－d）｜＝｜x－y｜，因此｜xδ－yδ｜≤｜x－y｜.

情形5x∈A∩A l1，i∈［2，t－1］，y∈A∩Alt.由（5），（7）式可得｜xδ－yδ｜＝｜（x－d）－min（A∩Blt）｜＝ min （A∩Blt）－（x－d） ＝ （min （A∩Blt）＋d）－x＝ min （A∩A lt）－x≤｜x－y｜.

綜上，證得δ∈CPOn（A）.同理可證，γ∈CPOn（A）；因此，（α，β）∈L.

定理3 設(shè)α，β∈CPOn（A），則（α，β）∈D當(dāng)且僅當(dāng)

［1］PEI Huisheng，ZOU Dingyu.Green’s equivalences on semigroups of transformations preserving order and an equivalence［J］.Semigroup Forum，2005，71（2）：241－251.

［2］PEI Huisheng，SUN Lei，ZHAI Hongcun.Green’s relations for the variants of transformation semigroups preserving an equivalence relation［J］.Comm Algebra，2007，35（6）：1971－1986.

［3］SUN Lei，PEI huisheng，Cheng Zhengxing.Regularity and Green’s relations for semigroups of transformations preserving orientation and an equivalences［J］.Semigroup Forum，2007，74（3）：473－486.

［4］DENG Lunzhi，ZENG Jiwen，XU Bo.Green’s relations and regularity for semigroups of transformations that preserve double direction equivalence［J］.Semigroup Forum，2010，80（3）：416－425.

［5］DENG Lunzhi，ZENG Jiewen，YOU Taijie.Green’s relations and regularity for semigroups of transformations that preserve reverse direction equivalence［J］.Semigroup Forum，2011，83（3）：489－498.

［6］DENG Lunzhi，ZENG Jiewen，YOU Taijie.Green’s relations and regularity for semigroups of transformations that preserve order and a double direction equivalence［J］.Semigroup Forum，2011，84（1）：59－68.

［7］ZHAO Ping，YANG Mei.Regularity and Green’s relations on semigroups of transformation preserving order and compression［J］.Bull Korean Math Soc，2012，49（5）：1015－1025.

［8］鐘艷林，鄧倫治.歐氏空間中升序變換半群的格林關(guān)系和正則元 ［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2013，43（24）：198－201.

［9］SANGKHANAN K，SANWONG J.Green’s relations and partial orders on semigroups of partial linear transformations with restricted range［J］.Thai J Math，2014，12（1）：81－93.

［10］HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory［M］.Oxford：The Clarendon Press，1995：1－349.

Green’s relations on the semigroupCPOn（A）

ZHAO Yi，YOU Taijie＊

（Sch of Math ＆Comput Sci，Guizhou Norm Univ，Guiyang 550001，China）

LetPOnbe the partial order－preserving transformation semigroup onX n＝｛1，…，n｝.For each nonempty subsetAofXn，letCPOn（A）＝ ｛α∈POn：（A∩dom（α））α?A，?x，y∈（A∩dom（α）），｜xα－yα｜≤｜x－y｜｝.ThenCPOn（A）is a subsemigroup ofPOn.In this paper，using order－preserving and compression properties of the transformation semigroup，Green’s relations on the semigroupCPOn（A）are characterized.

transformation semigroup；partial order－preserving transformation；Green’s relations

O 152.7

A

1007－824X（2015）04－0005－04

2015－07－02.＊ 聯(lián)系人，E－mail：youtaijie1959＠163.com.

國家自然科學(xué)基金資助項目（11461014）.

趙頤，游泰杰.半群CPOn（A）的格林關(guān)系 ［J］.揚州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，18（4）：5－8，12.

（責(zé)任編輯 青 禾）