Abel環(huán)的一些刻畫（Ⅲ）

周慧敏，杜昕彥，魏俊潮

（揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州 225002）

Abel環(huán)的一些刻畫（Ⅲ）

周慧敏，杜昕彥，魏俊潮＊

（揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州 225002）

設R為環(huán)，證明了如下結論：1）R為Abel環(huán)當且僅當對任意x，y∈R，當1－xy∈GPE（R）時必有1－y x∈GPE（R）；2）若R為正則環(huán)，則PE（R）為正則環(huán)；3）R為約化環(huán)當且僅當對每個e∈E（R），a∈N（R），存在x∈R，使得ae＝eaxae；4）R為強正則環(huán)當且僅當對任意a，b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxab.

Abel環(huán)；冪等元；冪零元；約化環(huán)；正則環(huán)

0 引言

本文中的環(huán)都是有單位元的結合環(huán).設R為一個環(huán)，E（R），N（R），Z（R）分別表示R的冪等元集合、冪零元集合及R的中心.設x∈R，若存在正整數n＝n（x）≥2，使得x n＝x，則稱x是R的potent元.易見，冪等元總是potent元，但反之未必.例如：在環(huán)Z6中，是potent元，但不是冪等元.記PE（R）＝｛a∈R｜a與R的全體potent元可交換｝，則易證PE（R）是R的子環(huán).若E（R）?Z（R），則稱R為Abel環(huán).眾所周知，冪等元在環(huán)論中發(fā)揮了重要作用，很多著名的環(huán)類如強正則環(huán)、exchange環(huán)、clean環(huán)都與冪等元緊密相關.冪等元的很多性質已被逐步應用到矩陣代數與Hilbert空間中的正交投射算子中［1－2］.近年來，有關Abel環(huán)的研究很多，Han等［3］證明了一個環(huán)R是Abel環(huán)當且僅當對R的任意冪等元f，e，有fe，ef都是冪等元；屈寅春等［4－5］先后證明了一個環(huán)R為Abel環(huán)當且僅當CZE（R）（R）是R的理想，一個環(huán)R為Abel環(huán)當且僅當R的每個冪等元可唯一地表示為一個square元與一個冪等元之和；周穎等［6］證明了一個環(huán)R為Abel環(huán)當且僅當對任意e，g∈E（R），有｜e∨g｜≤3；Wei等［7］證明了一個環(huán)R為Abel環(huán)當且僅當R是quasi－normal環(huán)和左冪等自反環(huán).關于冪等元的研究還可參見文獻［8－10］.本文的主要目的是繼續(xù)刻畫Abel環(huán).

1 主要結論

設R是一個環(huán)，記GPE（R）＝｛a∈R｜對R的每個potent元x，存在正整數m＝m（x），使得ax＝x max｝.一個環(huán)R是Abel環(huán)當且僅當對每個e∈E（R），總有（1－e）Re＝0.借助于GPE（R），有如下定理.

定理1 設R為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R為Abel環(huán)；

2）GPE（R）＝R；

3）對任意x，y∈R，當xy∈GPE（R）時必有x∈GPE（R）或y∈GPE（R）.

證明 1）?2）：由于R為 Abel環(huán)當且僅當ZE（R）＝R，并注意到ZE（R）?GPE（R），故GPE（R）＝R.

2）?3）：顯然.

3）?1）：設e∈E（R）.任取a∈R，記h＝（1－e）ae，則he＝h，eh＝0且h2＝0∈GPE（R），所以h∈GPE（R），h＝he＝ehe＝0；因此，對每個a∈R，都有（1－e）ae＝0，從而R為Abel環(huán).

由定理1的證明可得如下推論.

推論2R為Abel環(huán)當且僅當對任意x，y∈R，當xy∈ZE（R）時必有x∈ZE（R）或y∈ZE（R）.

由于一個環(huán)R是Abel環(huán)當且僅當N（R）?ZE（R），故利用定理1易得如下推論.

推論3R為Abel環(huán)當且僅當N（R）?GPE（R）.

定理4 設R為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R為Abel環(huán)；

2）對任意x，y∈R，當1－xy∈GPE（R）時必有1－y x∈GPE（R）；

3）對任意e，g∈E（R），當1－eg∈GPE（R）時必有1－ge∈GPE（R）.

證明 1）?2）：由定理1知成立.

2）?3）：顯然.

3）?1）：設e∈E（R）.任取a∈R，記g＝e＋（1－e）ae，則eg＝e，ge＝g且g2＝g.由于1－e（1－g）＝1∈GPE（R），故由3）知1－（1－g）e∈GPE（R），即1－e＋g∈GPE（R）.于是，e（1－e＋g）e＝（1－e＋g）e，故ege＝ge，即g＝e.這說明對每個a∈R，有（1－e）ae＝0，因此R為Abel環(huán).

由定理4，可得如下推論.

推論5 設R為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R為Abel環(huán)；

2）對任意x，y∈R，當1－xy∈ZE（R）時必有1－y x∈ZE（R）；

3）對任意e，g∈E（R），當1－eg∈ZE（R）時必有1－ge∈ZE（R）.

設R為一個環(huán)，若對每個a∈R，存在b∈R，使得a＝aba，則稱R為正則環(huán).若R為正則環(huán)，則Z（R）是正則環(huán).文獻［4］3中推論10證明了：若R為正則環(huán)，則ZE（R）為正則環(huán).本文將推廣這個結果如下.

定理6 設R為正則環(huán)，則PE（R）為正則環(huán).

證明 設a∈PE（R），由于R為正則環(huán)，故存在b∈R，使得a＝aba.記e＝ba，g＝ab，則e，g是potent元且a＝ae＝ga.由于a∈PE（R），故ag＝ga＝a＝ae＝ea，因此a2b＝a＝ba2，從而a2b3＝b3a2.設x為任一個potent元，則xa＝ax，即ba2x＝xa2b＝a2xb，因此b3a2x＝a2xb3，于是b3a2∈PE（R）.由于a（b3a2）a＝ab2（ba2）a＝ab2a2＝ab（ba2）＝aba＝a，故PE（R）為正則環(huán).

定理7 設R為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R為Abel環(huán)；

2）對任意e，g∈E（R），存在x∈R，使得eg＝gexge；

3）對任意e，g∈E（R），存在y∈R，使得eg＝geyeg.

證明 1）?2），1）?3）：顯然.

設e∈E（R）.任取a∈R，記g＝e＋ea（1－e），則eg＝g，ge＝e，g2＝g；若2）成立，則存在x∈R，使得eg＝gexge，故g＝exe，從而e＝ge＝（exe）e＝exe＝g；若3）成立，則有y∈R，使得e（1－g）＝（1－g）eye（1－g），由于（1－g）e＝e－ge＝e－e＝0，從而e（1－g）＝0，故e＝eg＝g；因此，無論在條件2）還是條件3）下，總有e＝g；因此，ea（1－e）＝0，故R為Abel環(huán).

設R為一個環(huán)，若N（R）＝0，則稱R是約化環(huán)［11］.關于約化環(huán)，有如下刻畫.

定理8 設R為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R為約化環(huán)；

2）對每個e∈E（R），a∈N（R），存在x∈R，使得ae＝eaxae；

3）對每個e∈E（R），a∈N（R），存在x∈R，使得ae＝eaxea.

證明 1）?2），1）?3）：由于R為約化環(huán)時，故N（R）＝0，易證結論成立.

2）?1）：現設a∈N（R）且a2＝0，由2）知存在x∈R，使得a＝axa.設e＝xa，則a＝ae且e2＝e.再由2）知存在y∈R，使得ae＝eayae.因為ea＝xa2＝0，所以a＝ae＝0，從而R為約化環(huán).

同理可證，3）?1）.

由定理8易證如下推論.

推論9 設R為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R為約化環(huán)；

2）對每個a∈N（R），每個b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxab；

3）對每個a∈N（R），每個b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxba；

4）對每個a∈N（R），存在x∈aRa，使得a＝axa.

關于強正則環(huán)，有如下定理.

定理10 設R為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R為強正則環(huán)；

2）對每個a∈R，每個e∈E（R），存在x∈R，使得ae＝eaxea；

3）對每個a∈R，每個e∈E（R），存在x∈R，使得ae＝eaxae.

證明 1）?2），1）?3）：設R為強正則環(huán)，則R為正則環(huán)和Abel環(huán)，故對每個a∈R，都有x∈R，使得a＝axa.從而，對每個e∈E（R），有ae＝eaxea＝eaxae.

2）?1）：由2）知R為正則環(huán)，再由定理7知R為Abel環(huán)，從而R為強正則環(huán).

同理可證，3）?1）.

推論11 設R為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R為強正則環(huán)；

2）對任意a，b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxab.

證明 2）?1）：定理10的直接推論.

1）?2）：設a，b∈R，由于R為強正則環(huán)，故R為正則環(huán)和Abel環(huán)，從而存在m，y，z∈R，使得ab＝abmab，a＝aya，b＝bzb.設e＝ay，g＝bz，則a＝ea，b＝gb且e，g∈E（R），于是ab＝abmab＝agbmab＝gabmab＝bzabmab＝bzeabmab＝bezabmab＝bayzabmab＝ba（yz）ab.令x＝y(tǒng)z，則ab＝baxab.

由環(huán)R的一個元a是強正則元當且僅當存在R的可逆元u，使得a＝aua且ua＝au，因此有如下定理.

定理12 設R為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R為強正則環(huán)；

2）對任意a，b∈R，存在R的可逆元u，使得ab＝bauab.

證明 2）?1）：推論11的直接推論.

1）?2）：設a，b∈R，由于R為強正則環(huán)，故R為正則環(huán)和Abel環(huán)，從而存在x，v，w∈R，其中v，w是可逆元，使得ab＝abxab，a＝awa，b＝bvb.設e＝bv，g＝aw，則a＝ga，b＝eb，且e，g∈E（R），因此ab＝abxab＝agbmab＝gaebxab＝egabxab＝bvgabxab＝bgvabxab＝bawvabxab＝ba（wv）ab.取u＝wv，則u是R的可逆元，且ab＝bauab.

推論13 設R為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R為強正則環(huán)；

2）對任意a∈R，存在b∈aRa，使得a＝aba.

證明 1）?2）：設a∈R，則存在R的可逆元u使得a＝aua且ua＝au.取b＝uauau，則a＝aba，且b＝au3a∈aRa.

2）?1）：由推論9知R是約化環(huán).由于約化的正則環(huán)是強正則環(huán)，故R是強正則環(huán).

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Some characterizations on Abel rings（Ⅲ）

ZHOU Huimin，DU Xinyan，WEI Junchao＊

（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

In this paper，the following results are proved：1）A ringRis an Abel ring if and only if for eachx，y∈R，1－xy∈GPE（R）implies that 1－yx∈GPE（R）；2）IfRis a regular ring，thenPE（R）is a regular ring；3）Ris a reduced ring if and only if for eache∈E（R）anda∈N（R），there exists an elementxofRsuch thatae＝eaxae；4）Ris a strongly regular ring if and only if for eacha，b∈R，there existsx∈Rsuch thatab＝baxab.

Abel ring；idempotent element；nilpotent element；reduced ring；regular ring

O 153.3；O 154

A

1007－824X（2015）04－0016－03

2015－04－23.＊ 聯系人，E－mail：jcweiyz＠126.com.

國家自然科學基金資助項目（11471282）；2014年揚州大學大學生科技創(chuàng)新資助項目.

周慧敏，杜昕彥，魏俊潮.Abel環(huán)的一些刻畫（Ⅲ）［J］.揚州大學學報（自然科學版），2015，18（4）：16－18，23.

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（責任編輯 青 禾）