分數(shù)布朗運動隨機微分方程解的逼近問題

宋艷英

(忻州師范學院 五寨分院，山西 五寨 030000)

長期以來，布朗運動一直是自然科學、金融市場等領(lǐng)域研究過程中應(yīng)用較為廣泛的隨機性模型之一.布朗運動具有獨立的增量，因此由該運動所產(chǎn)生的隨機噪聲可以定義為“白色”，即不相關(guān).然而，自然科學、計算機網(wǎng)絡(luò)、金融市場等領(lǐng)域在研究過程中具有長期依賴性，即研究過程中所產(chǎn)生的隨機噪聲的相關(guān)性可隨時間的推移而緩慢降低，因此，在對上述過程進行建模的過程中通常會使用分數(shù)布朗運動.

在對分數(shù)階布朗運動的隨機微分方程進行研究的過程中[1-2]，通?？梢越柚韵率聦嵾M行解釋：分數(shù)布朗運動的積分情況定義方法有很多，其中應(yīng)用最廣泛的莫過于按路徑定義,文獻[3]將其定義為楊氏積分.在文獻[4]中，對于任意H使用了所謂的“粗糙路徑”進而構(gòu)造了一個隨機積分.分數(shù)階Brownian的路徑式隨機微分方程運動，在長期依賴H> 1/2的情況下證明了解的存在性和唯一性[5]，并且對于H> 1/4也進行了補充.另一種方法則是使用內(nèi)核生成的空間，文獻[6]主要考慮了具有此類積分的隨機微分方程.文獻[7]提出了隨機積分的一般路徑構(gòu)造的情況.文獻[8]主要研究了隨機微分方程.文獻[9]中考慮了具有Skorokhod積分的方程.在許多情況下，分數(shù)布朗運動方程的分析相當復(fù)雜.因此，對這些方程式進行近似解處理顯得非常有必要. 分數(shù)布朗運動的近似問題包含基礎(chǔ)建模，許多學者都考慮過這一問題.最簡單的方法就是隨機微分方程中的時間離散化方法.文獻[10]對布朗運行的隨機積分近似問題進行了研究，僅涉及分數(shù)布朗運動本身的收斂以及相關(guān)分數(shù)布朗運動足夠光滑過程中的隨機積分.因此，它們不能用于隨機微分方程解收斂性的證明.

針對文獻[10]中存在的問題，本文通過絕對連續(xù)的過程近似地研究分數(shù)布朗運動，證明了一個觀點即與文獻[10]相比近似的收斂性更強，也證實了相應(yīng)隨機微分方程解的收斂性.

1 問題陳述

1.1 分數(shù)微積分的元素

在本小節(jié)中充分考慮路徑積分的基本構(gòu)造.設(shè)f∈L1(a,b)以及α>0.α階函數(shù)f左右的Riemann-Liouville積分幾乎均被定義在x∈(a,b)范圍內(nèi)，有

在極限f(a+)和g(b-)均存在且為有限的情況下，有

f(a+)(g(b-)-g(a+)) .

(1)

該定義使人們在滿足H?lder條件的功能前提下，明確Cλ[a,b]也是滿足H?lder條件并且指數(shù)為λ的函數(shù)空間，即

|f(x)-f(y)|≤C|x-y|λ,x,y∈[a,b].

maxi|xi+1-xi|.

1.2 分數(shù)布朗運動

也被稱為Hurst參數(shù)，或者H∈(0，1)的分數(shù)布朗運動.

不難看出，分數(shù)布朗運動的增量滿足等式

因此，由于BH是一個高斯過程，它在Kol mogorov定理的基礎(chǔ)上實現(xiàn)了較為連續(xù)的變型. 此外，其計算路徑就在Cβ[0,T]，T> 0且β∈(0，H)的條件下運行的.

(2)

其中{Wt,t≥0}是維納過程，在α=H-1/2的條件下，常數(shù)CH為

1.3 分數(shù)索伯列夫空間

對于b∈(0，1)表示為

對于任何0 <ε<β∧(1-β)，有

因此，對于幾乎所有分數(shù)布朗運動BH的路徑都在ω∈Ω和T> 0且0 <β

2 絕對連續(xù)過程逼近分數(shù)布朗運動

對于分數(shù)布朗運動的近似構(gòu)造，借助文獻[10]中提出的思想.請注意無法更改式(2)中的積分順序并編寫，有

因為內(nèi)部積分是發(fā)散的，因此該想法是想要其在內(nèi)部積分中與u發(fā)生“偏離”. 因此，構(gòu)造了絕對連續(xù)過程的分數(shù)布朗運動的近似值，即

(3)

(4)

這里的實數(shù)是可測量的，非遞減函數(shù)的集合φε:[0,T]→[0,T]，ε∈(0，1)，滿足以下條件：

1)φε(0)=0,0<φε(t)

2) |φε(t)-φε(s)|≤L|t-s|,t,s∈(0,T]；

在文獻[10]中證明了對于任意β∈(0，1-H)，都具有

(5)

定理1 對于任意γ∈(0，H)，均可以發(fā)生以下收斂現(xiàn)象，即

證明根據(jù)定義，有

而且

并且φ-1表示為φ相反的函數(shù).

下面來證明對于0<δ<2(H-γ)，以下估計結(jié)論是正確的，則

t,s∈[0,T]，

(6)

假設(shè)0≤s

情況1t>s>φε(t)>φε(s)，憑借等距的性質(zhì)可以得出以下結(jié)論，即

分別對這3個積分進行估計.對于分數(shù)布朗運動，有如下的應(yīng)對策略，即

因此，

3|t-s|2H≤3|t-s|2H-δ(t-φε(t))δ≤

因此，在情況1中實現(xiàn)了對估計式(6)的證明.

情況2t>φε(t)>s>φe(s).，在這種情況下進行了如下處理，即

J1+J2+J3.

估計的這3個積分情況分別為

C1(H)(s-φε(s))2H≤

C1(H)(φe(t)-φε(s))2H-δ(s-φε(s))8≤

C2(H)|t-s|2H-δ(s-φe(s))δ,

C1(H)|t-s|2H-8(t-φε(t))δ.

因此，情況2也證明了估計式(6).

(7)

式中：CH,p為常數(shù).

接下來，需要一個在t和s中均等的估計值，對于任何p> 0和α> 1/p，以下不等式均為真的，即

(8)

對于p>1/H，δ∈(0，H-1/p)和α∈(1/p，

H-δ)，有

考慮到式(8)，將θ∈(γ，H)分別設(shè)置為p=2/(H-θ)，α=(θ+H)/2和δ=(H-θ)/4.

從最后的估計結(jié)果得出，對于任何θ∈(γ，H)和κ∈(0，1)，都存在一個常數(shù)Cκ，那么該事件的可能性

不小于1-κ.

在集合A_{e}上，對于所有s,t∈[0,T]，可以得到

當

然后對于任何a> 0，都有

因為

對于足夠小的ε，當κ→0+時，將得到

3 隨機微分方程解的逼近

t∈[0,T]，

給出了該方程解的存在性和唯一性的條件.因此以下證明或結(jié)論是正確的.

表示

X(ω,·)∈C1-α[0,T].

參考BH過程，其中{BH,ε,ε>0}. 設(shè)Xε為等式

t∈[0,T].

定理2 滿足條件(Hb)和(Hσ)，并且對于特定的γ∈(1/2,H)，有

然后

為了證明該定理，需要進行以下引理操作.

1) 存在以下積分：

t∈[0,T];

3) ∣G(σ,g)(f)‖0,β,λ≤C1Λ1-β(g)λ2β-1(1+

‖f‖0,β,λ),其中C1僅取決于β，T和σ；

R的范圍內(nèi)存在一個

‖G(σ,g)(f)-G(σ,g)(h)‖0,0≤

C2λ2β-1Λ1-β(g)(1+Kf+Kh)‖f-h‖0,β,λ,

并且

式中：C2僅取決于β、T、R和σ.

Λ1-β(g)≤C‖g‖1,1-β.

引理2 設(shè)β∈(0,1/2)，同時滿足條件

并且對于任何λ≥1，以下斷言均成立：

1) 存在勒貝格積分

2)F(b)(f)∈C1-β[0,T] ;

3) ‖F(xiàn)(b)(f)‖0,β,λ≤C3λ2β-1(1+‖f‖0,β,λ),

whereC3depends only onβ,T, andb;

‖F(xiàn)(b)(f)-F(b)(h)‖0,β,λ≤C4λβ-1‖f-h‖0,β,λ,

式中：C4僅取決于β、T、R和b.

證明首先，需要證明KX2在ε中均勻地以概率為界. 很明顯能夠得到以下結(jié)論，即

根據(jù)文獻[3]中的定理5.1，有

‖Xε‖0,β≤2(1+|X0|)eλ0(ε)T,

并且

λ0(ε)≤(2(C3+C1Λ1-β(BH,ε)))1/(2β-1).

因為

Λ1-β(BH,ε)≤‖BH,ε‖1,1-β，

并且

R)→0,ε→0+.

使用引理1～2，可以得到

‖X-Xε‖0,β,λ≤Cλ2β-1(1+‖BH|1,1-β)(1+

KX+KXe)‖X-Xε|0,β,λ+Cλ2β-1‖BH-BH,ε‖1,1-β(1+

‖Xε‖0,β,λ).

如果

Θ(λ,ε)=Cλ2β-1{(1+‖BH‖1,1-β)·

則

因此

P(‖X-Xε‖0,β,λ>c)≤P(‖BH-

BH,ε‖1,1-β>c)+P(Θ(λ,ε)>1/2)，

因此，對于任意的δ> 0，有

BH,ε‖1,1-β>δe-λT)+P(Θ(λ,ε)>1/2).

為此較容易證明Θ(λ,ε)→0在ε中的概率均勻地分布在λ→∞范圍內(nèi).

4 結(jié)論

本文通過絕對連續(xù)的過程近似地研究分數(shù)布朗運動，證明了關(guān)于隨機微分方程解的收斂性的一個一般性定理.作為推論，得到了關(guān)于具有絕對連續(xù)過程的隨機微分方程解的收斂性與具有布朗運動方程的解的收斂性的結(jié)果.