年年新氣象歲歲求本真
——2015年浙江高考試題評析

☉浙江省杭州市余杭高級中學曹鳳山☉浙江省杭州市余杭區(qū)教育局教研室 陳朝陽

年年新氣象歲歲求本真
——2015年浙江高考試題評析

☉浙江省杭州市余杭高級中學曹鳳山☉浙江省杭州市余杭區(qū)教育局教研室 陳朝陽

2015年浙江省高考數(shù)學試題秉承自主命題以來的成功經驗，依據(jù)最新的《考試說明》，以有利于高校選拔新生、有利于中學數(shù)學推進課程改革為命題原則，體現(xiàn)了“起點低、落點高、入口寬、方法多樣、區(qū)分度好”等特點，試題在考查雙基的同時，全面檢測考生的數(shù)學素養(yǎng)和進入高校繼續(xù)學習的潛能，既考慮目前中學數(shù)學教學的實際，具有良好的評價功能，又充分體現(xiàn)新課改的主流方向.

一、2015年高考試題特點分析

（一）新

1.創(chuàng)新試卷模式

由附表1可以看出，自2004年浙江省自主命題以來，今年是試卷模式變化最大的一年.相比2007～2014年，總題量減少兩題，與2005、2006年總題量相同，但格局又有變化，減少了選擇題、解答題數(shù)量，增加填空題數(shù)量、填空數(shù).伴隨題型數(shù)量的變化還有賦分調整，相比2007～2014年，選擇題分數(shù)減少10分，減少的分數(shù)加在填空題8分，解答題2分.

附表1：2004～2015年浙江省高考數(shù)學試卷模式對比

2.引進新題型

出現(xiàn)一題多空填空題，有一題兩空、一題三空兩種形式，填空題單空4分，多空6分.這是浙江自主命題以來第一次采用這種題型，在全國各省市試卷中使用這種題型的也不太多.

（注：標注的為2015年浙江省理科試卷中的題序，下同）

1212

12

（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），則x0=_____，y0= _____，|b|=______.

簡析：一題多空的形式是在一個主題下分解出兩個（或者三個）答題點.第9題作為填空題第一題，試題相對簡單，對雙曲線的標準方程中的基本量a，b，c之間的關系，焦距、漸近線等知識點加以考查.由于粗心、基礎不扎實等因素，仍然可能出現(xiàn)一些錯誤，如焦距與半焦距混淆，a，b，c的關系混亂等，一空出現(xiàn)問題不影響另一空得分，考生“學有所得，各得其分”.第10題第一問求分段函數(shù)下的函數(shù)值，第二問考查基本函數(shù)圖像、圖形變換、復合函數(shù)性質，以及基本不等式求最值等，具有一定難度，通過考生“分步得分”，體現(xiàn)考生之間的差異.第15題作為填空題的壓軸題，一題三空，試題以空間向量為背景，文字語言與符號語言結合，主要以符號語言構筑新穎的問題情境，首先考查對單位向量、數(shù)量積、向量運算的幾何意義等的理解，考生根據(jù)自己的理解，選擇自己的解法，當然，閱讀理解不過關直接就被擋在門外，具有一定的選拔功能.

由于填空題與選擇題在解題要求上的差異，增加填空題數(shù)量與空數(shù)，對基礎知識、基本技能的準確、熟練提出了更高的要求，多空題一方面增加了考查知識的廣度、深度，也有助于在降低試題難度的同時保持一定的區(qū)分度，開發(fā)、拓展了題型的功能.

3.靈活編排

相比考試說明中參考試卷的編排方式，高考試卷體現(xiàn)了高度的靈活性，不拘泥于固定形式，根據(jù)選材內容、試題難度等特點擺放其位置，一題多空沒有排在一起，前面三道一題一空，最后一道一題三空；考前大家比較關注理科解答題中各知識板塊的排列次序，特別是函數(shù)與數(shù)列問題.自主命題之初（2004～2006年）壓軸題位置都是數(shù)列，在以后8年中只有2008年出現(xiàn)在這個位置，2009、2010、2012三年沒有在解答題中出現(xiàn)，其余年份出現(xiàn)在解答題第一、第二位置，給人以數(shù)列要求逐漸降低，甚至淡出的感覺，今年又卷土重來，重新占據(jù)壓軸位置.函數(shù)題則在解答題第18題，不過，分析函數(shù)試題考查內容不難發(fā)現(xiàn)，這類試題具有極大的彈性，稍加改動出現(xiàn)在壓軸題的位置也屬正常，今年的編排模式也為以后試卷編排模式留下了極大的想象空間.

4.試題出新

試題繼承浙江省一貫風格，情景新穎，表述簡捷脫俗，理科第5、6、7、8、14、15、18、20題等都給人耳目一新的感覺.理科第6題，取材于集合的知識背景，素材直接見教材中的閱讀材料，考生看到的可以是集合基礎上的新定義問題，又有深厚的背景等，試題似信手拈來又內涵豐富，規(guī)避題型套路，充滿數(shù)學味.

（二）活

1.知識綜合靈活

不斷尋求新的知識綜合方式，第14題線性規(guī)劃結合圓（面），第15題向量與立體幾何綜合，文科第7題立體幾何與平面幾何、解析幾何有機結合，考查空間想象能力、推理論證能力，理科第20題以遞推數(shù)列為背景，表面考數(shù)列，深層考函數(shù)，對思維能力的要求達到較高層次.

2.設問角度活

示例2第7題：存在函數(shù)f（x）滿足，對任意x∈R都有（）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

第5題：如圖1，設拋物線y2= 4x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是（）.

圖1

簡析：第7題依托三角函數(shù)的周期性、對稱性，以及二次函數(shù)的對稱性，考查函數(shù)概念.抽象的概念考查以具體函數(shù)為依托，試題題干簡樸，惜字如金，符號表述內涵豐富.存在：只要有就行；對任意x∈R，都有且僅有唯一的實數(shù)值與其對應，直接判斷思考不太順暢，反向思維，考慮反例，對于同一個自變量有不同的實數(shù)值與其對應！如取以判斷B，C錯誤；文科第8題與理科具有異曲同工之妙，深刻考查了對函數(shù)概念的理解與思維的深刻性.第5題表面是定量形式，考查直線與拋物線的位置關系，實際上，從點A、B向y軸作垂線，記垂足分別為M、N，

故選A.問題考查的是拋物線的概念，以具體的問題為背景，考查對概念的理解與運用.以上兩題都體現(xiàn)出：數(shù)學是玩概念的，概念是數(shù)學的根本.

3.布局謀篇活

在難度排列上既繼承傳統(tǒng)優(yōu)點，又不斷創(chuàng)新，三個平臺共同壓軸：第一平臺選擇題的第7，8題，第二平臺填空題的第14，15題，解答題第18，19，20題各有特點，降低單題的絕對難度，每題都有“節(jié)點”，共同實現(xiàn)區(qū)分.另外，文理試卷只有三道試題相同，五道姊妹題，保持了較大的差距.一些姊妹題既同根同源又形態(tài)各異，如文科第13題與理科第15題，兩題命題思路一致，一個是平面向量基本定理，一個是空間向量基本定理，但涉及知識范圍差別大，解答能力要求懸殊.

（三）實

附表2：2015年浙江省高考數(shù)學理科考查內容分布

平面向量156向量運算的幾何意義64數(shù)列352015等差等比數(shù)列、前n項和公式；數(shù)列與不等式證明2013.3不等式144線性規(guī)劃（其他板塊中幾乎都有不等式滲透，解、證、性質運用、求最值等都有考查）42.8立體幾何2，8 5，51341715三視圖，體積計算；三角形翻折、二面角等；異面直線所成角；線面垂直、二面角的平面角的余弦值2919.3解析幾何55961915拋物線的概念、雙曲線性質；橢圓與直線位置關系，三角形面積、函數(shù)最值2620 403674150100

1.全面考基礎，突出主干知識

根據(jù)2012年版浙江省教學指導意見，高考對試題考查內容做出了相應的調整，從附表2可以看出，理科試題覆蓋了集合與常用邏輯用語、三角函數(shù)、函數(shù)、解析幾何、立體幾何、數(shù)列等板塊的主要內容，知識點分布合理，雙基仍然是考查的重要目標，支撐中學數(shù)學的主干知識，如函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、三角函數(shù)等，在試卷中占較大比重.不等式內容沒有解答題，實際上細細分析，不等式滲入到了各個板塊內容，理科20道題中有11題與不等式相關；從附表3可以看出，文科試卷與理科試卷在試題知識點覆蓋、突出主干知識等方面具有類似的特點.

附表3：2015年浙江省高考數(shù)學文科考查內容分布

數(shù)列1061715等差、等比數(shù)列通項；等比數(shù)列通項公式，前n項和Sn與an關系，錯位相減求和2114不等式65144不等式性質；線性規(guī)劃96立體幾何2，4 5，51815三視圖，體積計算；空間線面位置關系判斷；三棱柱的性質、直線與平面所成的角2516.7解析幾何751541915橢圓綜合立體幾何、線面角、線線角等；橢圓離心率；直線與拋物線位置關系、三角形面積2416 403674150100

2.突出通性通法，兼顧特技

試題突出通性通法，又給不同思維層次的考生不同發(fā)揮空間，讓每個考生都能發(fā)揮自己的水平，得到不同的分數(shù).整卷讓人感覺沉穩(wěn)又不失活力，試題不偏不怪，均可以用常規(guī)方法來解決，但是要想完整、準確地解答則需要扎實的雙基和良好的數(shù)學素養(yǎng)，若要快速解答則需要數(shù)學智慧和特殊方法.

示例3第15題（見示例1）

簡析：考后都反映本題難度比較大.難在何處？首先概念理解不到位，基本定理不熟練，對向量運算的幾何意義不理解，符號看不懂，后面便無從談起，然后是運算技能不過關，不能設計有效的運算途徑.實際上，由空間向量基本定理，可以更簡捷、順利地求解.設b=x0e1+y0e2+ e（3其中e3⊥ei，i=1，2，x0，y0∈R），由b·e1=2，b·，解方程組得到x0=1，y0=2，進而有|b|=2.以無招勝有招，強調基本概念、基本定理的重要作用.

示例4第18題：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值.

（1）證明：當|a|≥2時，M（a，b）≥2；

（2）當a，b滿足M（a，b）≤2時，求|a|+|b|的最大值.

簡析：函數(shù)試題的位置在解答題第三題，按以前的難度情況，應該位于中等難度.今年按常規(guī)套路還是有一定難度的.

（1）實際上，當|a|≥2時，明顯有：M（a，b）≥|f（-1）|=|1+b-a|①，M（a，b）≥|f（1）|=|1+b+a|②，由①、②得2M（a，b）≥|1+b-a|+|1+b+a|≥|2a|≥4，即當|a|≥2時，M（a，b）≥2.

（2）當x∈［-1，1］時，由f（x）=x2+ax+b，ax+b=f（x）-x2，|ax+b|=|f（x）-x2|≤|f（x）|+x2≤2+1，故|ax+b|≤3恒成立，由|a+b|≤3，|-a+b|≤3，得到|a|+|b|≤3，當a=2，b=-1時，|a|+|b|的最大值為3.

3.強調數(shù)學思想方法考能力重選拔

注重數(shù)學思想方法、數(shù)學能力的考查是浙江試題一貫的特色，今年這方面的考查明顯進一步加強.如理科第5，6，7，8，9，10，13，14，15，18，19題考查數(shù)形結合思想，第3，10，14，15，16，18，19題則涉及函數(shù)與方程思想，至于轉化與化歸思想則在大多數(shù)問題中都有體現(xiàn)，根據(jù)近幾年浙江省高考命題情況，分類討論思想一般在解答題的最后一題出現(xiàn)，考查的頻數(shù)也不高，今年位置提前，在第6，7，8，18，20題等問題中都有體現(xiàn)，特別是第18題中深度考查.第8，13，17題突出考查空間想象能力，第19題考查運算與推理論證能力，特別是運算能力，第20題重點考查推理能力，通過新定義試題、新情境試題既考查考生的基礎，同時檢測考生繼續(xù)學習的潛能.

二、幾點商榷

1.閱讀理解類試題的合適題量

抽象是數(shù)學的特色，符號化是其重要體現(xiàn)，符號語言、圖形語言及文字語言之間的轉譯與理解是數(shù)學學習的重要內容，是考生數(shù)學學習能力的體現(xiàn)，適當數(shù)量的閱讀理解類問題是必須的，但是，今年的試卷中第3，4，6，7，14，15，18，20題的“數(shù)學味”十足，是近幾年中符號化比較突出的一年，由于考生在理解上會花費比較多精力，試卷難度也就自然提升；

2.關于知識點重點考查、重復考查與知識點考查的缺位

2012年版教學指導意見中必修部分的學習內容減少，重點知識的重點考查勢在必行，但是重點考查與重復考查還是要注意區(qū)分.理科試卷中涉及不等式的問題有第1，3，4，6，8，14，15，18，19，20題等，有十道之多，涉及最值、范圍的試題有第6，10，14，15，18，19，15題，大有不等式一統(tǒng)天下之勢；第11題、第16題都在考查二倍角公式，理科試卷第8題、第17題都考查了二面角；與之相對的，比如文科試卷中雙曲線僅僅作為第7題一個無用的選擇支，其他試題則再無涉及.

3.關于方法考查

理科第14題、第18題都可以利用絕對值不等式的相關知識解決，而且充分顯示了其優(yōu)越性；理科第20題，利用數(shù)學歸納法基本上是按部就班的操作.對以上試題，參加過競賽、補充過相應方法的考生可以輕松應對，對一般考生則會無比煩瑣；第20題，從靈活運用知識方法、考查思維能力、推理能力等方面分析是一道優(yōu)秀的試題，如果以“機械操作”替代深層次的思維的方法可以解決問題，是不是考查目標的旁落？

另外，第17題立體幾何試題中點的標注，“A1在底面ABC的射影為BC的中點，D為B1C1的中點”，中點沒有字母標注，D標注在上底面A1B1C1中，下底面ABC中的中點字母考生要自己標出，結果肯定是很混亂.首先，不標出中點能達到什么考查目的？再者，在課本中或者類似的情形下，同一個底面上的字母形式盡量一致.雖有點吹毛求疵，但是作為國家級大考還是要盡量規(guī)范.

三、啟示與思考

面對高考試題，考生、老師往往會有頓悟的感覺.“三年白學了！！”考完數(shù)學很多考生很無奈、悲涼、無助！面對考生的“三年白學”，教師做何感想呢？

“三年白學了??！”到底什么意思？學的都沒有考到？考的都沒有學到，沒有學會？

話肯定夸張了！以理科為例，拿掉第7，8，14，15，18，20題，發(fā)現(xiàn)三年也沒有白學，基礎知識、基本技能還是占較大比例.高考畢竟是選拔性考試，期望人人歡喜是不現(xiàn)實的！

能做的就是努力能達到自己的最高境界，突破自己的瓶頸，拿到自己的高分.

學生沒有學的過程是癥結之一.急行軍的速度，新授課課本也是一帶而過，課堂PPT打出試題，教師自己讀題，然后開始講解，放電影一樣給出答案，諸如此類，人灌或者電灌，趕進度的結果就是都學過還不懂，做過還不對；數(shù)學也是語言學科，要遵循語言學科的教學特點，有閱讀、有模仿，會用數(shù)學語言表達，給學生學習的機會，讓考生會學習，在考場上能表現(xiàn)出學習能力.

根基不牢是普遍現(xiàn)象.像理科的第7題、第15題本來是最基本的概念與定理的運用，考生卻如墜云里霧里，如拳頭打在棉花上有勁使不出.要在雙基上舍得下功夫，對概念、定理有感知、抽象、概括的過程體驗，在解題過程中考慮概念的運用方式、角度等，積累具體運用的經驗.

解題教學模式亟待改進.解題教學幾乎是目前講臺上唯一的課型，數(shù)學教解題一點不為過，關鍵是方法.對題型、套結論，堆積如山的練習，沒有理解、分析的過程的解題教學可以對付平時的模擬測試，難以適應選拔性考試的要求.教師多下水，多研究，學生才可能減負增效，把握合適練習量，過猶不及.教師有才，讓學生沾點靈氣，教師無才，讓學生學會自己思考，讓學生自己動手動腦都是必須的，學生還是要靠自己！A