橫看成嶺側(cè)成峰
——一道高考題的多視角解法

☉江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 潘益琪

橫看成嶺側(cè)成峰
——一道高考題的多視角解法

☉江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 潘益琪

2015年重慶高考文科第14題以無(wú)理函數(shù)最值為載體，融函數(shù)、等價(jià)化歸等基本思想于一體，注重綜合考查學(xué)生的觀察、分析、猜想、推理論證等基本數(shù)學(xué)能力，對(duì)學(xué)生的思維能力提出了較高的要求，是一道具有潛在價(jià)值的好題.本文擬對(duì)此試題從多個(gè)視角作些探析，供讀者參考.

利用不等式求最值是不等式運(yùn)用的一個(gè)重要方面，在用不等式求函數(shù)的最值時(shí)，往往需要配合一定的變形技巧，才可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不等式的問(wèn)題.解法1的核心是利用算數(shù)平均數(shù)不大于平方平均數(shù)；解法2的核心是利用幾何平均數(shù)不大于算數(shù)平均數(shù)；解法3的核心是利用幾何平均數(shù)不大于平方平均數(shù).

利用三角換元也是解決最值問(wèn)題的常用手段，這啟示我們?cè)诮忸}方法上不能墨守成規(guī)，應(yīng)因地制宜選擇最佳解題方法，培養(yǎng)思維的敏捷性和靈活性.

圖1

視角三：幾何視角

靈活運(yùn)用勾股定理的逆定理，構(gòu)造直角三角形的三邊，運(yùn)用正弦定理求相應(yīng)的范圍.

根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征“為數(shù)配形”，通過(guò)構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離的解析幾何方法，體現(xiàn)出形與數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系.

解法7：線性規(guī)劃法，由a+b=5，可得（a+1）+（b+3）=問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成約束件為目標(biāo)函數(shù)為z= x+y，如圖2所示，可行域?yàn)榫€l0：x+y=0往上平移，直到與（相切時(shí)的P點(diǎn)就為最優(yōu)解，容易求點(diǎn)的切線方程為

圖2

通過(guò)換元，構(gòu)造圓，利用圓與直線有公共點(diǎn)解題，揭示了代數(shù)問(wèn)題的本質(zhì)，本解法需要方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸意識(shí)，化靜為動(dòng)，動(dòng)中求靜.

視角五：函數(shù)視角

通過(guò)代入消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再運(yùn)用求導(dǎo)找出相應(yīng)最值.盡管此題的導(dǎo)數(shù)解法與上述幾種解法相比顯得不簡(jiǎn)便，但作為“通法”，思路清晰，學(xué)生容易接受.

視角六：方程視角

此種方法采用消去其中一個(gè)元，同時(shí)引入一個(gè)元，然后用主元法，將其中一個(gè)視為主變量.

視角七：數(shù)列視角

本解法可謂構(gòu)思巧妙、奇特，視角新穎，悅從心涌.

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，本題雖是一道填空小題，但題面精巧、背景清晰、內(nèi)涵豐富，且入口較寬、解法靈活，耐人尋味.通過(guò)多角度的切入，多方位的探究，溝通了不等式、函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、數(shù)列、幾何等知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使它們有機(jī)地、密切地配合起來(lái)，從而總結(jié)出解題規(guī)律，探求出解題方法.本題可以多方面地檢測(cè)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想的掌握情況，并能有效地考查學(xué)生思維的靈活性和敏捷性，是值得深究的一道好題.在平時(shí)教學(xué)中，經(jīng)常與學(xué)生共享這類好題的思維探究和解法形成，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性、敏捷性、靈活性和深刻性是大有益處的.F