雙解析函數(shù)的一個帶共軛值的邊值問題

曾 偉

(西南民族大學預(yù)科教育學院，四川 成都 610041)

雙解析函數(shù)的一個帶共軛值的邊值問題

曾 偉

(西南民族大學預(yù)科教育學院，四川 成都 610041)

討論了雙解析函數(shù)的一個帶共軛值的邊值問題.首先通過雙解析函數(shù)的plemelj公式，把所要解決的邊值問題轉(zhuǎn)化為一類積分方程的形式.然后證明了幾個有用的不等式，再結(jié)合函數(shù)論知識中的積分方程理論和壓縮映像原理，得到了該問題的解的存在性和唯一性.

雙解析函數(shù);plemelj公式;積分方程理論;壓縮映像原理.

設(shè)G是復(fù)平面上的一個區(qū)域，w(z)是G上的一個復(fù)函數(shù)，它具有關(guān)于的二階導(dǎo)數(shù).如果在G上，我們有=0，則稱w(z)是G上的雙解析函數(shù).

在文［5］中，趙楨老師給出了雙解析函數(shù)的定義，證明了一個雙解析函數(shù)能夠用解析函數(shù)唯一的表示出來，并且初步研究了雙解析函數(shù).在文［6－8］中，王明華和曾偉分別研究了雙解析函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并討論了雙解析函數(shù)的幾個邊值問題.本文將在上述內(nèi)容的基礎(chǔ)上，研究雙解析函數(shù)的一個帶共軛值的邊值問題.

本文將研究雙解析函數(shù)w(z)的一個邊值問題:

稱它為條件R.

1 準備工作

命題1:(雙解析函數(shù)的Cauchy積分公式)設(shè)D為復(fù)平面的有界區(qū)域，其邊界D=L，由有限條光滑閉曲線組成.w(z)是D內(nèi)的雙解析函數(shù)，且w(z)∈，則

設(shè)L是一條光滑曲線，f1(t)，f2(t)是定義在L上的絕對可積復(fù)函數(shù)，定義Cauchy型積分如下:

顯然，w(z)在L外雙解析.

命題2:(plemelj公式)

設(shè)L是一條光滑的Jordan閉曲線，D+，D－分別是D的內(nèi)部和外部區(qū)域，f1(t)，f2(t)是定義在L上滿足Ho¨lder條件的復(fù)函數(shù)，則當z分別從D+，D－趨近于t0(t0∈L)，有極限值且極限值為:

2 問題的轉(zhuǎn)化

設(shè)A(t)，B(t)，C(t)，D(t)，G(t)是D的邊界L上的已知函數(shù)，要找一個函數(shù)w(z)，使它在L上滿足條件R，在L外雙解析.顯然由(3)式和(4)式可知，條件R可以轉(zhuǎn)化為:

其中，

和

(2)提供制作平臺。創(chuàng)客空間為創(chuàng)客提供從創(chuàng)意產(chǎn)生到實物制作所必須的工具設(shè)備。隨著3D打印技術(shù)的成熟，開源硬件的興起，使得不依托大型工廠，在社區(qū)、家里制作產(chǎn)品成為可能。不同技術(shù)領(lǐng)域的創(chuàng)客空間，還可根據(jù)具體項目加配相應(yīng)的工具。

那么，

并且

則，仿照文［9］中的定理1的證明，我們有

由(10)，(11)式，并且取J1=max{J3，J4}，則(8)式成立.

而對于(9)式，

由(8)式可知，取J2=J1+J5，則(9)式成立.

定理 2:設(shè)f2(t)∈H(L，α)被取定，且(t)，f1(t)∈H(L，α)，那么:

證明:由(7)式可知，

顯然，由(8)(9)式可知，定理2成立.

定理3:在定理2的條件下，以下兩個不等式成立

所以，仿照定理1的證明，易得定理3成立.

3 問題R的結(jié)果

定理 4:如果A(t)，B(t)，C(t)，D(t)∈H(L，α)，且r=J2(||A+B||α+||C+D||α+||1－B||α+||D||α)，那么當r＜1時，問題R中的第2個方程有唯一解.

證明:因為f2(t)，f'2(t)∈H(L，α)，那么

因為r＜1，所以由壓縮映像原理，問題R中的第2個方程有唯一的一個解，記為f2(t).

定理5:在定理4的條件下，且f2，f1是取定的函數(shù)，那么問題R中的第1個方程有唯一解.

證明:

因為r＜1，所以由壓縮映像原理，問題R中的第1個方程有唯一的一個解，記為f1(t).

定理6:在定理4的條件下，問題R的解存在并且唯一.

證明:由定理4和定理5的結(jié)果直接得證.

本文所得的定理，推廣了文獻［6－8］的結(jié)論，使得雙解析函數(shù)的研究結(jié)果更加完善.下一步我們將研究雙解析函數(shù)在雙曲復(fù)數(shù)中的某些邊值問題.

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［13］趙楨.雙解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)以及它們的基本邊值問題［J］.北京師范大學學報:自然科學版，1995，61(2):175－179.

［14］曾偉.k－正則函數(shù)的某些性質(zhì)及其共軛k－正則函數(shù)的Riemann邊值問題［J］.西南民族大學學報:自然科學版，2009，35(2):210－217.

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A boundary value problem with conjugate value for bianalytic functions

ZENG Wei
(School of Preparatory Education，Southwest University for Nationalities，Chengdu，610041，P.R.C.)

This paper discusses a boundary value problem with conjugate value for bianalytic functions.With plemelj formula，the problem is translated into an integral equation，and then，the existence and the uniqueness of the solution for this problem are proved by using the theory of integral equations and the contract mapping theorem.

bianalytic function;plemelj formula;theory of integral equations;contract mapping theorem

O175.2

A

2095-4271(2015)06-0741-04

10.11920/xnmdzk.2015.06.016

2015-06-30

曾偉(1980－)，男，四川成都人，講師，研究方向:復(fù)偏微分方程的邊值問題.Email:zw0830@163.com

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項項目(2015NZYQN39)

(責任編輯:付強，張陽，李建忠，羅敏;英文編輯:周序林)