基于改進的Gibbs模型下抽油系統(tǒng)中泵功圖的計算

楊星星，林 永

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽宿州，234000

本文改進了文獻［1］中的Gibbs模型，給出泵功圖的計算。Gibbs模型是簡化了的齊次方程模型，該模型忽略桿級連接處的受力情況等因素，實際上考慮桿級連接處的受力情況等因素對桿作受力分析，建立非齊次方程模型，物理意義更清楚，這樣能充分描述抽油桿動態(tài)變化的帶阻尼的波動方程。

1 Gibbs模型改進

1.1 非齊次方程推導(dǎo)

以懸點運動的下死點為運動起始點，抽油桿上任意截面的運動記為u（x，t），可分解為兩部分：（1）該截面隨著懸點的上下運動，記為u0（t）；（2）該截面相對于懸點的彈性位移，記為u1（x，t）。如圖1所示，微元體受力情況：（1）連接桿處受力分析；（2）微元體受力分析。

圖1 桿受力分析

具體分析如下：

（1）根據(jù) Hooke定律［2］，微元體上、下截面的內(nèi)力分別為：

式中x表示微元體上截面在抽油桿柱上的位置，單位m；dx表示微元體的長度，單位m；

（2）微元體重力為：

式中ρr表示第r級（1≤r≤Nr）抽油桿的密度，單位kg／m3；

（3）微元體與油管內(nèi)液體的粘滯阻力為：

（4）根據(jù)達(dá)朗伯原理，微元體的慣性力為：

（5）油管內(nèi)液體對微元體柱面的壓力垂直于微元體的軸線指向微元體，各向大小相等，其合力為0；

（6）在多級桿的連接處，突出的環(huán)形面積受到油管內(nèi)液體的壓力為：

式中，Acr表示第r級與第r＋1級抽油桿的連接處突出部分的面積，單位為m2；Lr表示第r級（1≤r≤Nr）抽油桿的長度，單位為m。

根據(jù)抽油桿柱的微元體受力分析，油管內(nèi)液體對微元體柱面的壓力，各向相等，合力為0，所以只考慮抽油桿柱軸向力的靜平衡條件：

上式描述抽油桿動力學(xué)特性的波動方程，它是一個二階偏微分方程，必須結(jié)合相應(yīng)的邊界條件和初始條件才能求解。

1.2 連接條件改進

由于文獻［1］中相鄰兩桿在交界處的連接條件，沒有考慮桿級連接處上級抽油桿突出的環(huán)形面積所受的油管內(nèi)液體的壓力，故存在一定誤差。考慮液體壓力影響后，改進的桿級連接條件有如下關(guān)系：

（1）上級抽油桿底端的載荷等于下級抽油桿頂端的載荷加上油管內(nèi)液體對上級抽油桿突出的環(huán)形面積的壓力；

（2）上級抽油桿底端與下級抽油桿頂端的位移始終相等。

其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

2 模型求解

使用有限差分方法，可以有效地解決非齊次方程。對上述方程，在均質(zhì)桿段，將抽油桿軸線離散成等步長的m個單元，步長為Δs，各單元以下標(biāo)i表示，i＝0，1，2，…，m；將時間t離散成n個時間段，時間步長為Δt，各時間點以下標(biāo)j表示，j＝0，1，2，…，n，則ui，j表示抽油桿上第i個節(jié)點在時刻j的位移。根據(jù)牛頓差分公式［3］得：

u（x，t）對位移x的二階中心差分格式為：

u（x，t）對時間t的一次導(dǎo)數(shù)差分，根據(jù)一階中心差分法得：

將式（13）（14）（15）代入（8）式，經(jīng)整理得：

對于組合桿在連接點處可采用如下方法處理［4－7］：

圖2為不同材料及桿徑組合桿柱結(jié)構(gòu)示意圖。設(shè)Er1、ρr1、Ar1為第一級桿柱的彈性模量、密度與橫截面積；Er2、ρr2、Ar2為第二級桿柱的彈性模量、密度與橫截面積，則第一、二級桿柱的波動方程可寫為：

圖2 組合桿結(jié)構(gòu)圖

由變形協(xié)調(diào)及連續(xù)性條件，兩級桿連接點i處應(yīng)滿足如下條件：

式（19）可以寫成：

根據(jù)泰勒公式［8］，ui－1，j與ui＋1，j可以表示為：

由式（22）和式（23）可得：

由（24）（25）式結(jié)合（19）（20）（21）式得：

由式（17）（18）可得：

將（28）（29）式 分 別 代 入 （26）（27）式 并 結(jié) 合（19）式得：

式中，αs＝α1＋α2，βs＝β1＋β2。

下面給出波動方程的邊界條件：

在抽油機懸點運動一個周期內(nèi)，已知地面懸點位移在不同時刻可分別為u1，u2，…，un，懸點動載荷為F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，則邊界條件［9］為：

因此得：

另外，由于示功圖是一個周期函數(shù)，可知：

泵處載荷Pm，j可寫為：

3 仿真分析

以某油井為例，圖3中曲線1表示懸點E的示功圖，曲線2表示用Gibbs模型求出的泵功圖，曲線3表示用改進的Gibbs模型求出的泵功圖。改進的Gibbs模型得到的泵功圖更接近真實情況。

圖3 油井的示功圖與泵功圖

［1］楊星星.基于有桿抽油系統(tǒng)Gibbs模型泵功圖的計算研究［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報，2014，31（9）：22－26

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