基于FEO算法的平面度誤差評定

任立飛　穆紹帥　王亞龍

摘 要：為了準(zhǔn)確快速的評定平面度的誤差，本文探索了FEO算法在平面度誤差評定方面的應(yīng)用。本文建立了平面度誤差評定的數(shù)學(xué)模型，利用FEO算法對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了求解，結(jié)果表明：FEO算法原理簡單，具有良好的收斂特性，易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，適用于形位誤差測量儀器以及三坐標(biāo)測量機(jī)。

關(guān)鍵詞：FEO；平面度；評定

1 引言

平面在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、制造、裝配和檢驗(yàn)過程中常常作為基準(zhǔn)，平面度誤差的大小對產(chǎn)品的質(zhì)量和使用壽命具有重大的影響，因此，如何對平面度誤差進(jìn)行既準(zhǔn)確又高效的評定就具有重要的工程實(shí)際意義。常用的評定平面度誤差的方法有最小二乘法、三點(diǎn)法、對角線法和最小區(qū)域法，其中最小區(qū)域法是唯一滿足最小條件的方法，可以得到理想值，但是由于其不易在程序上實(shí)現(xiàn)或程序運(yùn)行時(shí)間較長，多數(shù)三坐標(biāo)測量機(jī)采用的是最小二乘法，而最小二乘法又不滿足最小區(qū)域條件。

20世紀(jì)末，國內(nèi)外開始進(jìn)行智能算法在平面度誤差評定中應(yīng)用的研究，智能算法評定平面度的研究主要集中在遺傳算法和粒子群算法，與傳統(tǒng)方法相比，智能算法往往更易于在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)，更精確，更能滿足工程的實(shí)際需要，因此得到了很大程度的發(fā)展。

煙花爆炸優(yōu)化算法（FEO）是近幾年新提出的一種智能優(yōu)化算法，它具有快速的收斂過程和高精度的尋優(yōu)能力，過程簡單，易于實(shí)現(xiàn)，但是，由于針對煙花爆炸優(yōu)化算法的研究才剛剛起步，目前煙花爆炸優(yōu)化算法在各領(lǐng)域的應(yīng)用還不算廣泛。

本文試圖將煙花爆炸優(yōu)化算法應(yīng)用于平面度的評定，探索煙花爆炸算法在平面度評定中應(yīng)用的一些問題。

2 平面度的數(shù)學(xué)模型

三坐標(biāo)測量機(jī)得到的是一系列點(diǎn)的三維坐標(biāo)，記作，其中i=1，2，3……n，n為采樣點(diǎn)的總數(shù)目。根據(jù)最小區(qū)域條件的要求，我們從所有方向的平面之中找出一個(gè)平面，使平行該平面的兩個(gè)平面包容采樣點(diǎn)時(shí)的距離最小，這一最小距離即為平面度的值。我們可以采用一個(gè)向量（x，y，z）作為該平面的法向量來刻畫這一平面的方向，考慮到和 （k為任意不為零的常數(shù)）表示的方向?qū)嶋H上時(shí)相同的，可推理出描述三維空間上的方向不需要使用三個(gè)變量。我們可想像以xOy平面上的一個(gè)單位圓沿z軸正向和負(fù)向拉伸形成一個(gè)圓柱，從原點(diǎn)到該圓柱表面上的任意一點(diǎn)形成的向量，可描述三維空間上的任意方向（當(dāng)z趨于無窮時(shí)，可表示z軸方向），這樣，描述三維空間任意向量只需要和兩個(gè)變量就可以了，會(huì)大大簡化問題的后續(xù)處理。考慮到平面度評定過程中的所求平面的法向量往往與z軸方向接近，為避免z值過大處理不便，我們將這一向量寫成。

假設(shè)給定某一向量，以這一向量為法向量的兩個(gè)平面包容采樣點(diǎn)的最小距離，可通過以下方法求出。

將原點(diǎn)與采樣點(diǎn)相連構(gòu)成向量稱之為采樣向量，記作Vi=（xi，yi，zi），其中i=1，2，3……n，n為采樣點(diǎn)的總數(shù)目。對于每一個(gè)，我們可求出在方向上的投影。

不難看出，的最大值與最小值的差即為以向量為法向量的兩個(gè)平面包容采樣點(diǎn)的最小距離。

從所有方向的平面之中找出一個(gè)平面，使平行該平面的兩個(gè)平面包容采樣點(diǎn)時(shí)的距離最小，這一問題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)優(yōu)化問題，其決策變量為和，其目標(biāo)函數(shù)為d，整理可得以下數(shù)學(xué)模型：

3 煙花算法求解

上述優(yōu)化問題可以采用FEO算法求解，其具體步驟如下：

Step1 設(shè)置算法的迭代次數(shù)T，煙花彈數(shù)N，初始的煙花爆炸最大半徑rinitial和最后一次迭代時(shí)煙花爆炸的最大半徑rend。

Step2 在二維搜索空間范圍內(nèi)隨機(jī)初始化N個(gè)煙花彈的位置，迭代次數(shù)t取值為1。

Step3 采用以下公式計(jì)算本次迭代過程的煙花爆炸的最大半徑r。

Step4 對每一個(gè)煙花單沿著標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)軸的4個(gè)方向分別以r、r/3、2r/3爆炸產(chǎn)生火星。

Step5 從目前空間中的所有火星和原煙花彈里選擇最優(yōu)的N/2個(gè)，并從剩下的火星或原煙花彈里隨機(jī)挑選N/2個(gè)，共同組成N個(gè)煙花彈予以保留，其他的火星或煙花彈全部丟棄，置t=t+1。

Step6 若t

4 應(yīng)用舉例

為便于對算法性能進(jìn)行比較，我們采用文獻(xiàn)[7]中的數(shù)據(jù)（具體數(shù)據(jù)也可參考文獻(xiàn)[2]中的表2 平面度誤差測量數(shù)據(jù)），設(shè)置的算法參數(shù)為迭代次數(shù)T為100，煙花彈數(shù)N為40，初始煙花爆炸最大半徑為12.56，最后一次迭代煙花爆炸最大半徑為1.00E-5。

通過試驗(yàn)可知，在迭代次數(shù)和煙花彈數(shù)與文獻(xiàn)[3]相同的情況下，本算法得出的結(jié)果為0.1425，而據(jù)文獻(xiàn)[2]記載，MABC算法求得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的平均值為0.15487，ABC算法得到的最優(yōu)目標(biāo)值為0.154895，可見，本算法具有良好的計(jì)算精度。但是，在本算法中，所求結(jié)果易收斂于0.8點(diǎn)，算法的穩(wěn)定性較差，但是，當(dāng)將煙花彈數(shù)N取值增大時(shí)，該算法的穩(wěn)定性有所改善。

5 結(jié)論

本文對煙花算法在平面度應(yīng)用的一些問題進(jìn)行了探索，試驗(yàn)表明，煙花算法原理簡單，具有良好的收斂性和計(jì)算精度。易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，適用于形位誤差測量儀器以及三坐標(biāo)測量機(jī)，對算法稍加修改可推廣應(yīng)用到其它形位誤差的應(yīng)用中。

參考文獻(xiàn)

[1]張琳娜.精度設(shè)計(jì)與質(zhì)量控制基礎(chǔ).中國計(jì)量出版社.2011，08，01

[2]羅鈞，王強(qiáng)，付麗. 改進(jìn)蜂群算法在平面度誤差評定中的應(yīng)用[J]. 光學(xué)精密工程，2012，02：422-430.

[3]曹炬，賈紅，李婷婷. 煙花爆炸優(yōu)化算法[J]. 計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2011，01：138-142.

[4]王時(shí)禮. 大尺寸平面度的智能評定[D].華南理工大學(xué)，2010.

[5]]李婷婷. 煙花爆炸算法改進(jìn)及其性能測試研究[D].華中科技大學(xué)，2010.

[6]賈紅. 煙花爆炸優(yōu)化算法及其改進(jìn)研究[D].華中科技大學(xué)，2010.

[7]SAMUEL G L，SHUNMUGAM M S..Evaluation of straightness and flatness error using computational geometric techniques[J].Computer-Aided Design，1999，31（3）：829-843