具增生的細(xì)菌群體中一類遷移算子的譜分析

賈善德，程國飛，王勝華

(上饒師范學(xué)院，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)院，江西上饒334001)

本文研究了以下一類具增生的細(xì)菌群體中的遷移方程：

(1.1)

其中u(0

(1.2)

其中α,p≥0表示每一能有絲分解子細(xì)菌的平均數(shù),p=1時(shí)保證了細(xì)菌通量的連續(xù)性,正核k=k(v,v')表示母體細(xì)菌V′和它的子細(xì)菌v間成熟速率的相互關(guān)系,并滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件

(1.3)

M.Rotenberg在文獻(xiàn)[1]中提出了這類具增生的細(xì)菌群體中的遷移方程,其中僅對(duì)該遷移方程的特殊情況(即碰撞項(xiàng)為積分項(xiàng)的種群細(xì)胞的Rotenberg模型),通過使用Chapman方法,討論了該遷移方程的數(shù)值解;之后只是對(duì)這類特殊情況有一些研究工作(部分見文獻(xiàn)[2-8])。但是對(duì)這類具增生的細(xì)菌群體的遷移方程的研究工作很少,最近,文獻(xiàn)[9,10]在L1空間研究了這類具增生的細(xì)菌群體模型,在邊界條件α=0和邊界算子為可容許算子[9,10]的情況下,得到了該模型相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生不可約正C0半群,并討論該遷移方程解的漸近行為等。但是對(duì)邊界條件(1.2)中αp≠0的情況未見研究結(jié)果,因?yàn)樵讦羛≠0時(shí)的邊界算子不是可容許算子。本文在Lp(1≤p<+∞)空間上,討論了這類模型(1.1)-(1.3)相應(yīng)的遷移算子的譜分析,得到了這類遷移算子的譜在某右半平面上僅由可數(shù)個(gè)具有限代數(shù)重?cái)?shù)的離散本征值組成等結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)主要給出一些本文需要的Banach空間和有關(guān)的算子及結(jié)果等。設(shè)

Xp=Lp(Ω,dudv),(1≤p<+∞)，Ω=(0,1)×(a,b)=I×J.

它們分別按范數(shù)

和

構(gòu)成的Banach空間。令Yp=Lp(J,vdv)為跡空間，其范數(shù)為

引進(jìn)邊界空間和范數(shù)分別為

Xi=Lp(Γi,dv),i=1,2;Γ1={(0,v)∶v∈J};Γ2={(v,v)∶v∈J}.

引理2.[11]若ψ∈Wp,則ψ|Γ1∈X1的充要條件為ψ|Γ2∈X2.其中

ψ|Γ1=ψ(0,v),ψ|Γ2=ψ(1,v)

定義遷移算子A為：

其中σ(.,.)∈L∞(Ω),邊界算子K為：

K∶X2→X1,Kψ|Γ2=ψ|Γ1.

對(duì)φ∈Xp,λ∈C,ψ∈D(A)考慮方程

(λ-A)ψ=φ.

(2.1)

則?λ,Reλ>-σ(σ=essinf{σ(u,v)∈I×J}),方程(2.1)可形式地解為：

(2.2)

取u=1,則(2.2)式為：

(2.3)

根據(jù)(2.2)式和(2.3)式引進(jìn)如下算子：

ψ|Γ2=BλKψ|Γ2+Eλφ.

(2.4)

ψ=DλKψ|Γ2+Fλφ.

(2.5)

2 算子A的譜

定理3.1 如果假設(shè)(O1)被滿足,且存在數(shù)λ0,使得?λ>λ0,有

rσ(BλK1)<1.

(3.1)

則遷移算子A的譜σ(A)由至多可數(shù)個(gè)具有限代數(shù)重?cái)?shù)的離散本征值組成。

證明：由(2.4)式和(3.1)式,對(duì)λ>λ0,有

ψΓ2=Hλ·ψ|Γ2+Lλφ.

(3.2)

其中Hλ=(I-BλK1)-1BλK2),Lλ=(I-BλK1)-1Eλ。

(Hλ)2=(I-BλK1)-1BλK2(Hλ)2≤(I-Bλ2K1)-1BλK2(Hλ2)2

(3.3)

①課程知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)微視頻：教師根據(jù)課程的教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行梳理，把課程的知識(shí)點(diǎn)分割成利于微課制作的小的學(xué)習(xí)單元，每個(gè)學(xué)習(xí)單元的學(xué)習(xí)時(shí)間控制在十分鐘左右，設(shè)計(jì)微教案，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)充分考慮各種媒體技術(shù)的應(yīng)用以增加微課的趣味性和互動(dòng)性,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)針對(duì)不同層級(jí)的學(xué)生，可設(shè)計(jì)不同梯度的學(xué)習(xí)任務(wù)和目標(biāo)，學(xué)生可根據(jù)自己學(xué)習(xí)的實(shí)際情況進(jìn)行自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，真正實(shí)現(xiàn)個(gè)性化學(xué)習(xí)和差異性教學(xué)，從而較好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。

(3.4)

因此由Gohberg-Shmul'yan定理[13,p.258]知:(I-(Hλ)N)是有界可逆算子(λ∈C，λ?S,S={λk∶k=1,2,…};λk是(I-(Hλ)N)-1的極點(diǎn))。因?yàn)?/p>

I-(Hλ)N=(I-Hλ)(1+Hλ+…+(Hλ)N-1),λ∈C,λ?S.

所以

I-(Hλ)-1=(I+Hλ+…+(Hλ)N-1)(I-Hλ)N)-1,λ∈C,λ?S.

因此，若λ∈C,λ?S,則方程(3.2)式變?yōu)?/p>

ψ|Γ2=(I-Hλ)-1Lλφ.

(2.5)式變?yōu)?/p>

ψ=DλK(I-Hλ)-1Lλφ+Fλφ.

又方程(2.1)式可變?yōu)?/p>

ψ=(λ-A)-1φ

于是

(λ-A)-1=DλK(I-Hλ)-1Lλ+Fλ.

(3.5)

所以λ∈S是(λ-A)-1的極點(diǎn),從而σ(A)在某半平面上由至多可數(shù)個(gè)具有限代數(shù) 重?cái)?shù)的離散本征值組成。

定理3.2 設(shè)條件同定理3.1, 若γσ(Bλ0K2)>1,則有σ(A)≠,從而存在一個(gè)最大的實(shí)有限重離散本征值證明：設(shè)λ∈σ(A)∩R,由譜映象定理([14,p.569])知:rσ(Hλ)是關(guān)于λ的連續(xù)單調(diào)遞減函數(shù),又

λ∈σp(A)?1∈σp(Hλ).

(3.6)

由于Hλ≥BλK2, 則有

故存在λ1>λ0,使得γσ(Hλ1)=1,因此σ(A)≠,從而由文獻(xiàn)[15]即知本定理成立。

Γs={λ∈C|-σ≤Reλ≤s(A)}.

其中s(A)表示算子A的譜界。

定理3.3 設(shè)條件同定理3.1,則當(dāng)λ∈Γ,且|Imλ|充分大時(shí), 算子(I-Hλ)-1存在。

證明 下面分兩步證明。

此外,對(duì)任一整數(shù)n,有

由控制收斂定理知：

所以

(b){K2Bλ,λ∈Γ0}是緊集。

由(a)(b)及文獻(xiàn)[16]可得

(3.7)

所以

(3.8)

因此本定理成立。證畢。

定理3.3 條件同定理3.1,則σ(A)∩{λ∈|Reλ>-σ}僅由有限個(gè)具有限代數(shù)重?cái)?shù)的離散本征值組成。

證明 由定理3.2知:Γs∩S在|Imλ|=+∞時(shí)沒有聚點(diǎn),且Γs∩S被限制在Γs的一個(gè)緊區(qū)域中,所以Γs∩S有限,從而σ(A)∩Γs有限,因此由定理3.1(1)知本定理成立。證畢。

參考文獻(xiàn)：

[1] Rotenberg M. Transport theory for growing cell populations[J]. J theor Biol, 1983, 103(2):181-199.

[2] Boulanouar M. A transpot equation in cell population dynamics[J]. Diff Inte Equa. 2000,13:125-144.

[3] Boulanouar M. Asymptotic behavior of transpot equation in cell population dynamics with a null maturation velocity[J]. J Math Anal Appl,2000,243(1):47-63.

[4] Boulanouar M. Transpot equation in cell population dynamics (I)[J]. Elec Diff Equa. 2010, 144:1-20.

[5] Boulanouar M. Transpot equation in cell population dynamics (II)[J]. Elec Diff Equa N 2010, 145:1-20.

[6] 王勝華,翁云芳,陽名珠.人體細(xì)胞增生中的一類遷移算子的譜分析[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2010,30A(4):1055-1061.

[7] 王勝華,吳軍建. 種群細(xì)胞增生中一類Rotenberg模型[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2014,16(4):296-303.

[8] Wu Hongxing, Wang Shenghua, Yuan Dengbin. Spectral distribution of transport operator Arising in cell Population[J].Journal of Function Spaces ,Volume 2014, Article ID 748792, 10 pages.

[9] Boulanouar M. Transpot equation for growing bacterial populations (I)[J]. Elec Diff Equa. 2012, 221：1-25.

[10] Boulanouar M. Transpot equation for growing bacterial populations (II)[J]. Elec Diff Equa 2012, 222:1-21.

[11] Boulanouar M. A mathematical study for a Rotenberg model[J]. 2002, 265(2):371-394.

[12] Kato.T.Perturbation Theory for Linear Oprators[M].New York:Springer-Verlag,1966.

[13] Kaper H G,Lekkerkerkerker C G,Hejtmanek J.Spectral Methods in Linear Transport Theory[M].Birkhauder,Basel,1982.

[14] N.Dunford, Schwartz J T.Linear Operators:Part I[M].New York Interscience:1958.

[15] Vidav. I Existence and uniqueness of nonnegative eigenfunctions of the Boltzmann operator[J].J.Math.Anal.Appl.1968,22(1):144-155.

[16] Anselone A P, Palmer J M.Spectral analysis of collectively compact. strongly convergent operator seqences[J]. Pacific J Math 1968,25(3):423-431.