借助數(shù)學(xué)軟件掌握復(fù)變函數(shù)概念和函數(shù)級(jí)數(shù)

(上饒師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，江西上饒334001)

數(shù)學(xué)物理方法是解決各類物理和工程技術(shù)問題的工具[1]，涉及的內(nèi)容廣，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理基礎(chǔ)要求高。由于理工科專業(yè)的課程隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展而不斷增多，一方面后繼專業(yè)課程對(duì)數(shù)學(xué)物理方法的內(nèi)容需求發(fā)生了相應(yīng)的變化，有些內(nèi)容的應(yīng)用價(jià)值在不斷消失，可科學(xué)技術(shù)又提出越來越多需要解決的非線性數(shù)學(xué)物理問題[2]，如分形、孤立子和混沌等，豐富了數(shù)學(xué)物理方法的新內(nèi)容，推動(dòng)了數(shù)學(xué)物理方法自身的發(fā)展。而另一方面，由于專業(yè)課程數(shù)的增多，導(dǎo)致數(shù)學(xué)物理方法的平均教學(xué)時(shí)數(shù)的下降。因此，在這種形勢(shì)下，研究采用合適的教學(xué)手段和方法，在有限的課時(shí)內(nèi)，保證和提高教學(xué)質(zhì)量具有重要的意義。

數(shù)學(xué)物理方法被公認(rèn)為是一門比較抽象難學(xué)的課程，究其原因一是數(shù)學(xué)模型是具體物理模型和工程技術(shù)問題的數(shù)學(xué)描述，比較抽象；二是這些不直觀的理論和求解方法難以理解和掌握；三是具體問題的數(shù)學(xué)計(jì)算往往非常復(fù)雜；四是在計(jì)算和推導(dǎo)過程中，需要用到較多的高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理中的基礎(chǔ)知識(shí)，涉及面廣[3]。近幾年，我們一直在探索如何解決存在的這四個(gè)困難，找到的方法之一就是借助數(shù)學(xué)軟件如Maple強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算功能解決計(jì)算和推導(dǎo)問題[4-6]，利用它的圖像顯示功能，解決數(shù)學(xué)物理方法中各種抽象的概念和公式的圖像表達(dá)問題，使學(xué)生更直觀地理解具體的數(shù)學(xué)物理現(xiàn)象，同時(shí)幫助學(xué)生掌握這些數(shù)學(xué)軟件的使用方法，并將其應(yīng)用到物理學(xué)和工程技術(shù)的領(lǐng)域中，解決具體的科學(xué)技術(shù)計(jì)算問題。顯然有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和促進(jìn)個(gè)性發(fā)展，并為學(xué)生畢業(yè)論文和設(shè)計(jì)打下良好的基礎(chǔ)。

1 利用數(shù)學(xué)軟件的圖像顯示功能，理解和建立形象的復(fù)變函數(shù)概念

> with(plots): /加載數(shù)學(xué)軟件Maple中的plots函數(shù)庫(kù),冒號(hào)指不顯示加載后的結(jié)果。/

> r:=rationalize(expand(convert(sin(x+I*y),exp))); / convert是將正弦復(fù)變函數(shù)化成指數(shù)形式;expand是對(duì)表達(dá)式展開;rationalize是將復(fù)數(shù)有理化，使分母不含虛數(shù)，將實(shí)部與虛部分開;最后將經(jīng)處理所得的復(fù)變函數(shù)賦給變量r。/

r1:=collect(Re(r),sin,factor); / Re是取出變量r的實(shí)部；collect是將實(shí)部按sin收集系數(shù)，并寫成積的形式;將所得結(jié)果賦給變量r1。/

r2:=collect(Im(r),cos,factor); / Im是取出變量r的虛部；collect是將虛部按cos收集系數(shù)，并寫成積的形式;將所得結(jié)果賦給變量r2。/

> plot3d(r1,x=-5..5,y=-2..2,axes=boxed,labels=[x,y,Re],color=[255,255,255]); /

plot3d是作出實(shí)部r1的三維圖；x的取值從-5到5,y的取值從-2到2；axes=boxed 指定坐標(biāo)軸圍繞圖形；labels=[x,y,Re] 指定坐標(biāo)軸的名稱為x,y和Re ；color=[255,255,255] 指定圖形顏色的RGB值，為黑白，無色。結(jié)果如圖1所示。/

>plot3d(r2,x=-5..5,y=-2..2,axes=boxed,labels=[x,y,Im],color=[255,255,255]); / plot3d是作出虛部r2的三維圖；各參數(shù)含義同上。結(jié)果如圖2所示。/

圖1 sin(z)的實(shí)部隨x,y的變化圖2 sin(z)的虛部隨x,y的變化

比較圖1和圖2，可知sin(z)的實(shí)部在x方向作正弦的周期變化，而在y方向按指數(shù)變化。虛部在x方向作余弦的周期變化， y方向按指數(shù)變化。

寫入如下的指令，可得到sin(z) 隨x,y變化的圖像，如圖3所示。

>complexplot3d(sin(z),z=-4-1*I..4+1*I,axes=boxed,labels=[x,y,sin(z)],color=[255,255,255]); / complexplot3d是作出復(fù)數(shù)sin(z)的三維圖；z的取值從-4-1*I到4+1*I；labels=[x,y,sin(z)] 指定坐標(biāo)軸的名稱為x,y和sin(z) ；其它參數(shù)含義同上。/

由圖3可直觀看出，sin(z)隨z=x+iy的實(shí)部x作周期變化，是以2π為實(shí)周期的函數(shù)，隨虛部y作指數(shù)變化,其幅值可大于1，不同于實(shí)變函數(shù)sin(x)。

輸入如下指令，可得雙曲復(fù)變函數(shù)sinh(z)的圖像，如圖4。

>complexplot3d(sinh(z),z=-1-4*I..1+4*I,axes=boxed,labels=[x,y,sinh(z)],color=[255,255,255]);

由圖4可直觀看出，sinh(z)隨z=x+iy的實(shí)部x作指數(shù)變化,而隨虛部y作周期變化，是以2πi為虛周期的函數(shù),不同于sinh(x)。

同樣可畫出其它三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)變函數(shù)圖像，有利于學(xué)生建立形象直觀的復(fù)變函數(shù)概念。

圖3 sin(z)隨x,y的變化圖4 sinh(z)隨x,y的變化

2 借助數(shù)學(xué)軟件深化認(rèn)識(shí)函數(shù)的級(jí)數(shù)

函數(shù)的級(jí)數(shù)作為解決物理和工程技術(shù)問題的一種理論工具，在計(jì)算積分和求解非線性微分方程的過程中，為了尋找起主要作用的物理量之間的關(guān)系，需要對(duì)其中的函數(shù)進(jìn)行變換，如將一個(gè)函數(shù)用著名的冪級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)或付里葉級(jí)數(shù)表示。但是學(xué)生在學(xué)習(xí)和使用這種思想方法時(shí)，常常會(huì)遇到如下四道坎，一是為什么要將一個(gè)簡(jiǎn)潔的函數(shù)，用一個(gè)形式更加復(fù)雜的近似的級(jí)數(shù)表示？二是一個(gè)函數(shù)是否與級(jí)數(shù)等價(jià)，存在多大的誤差？三是計(jì)算級(jí)數(shù)的系數(shù)，往往比較復(fù)雜；四是在應(yīng)用過程中，將函數(shù)展開成哪種級(jí)數(shù)？有利于問題的解決，在哪點(diǎn)展開更合適？誤差更?。繉?duì)于第一個(gè)疑問，通過物理和工程技術(shù)中所遇到的困難，說明為什么要采用這種變換方法。等價(jià)與誤差問題在教材中已有嚴(yán)格的證明和分析，但過于抽象不夠直觀。發(fā)揮數(shù)學(xué)軟件的功能，有助于學(xué)生跨過后面三道坎。

Maple提供了冪級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)的展開功能，付里葉級(jí)數(shù)需要自己在Maple中寫一小段程序，付里葉變換在 inttrans的函數(shù)庫(kù)中。用下面二例加以分析比較。

如果這個(gè)函數(shù)出現(xiàn)在微分方程中，很難求得精確解，甚至不可解；如果用手工計(jì)算它的積分，也不容易。所以在物理和工程技術(shù)中出現(xiàn)這樣的函數(shù)，往往將它展開成級(jí)數(shù)進(jìn)行分析討論，尋找物理量之間的關(guān)系。首先將它展開成泰勒級(jí)數(shù)和付里葉級(jí)數(shù)，然后通過圖像分析比較級(jí)數(shù)與原函數(shù)之間的一致情況。在Maple中輸入如下指令：

>restart:with(plots): / restart系統(tǒng)復(fù)位，with(plots)加載作圖函數(shù)庫(kù)plots。/

>plot(1/((2+cos(t+1))),t=-Pi..Pi,linestyle=1,thickness=0,color=black);g1:=%: /畫出函數(shù)1/((2+cos(t+1)))的平面圖，linestyle 定義線型，1表示實(shí)線，2表示用點(diǎn)構(gòu)成線，3表示虛線與點(diǎn)交錯(cuò)構(gòu)成線；thickness 定義圖線的粗細(xì)，0表示最細(xì)，數(shù)字越大，線越粗；color定義圖像顏色，black黑色。g1:=%:將所得圖像存于g1變量中，%表示上一次程序執(zhí)行的結(jié)果。/

根據(jù)付里葉級(jí)數(shù)的定義，在Maple中編寫一段付里葉級(jí)數(shù)展開的程序，存放于函數(shù)名為fseries中，指令如下：

> fseries:=proc(f,mg::name=range,n::posint)

local a,b,T,z,sum,k;

a:=lhs(rhs(mg));

b:=rhs(rhs(mg));

T:=b-a;

z:=2*Pi/T*t;

sum:=int(f,mg)/T;

for k from 1 to n do

sum:=sum+2/T*int(f*cos(k*z),mg)*cos(k*z)+2/T*int(f*sin(k*z),mg)*sin(k*z);

end do;

sum;

end:

> combine(fseries(1/((2+cos(t+1))),t=-Pi..Pi,5))：

plot(%,t=-Pi..Pi,linestyle=2,thickness=1,color=red);g2:=%: / fseries將函數(shù)展開成付里葉級(jí)數(shù)，5表示取級(jí)數(shù)的前五級(jí)，combine將所得結(jié)果進(jìn)行合并，冒號(hào)不顯示結(jié)果；plot畫出1/((2+cos(t+1)))的付里葉級(jí)數(shù)的平面圖，其中參數(shù)含義同上，圖像顏色為紅色；g2:=%:將所得付里葉級(jí)數(shù)的平面圖存于g2變量中。/

>tay：=taylor(1/((2+cos(t+1))),t=0,5); / taylor將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)，并賦值給變量tay。/

>series(1/((2+cos(t+1))),t=0,5); / series將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。/

取出泰勒級(jí)數(shù)tay的前五項(xiàng)，再賦值給tay，然后作圖,所得圖像存于g3變量中。

>plot(tay,t=-Pi..Pi, linestyle=2,thickness=2,color=green,style=point);g3:=%:

將原函數(shù)圖g1與付里葉級(jí)數(shù)的圖g2、泰勒級(jí)數(shù)g3顯示在同一張圖中, 進(jìn)行比較。

> display(g1,g2,g3); / 結(jié)果如圖5。/

圖5中ABCDE為原函數(shù)圖線，BCD為原函數(shù)的付里葉級(jí)數(shù)圖線，BCF為原函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)圖線。由圖可直觀地看出，付里葉級(jí)數(shù)圖線與原函數(shù)的圖線很吻合，泰勒級(jí)數(shù)圖線在展開點(diǎn)t=0附近BC段吻合，而CF段誤差越來越大。可見對(duì)于周期函數(shù)展開成付里葉級(jí)數(shù)的誤差比泰勒級(jí)數(shù)小。

誤差的大小不但與展開級(jí)數(shù)的類型有關(guān)，與展開級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，冪級(jí)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)還與展開點(diǎn)的選取有關(guān)。下面以非周期函數(shù)為例說明這一情況。

在將函數(shù)展開成級(jí)數(shù)的具體應(yīng)用中，面臨著選擇展開的類型、階數(shù)以及在哪個(gè)點(diǎn)展開等問題，不同的選擇誤差是不一樣的。為了培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用級(jí)數(shù)解決問題的能力，以(2)式為例分析比較誤差的大小。用上述Maple方法將展開成泰勒級(jí)數(shù)和付里葉級(jí)數(shù)，分三種情況畫出相應(yīng)的圖像，得到如圖6-8.圖中AF為原函數(shù)的圖線,BE為原函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的圖線,CD為原函數(shù)展開成付里葉級(jí)數(shù)的圖線，n的值表示展開成級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)，t的值表示泰勒級(jí)數(shù)的展開點(diǎn)。

圖5 原函數(shù)與展開級(jí)數(shù)的比較

圖6 n=5,t=0.圖7 n=10,t=0.圖8 n=5,t=1

根據(jù)圖6至圖8的曲線，可直觀地分析結(jié)果。比較圖6與圖7，取展開的級(jí)數(shù)n越大，級(jí)數(shù)的曲線CD和BE越接近原函數(shù)的曲線AF,誤差越小。對(duì)于非周期函數(shù)，由圖6與圖8可知，選擇合適的展開點(diǎn)，泰勒級(jí)數(shù)的BE線比付里葉級(jí)數(shù)的CD線更靠近原函數(shù)的AF線，誤差更小。圖6的泰勒級(jí)數(shù)BE線是在t=0點(diǎn)展開，圖8的泰勒級(jí)數(shù)BE線是在t=1點(diǎn)展開，其結(jié)果表明在t=1點(diǎn)展開的泰勒級(jí)數(shù)BE線更遠(yuǎn)離原函數(shù)的AF線，誤差更大，在展開點(diǎn)附近的區(qū)域誤差較小?？梢?，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)軟件在教學(xué)中作用，不但可減小繁雜的計(jì)算，而且有助于學(xué)生形象直觀地理解內(nèi)容，建立清晰的概念，可達(dá)到深化認(rèn)識(shí)函數(shù)的級(jí)數(shù)的具體細(xì)節(jié)。

3 結(jié)論

數(shù)學(xué)物理方法是一門抽象、運(yùn)算復(fù)雜、變化多的課程，用Maple中的plot、plot3d、complexplot3d等作圖功能，可幫助學(xué)生理解其中的教學(xué)內(nèi)容，建立清晰的概念；用collect、factor、combine、rationalize和expand等符號(hào)運(yùn)算功能，可節(jié)省手工運(yùn)算時(shí)間和精力，把更多的注意力集中到解決問題的方法和思路上；用fseries、taylor、series和convert等轉(zhuǎn)換功能，可減小求級(jí)數(shù)系數(shù)的繁雜計(jì)算，結(jié)合作圖功能，可更加深刻理解具體細(xì)節(jié)，培養(yǎng)和提高應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決問題的能力。掌握一種數(shù)學(xué)軟件的用法，不但可以在有限的教學(xué)時(shí)數(shù)內(nèi)完成教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)效率，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)物理的興趣，學(xué)會(huì)用先進(jìn)的工具解決問題，為今后的發(fā)展打下更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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