阻尼慣性秤的定標(biāo)和慣性質(zhì)量的測量

(上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，江西上饒334001)

在大學(xué)物理實驗中測量物體的慣性質(zhì)量是一個基礎(chǔ)實驗，能提高大學(xué)生對物體質(zhì)量的認(rèn)識，并學(xué)會秤衡質(zhì)量的一種新方法。在過去的慣性秤實驗教學(xué)中，是研究忽略阻力作用下的慣性秤擺動周期、等效質(zhì)量和附加質(zhì)量塊三者之間的關(guān)系[1]，雖然有利于理解擺動周期與慣性質(zhì)量的關(guān)系，但不利于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步解釋慣性秤擺動幅度隨時間的增大而減少的實驗現(xiàn)象。

文獻(xiàn)[2]建立了具有阻尼作用的慣性秤動力學(xué)方程

(1)

式中λ為空氣阻力系數(shù)，K為秤臂的彈性系數(shù)，m0為秤臺空載時總的等效質(zhì)量，mi為附加質(zhì)量，θ為秤臺偏離平衡位置的角度，s為θ所對應(yīng)的弧長，φ為固定的豎直平面與秤臺運(yùn)動平面的夾角，g為重力加速度。由此可解得擺動周期為

(2)

式中L為等效擺長。如果將秤臂秤臺平面調(diào)成水平，與固定的豎直平面垂直，即φ=90°,cosφ=0，則

(3)

根據(jù)(2)或(3)式，分析討論了阻力對周期和振幅的影響[2]。但沒有提出具有阻尼的慣性秤定標(biāo)和測量質(zhì)量的實驗方法。本文將解決具有阻尼的慣性秤定標(biāo)和測量物體慣性質(zhì)量的實驗問題。

1 阻尼慣性秤的定標(biāo)和慣性質(zhì)量測量方法

由(2)式可知，由于阻力的存在λ≠0，使得周期T與質(zhì)量mi失去了線性關(guān)系，出現(xiàn)了非線性曲線。利用傳統(tǒng)方法對慣性秤定標(biāo)的結(jié)果，將無法測量待測物體的質(zhì)量。我們介紹一種借助數(shù)學(xué)計算軟件Maple進(jìn)行曲線擬合，對慣性秤進(jìn)行定標(biāo)和測量物體慣性質(zhì)量的實驗數(shù)據(jù)處理方法。

首先將慣性秤的秤臂秤臺固定在豎直支架上，使夾角固定不變，可以不為90度。選用微秒(μs)記時器，測出慣性秤每擺動20個周期所需的時間，重復(fù)三次，結(jié)果分別記為Ti1，Ti2，Ti3。然后依次在秤臺上增加已知質(zhì)量塊，改變mi(i=0,1,2..10)，測量對應(yīng)的周期，結(jié)果如附表。表中Ti為一個周期的平均值。

附表 用慣性秤定標(biāo)已知質(zhì)量塊的質(zhì)量與慣性秤擺動周期的實驗測量結(jié)果

然后，根據(jù)附表的實驗結(jié)果，利用數(shù)學(xué)計算軟件Maple進(jìn)行二次曲線擬合。曲線擬合或稱回歸，是根據(jù)二個物理量之間的實驗結(jié)果，利用最小平方法，以求出最逼近或最能反映這二個物理量之間變化關(guān)系的函數(shù)，其計算方法和原理可參考文獻(xiàn)[3]。由于曲線擬合的計算比較大，我們可以借助數(shù)學(xué)計算軟件Maple進(jìn)行曲線擬合。在Maple的state函數(shù)庫中，有一個叫fit的子函數(shù)庫，提供了leastsquare( )指令，該指令具有強(qiáng)大的曲線擬合功能。它有二種使用格式，一種是leastsquare[vars](data)，即以串行vars里的元素為變量做曲線擬合；另一種使用格式是leastsquare[vars,eqn,pars](data)，即以方程式eqn來擬合數(shù)據(jù)data,其中vars為eqn里的變量，而pars為變量的系數(shù)。以附表的實驗結(jié)果，說明leastsquare( )這二種指令的用法，并分析比較直線擬合與曲線擬合結(jié)果的差異。在Maple中寫入如下命令：

> restart: with(stats): with(fit): with(plots): with(PDEtools):

其中restart為清除內(nèi)存中已有Maple的函數(shù)和變量，with(stats)、 with(fit)、with(plots)和 with(PDEtools)分別為將stats，fit，plots(作圖工具函數(shù)庫)，PDEtools(代數(shù)運(yùn)算函數(shù)庫)調(diào)入內(nèi)存，冒號“:”為不顯示函數(shù)庫加載后的結(jié)果。將質(zhì)量塊的質(zhì)量組成串行，賦值給變量mi，相應(yīng)的指令為

> mi:=[25,50,75,100,102.8,125,150,175,200,225,250];

對附表中各質(zhì)量塊相應(yīng)的測得周期進(jìn)行計算，求出一個周期所需的時間，并組成串行，賦值給變量Ti，相應(yīng)的指令為

>Ti:=[(342545+342909+342571)/60,(392150+391858+391524)/60,(435596+435554+435999)/60,(476466+476484+476459)/60,(480593+479973+479909)/60,(513961+514516+514516)/60,(551614+550487+551093)/60,(585729+586440+585846)/60,(620375+620580+620335)/60,(653412+653315+652946)/60,(685440+687216+685762)/60];

再求出一個周期的平方，組成串行，并賦值給變量ti，相應(yīng)的指令為

> ti:=[T[1]^2,T[2]^2,T[3]^2,T[4]^2,T[5]^2,T[6]^2,T[7]^2,T[8]^2,T[9]^2,T[10]^2,T[11]^2];

如果以質(zhì)量塊的質(zhì)量m為自變量，對應(yīng)的一個周期的平方T為因變量，進(jìn)行線性擬合，相應(yīng)指令為

> eq1:= leastsquare[[m,T]] ([m[i], t[i]]);

擬合后的直線方程為

eq1：=T=0.1810375936 109+0.3917748779 107m。

(4)

如果對附表中的質(zhì)量和周期的平方，進(jìn)行二次曲線擬合，相應(yīng)指令和擬合后的曲線方程分別為

> eq2:=leastsquare[[m,T],T=a*m^2+b*m+c,{a,b,c}]([ m[i],t[i]]);

eq2：=T=1990.599812m2+0.3365620824 107m+0.2097567093 109。

(5)

進(jìn)行三次曲線擬合，相應(yīng)指令和擬合后的曲線方程分別為

> eq3:=leastsquare[[m,T], T=a*m^3+b*m^2+c*m+d,{a,b,c,d}]([m[i],t[i]]);

eq3:=T=3.064306383m3+740.0860339m2+0.3508125491 107m+0.2056986520 109。

(6)

為了直觀地分析討論擬合后的曲線方程與實驗結(jié)果的符合情況，先畫出實驗結(jié)果的圖像，并賦值給變量g1

> g1:=plot(zip((m,T)->[m,T], m[i],t[i]),style=point,labels=[m,T]):

再分別畫出直線方程eq1、二次曲線方程eq2和三次曲線方程eq3所對應(yīng)的圖像，并分別賦值給變量g2、g3和g4，對應(yīng)的maple命令為

> g2:=plot(rhs(eq1), m=0..250):

g3 :=plot(rhs(eq2), m=1..250):

g4 :=plot(rhs(eq3), m=1..250):

然后將實驗結(jié)果的圖像g1逐一與g2、g3和g4進(jìn)行比較，對應(yīng)的maple命令為

> display(g1, g2); display(g1, g3); display(g1, g4);

分別得到如圖1、圖2和圖3。

圖1 直線擬合結(jié)果圖2 二次曲線擬合結(jié)果圖3 三次曲線擬合結(jié)果

圖中橫坐標(biāo)m表示已知質(zhì)量塊的質(zhì)量，縱坐標(biāo)T表示質(zhì)量對應(yīng)一個周期的平方?？招膱A圈表示實驗數(shù)據(jù)點，實線表示擬合函數(shù)的質(zhì)量m與一個周期的平方T的圖像。

由圖1可知，偏離直線的實驗數(shù)據(jù)點較多，說明(4)式的直線方程

T=0.1810375936 109+0.3917748779 107m，

與實驗結(jié)果誤差較大。

由圖2和圖3可知，實驗數(shù)據(jù)點均在曲線上，說明(5)式二次曲線方程

T=1990.599812 m2+0.3365620824 107m+0.2097567093 109，

和(6)式的三次曲線方程

T=3.064306383 m3+740.0860339 m2+0.3508125491 107m+0.2056986520 109，

與實驗結(jié)果很吻合，誤差較小。從圖像上比較，看不出圖2，圖3擬合曲線與實驗結(jié)果的誤差大小的差異，精度很接近。但可通過計算相對誤差比較二次曲線與三次曲線的擬合結(jié)果的差異。

如果選擇(5)式求慣性質(zhì)量，可用maple的solve( )命令

> solve (T=1990.600229*m^2+3365620.701*m+209756716.5,m);

能解得

(7)

式中m的單位為克，T的單位為微秒的平方。測出待測物體擺動一個周期的平方T，代入(7)式，就可求得待測物體的慣性質(zhì)量m。若以表1中參考質(zhì)量m=102.8克為例，將它對應(yīng)一個周期的平方T=0.5763800626×109，代入(7)式，可求得mx=102.6943470克。與參考質(zhì)量m=102.8克進(jìn)行比較，可得相對誤差為

同理，由直線方程(4)式、三次曲線方程(6)式，求得的慣性質(zhì)量mx與實驗結(jié)果的相對誤差分別為

η2=1.85233066%， η3=0.2880873%。

可見，η1最小，η3次之，η2最大。表明二次擬合曲線(5)式最接近實驗結(jié)果，三次擬合曲線(6)式次之，直線擬合(4)式最大，由此可知慣性質(zhì)量與周期的平方不是線性關(guān)系，而是非線性關(guān)系，應(yīng)考慮空氣阻力對慣性秤擺動的影響?？扇D2為慣性秤定標(biāo)曲線，根據(jù)(7)式求慣性質(zhì)量最準(zhǔn)確。

2 結(jié)論

在過去的慣性秤實驗教學(xué)中，忽略阻力作用，用作圖法分析討論了慣性秤定標(biāo)和慣性質(zhì)量的測量問題。本文考慮了阻力作用，用曲線擬合回歸法研究了阻尼的慣性秤定標(biāo)和慣性質(zhì)量的測量方案。由于曲線擬合回歸法是基于最小平方法的數(shù)據(jù)處理方法，需要對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行大量和較復(fù)雜的計算，所以我們介紹了利用數(shù)學(xué)計算軟件Maple中的state函數(shù)庫的子函數(shù)庫fit的leastsquare[vars](data)和leastsquare[vars,eqn,pars](data)指令，用這二個指令中的一個就可根據(jù)實驗結(jié)果，得到二個物理量之間的擬合曲線，作為慣性秤的定標(biāo)曲線。由定標(biāo)曲線則可求得待測物體的慣性質(zhì)量。分析結(jié)果表明在阻尼慣性秤的定標(biāo)和慣性質(zhì)量測量實驗中，用leastsquare[vars,eqn,pars](data)指令擬合的慣性質(zhì)量與周期平方的二次曲線的函數(shù)關(guān)系更準(zhǔn)確。本文利用先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具解決復(fù)雜的物理實驗問題的方法，對老師指導(dǎo)實驗具有有益的參考作用，對學(xué)生能起到激發(fā)學(xué)習(xí)計算軟件的興趣，并啟發(fā)引導(dǎo)分析復(fù)雜實驗現(xiàn)象的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊述武. 普通物理實驗: 力學(xué)及熱學(xué)部分[ M] . 北京: 高等教育出版社, 2000.

[2] 鄭雪梅，黃瑛，彭莉，等.阻力對慣性秤擺動幅度和周期的影響[J] .上饒師范學(xué)院學(xué)報，2014, 34(6): 120-123.

[3] 龔鎮(zhèn)雄. 普通物理實驗中的數(shù)據(jù)處理[M]. 西安:西北電訊工程學(xué)院出版社,1985.