證題過程不輕言易證——由數(shù)學(xué)問題2264解答引發(fā)的追問

鄭步春

(江蘇省鹽城市教育科學(xué)研究院 224002)

細(xì)讀《數(shù)學(xué)通報》2015.10期數(shù)學(xué)問題2264解答過程，其中有一步驟是易證兩個三角形全等. 觀察這兩個三角形，有兩組對邊相等，要證明其全等，還少一個條件.另一方面，縱觀證題過程∠C=2∠B條件就沒有引用. 由此引發(fā)的追問如下.

1 這題的結(jié)論一定不成立嗎

取特殊情形. 若∠BAC=90°，此題成為：

已知△ABC,∠A=90°,∠ABC=30°,點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在線段AD上，∠BED=∠CED=60°.

求證：BD=2DC.

證明過點(diǎn)B作BF∥AC,與AD的延長線交于點(diǎn)F.連接CF，

△BFC為等邊三角形?BF=BC.

又在Rt△ABC中，∠ABC=30°?

BD=2DC.

由此可見:原題結(jié)論是可能成立的.

2 這題的條件∠C=2∠B是多余的嗎

調(diào)換題目中的條件∠C=2∠B與結(jié)論BD=2DC.該題成為：

已知△ABC,點(diǎn)D在BC上，且BD=2DC,點(diǎn)E在線段AD上，∠BED=∠CED=90°-∠ABC.

求證：∠ACB=2∠ABC.

證明過點(diǎn)B作AD的垂線與AD的延長線交于點(diǎn)Q,與EC的延長線交于P.

因?yàn)椤螧ED=∠DEC,BP⊥AQ，

所以Q為BP的中點(diǎn).

又BD=2DC，

所以D為△EBP的重心，

所以C為EP的中點(diǎn).

又∠EQP=90°，

所以∠ECQ=2∠EPQ.

又∠CEQ=90°-∠ABC，

所以∠EPQ=∠ABC，∠ECQ=2∠ABC.

(1)

過點(diǎn)B作直線與AB垂直且與AQ延長線交于點(diǎn)F,連接CF,則

∠CBF=90°-∠ABC=∠CEF,

(2)

所以E,B,F,C四點(diǎn)共圓，

所以∠BCF=∠BEF.

又∠BEF=∠CEF，

所以∠BCF=∠CEF.

(3)

由(2),(3)得∠CBF=∠BCF,

所以BF=FC.

在Rt△ABF中,BQ⊥AF,

所以BF2=FQ·FA,從而FC2=FQ·FA,

所以△CFQ∽△AFC

所以∠QCF=∠FAC.

(4)

又∠CEF=∠ACE+∠EAC，

(5)

∠BCF=∠BCQ+∠QCF，

(6)

綜合(3),(4),(5),(6)得∠BCQ=∠ACE.

又 ∠ACB=∠ECD+∠ACE,

∠ECQ=∠ECD+∠BCQ,

所以∠ACB=∠ECQ.

(7)

由(1),(7)得∠ACB=2∠ABC.

由此可見:條件∠C=2∠B是結(jié)論BD=2DC成立的必要條件. 原證題過程中∠C=2∠B沒用引用，表明原證題是有問題的.

3 這題的結(jié)論一定成立嗎

已知△ABC,點(diǎn)D在BC上，且∠ACB=2∠ABC.點(diǎn)E在線段AD上，∠BED=∠CED=90°-∠ABC.

求證：BD=2DC.

分析根據(jù)已知條件∠BED=∠DEC,過點(diǎn)B作AD所在直線的垂線，與AD的延長線交于點(diǎn)P,與EC的延長線交于點(diǎn)Q.從而構(gòu)造了等腰△EBQ,P為BQ的中點(diǎn). 因此，結(jié)論BD=2DC成立，與D是△EBQ的重心是等價的. 相應(yīng)地，只要證明點(diǎn)C為EQ的中點(diǎn)，又∠APQ=90°,即只要證明PC=CE.

設(shè)∠DEC=β,∠ABC=α,則∠ACB=2α,α+β=90°,為此，只要證明∠EPC=∠CEP=β，即只要證明∠ECP=2α. 如圖示，即證∠1=∠2.

又∠2+∠3=β.以CB為邊，作∠BCS=β,與AP延長線交于S,連BS.

由∠BCS=∠BED=β知B,S,C,E四點(diǎn)共圓,所以∠CBS=∠CES=β.相應(yīng)地，SB=SC.

又∠ABC=α,α+β=90°,所以∠ABS=90°,從而SB2=SP·SA,即

SC2=SP·SA,所以△SPC∽△SCA, 因此，∠PCS=∠CAS=∠3.

從而∠1+∠3=∠BCP+∠PCS=∠BCS=β,所以∠1=∠2.

綜上分析，這題的結(jié)論是成立的.

4 原證題過程錯在哪個環(huán)節(jié)

正如本文開頭所述，錯在易證△BQC≌△PQC.結(jié)合原證題過程，在此環(huán)節(jié)可改證：

∠CFB=180°-∠BEC

=180°-2∠BEF

=180°-2(90°-∠ABC)

=2∠ABC

=∠ACB.

所以AC為四邊形BFCE外接圓的切線. 從而∠PCF=∠CBF=∠BCF.即原證題過程中所要的結(jié)論∠BCQ=∠PCQ.