反例，數(shù)學(xué)課堂中的一把利刃

劉小軍

[摘 要]如果要證明一個(gè)給定的命題為假命題，一般可舉出一個(gè)例子，使其有該命題的條件，但無該命題的結(jié)論，這個(gè)例子就是反例。因此，在數(shù)學(xué)課堂中，教師可適時(shí)引入反例進(jìn)行教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué) 反例 構(gòu)建

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）05-042

如果要證明一個(gè)給定的命題為假命題，一般可舉出一個(gè)例子，使其有該命題的條件，但無該命題的結(jié)論，這個(gè)例子就是反例。心理學(xué)研究表明：“小學(xué)生在對(duì)事物認(rèn)知的過程中，一般很難對(duì)事物基本屬性有深刻的理解和掌握?！彼?，數(shù)學(xué)課堂上列舉出的反例一般是變換事物的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生通過研究和數(shù)學(xué)結(jié)論本質(zhì)不同或相反的例子，使他們能夠?qū)?shù)學(xué)概念的本質(zhì)有深刻的認(rèn)識(shí)。

一、反例在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

反例在數(shù)學(xué)課堂上的作用明顯，既能夠推翻數(shù)學(xué)中的錯(cuò)誤命題，又能夠明確正確命題使用的范圍，所以得到越來越多數(shù)學(xué)教師的青睞。

1.應(yīng)用反例突破思維難點(diǎn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，總有一些理解過程中的節(jié)點(diǎn)難以突破，運(yùn)用反例能有助于解決這一思維難點(diǎn)。如學(xué)習(xí)退位減法時(shí)，其難點(diǎn)是如果一位不夠減，就要從上一位退一作十再進(jìn)行減法計(jì)算，而在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生在退一之后還習(xí)慣用原數(shù)進(jìn)行減法計(jì)算。為解決這一教學(xué)難點(diǎn)，教師可將全部錯(cuò)誤的豎式組成一道題，讓學(xué)生找出正確的豎式。當(dāng)學(xué)生選出答案之后，教師不要急于指出學(xué)生的錯(cuò)誤，而是讓他們驗(yàn)證該豎式正確與否。由于學(xué)生選擇的答案不同，在此期間還形成了相互指正、相互糾錯(cuò)的局面，這時(shí)教師運(yùn)用反例進(jìn)行講解，能夠使學(xué)生對(duì)退位減法有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)。

2.應(yīng)用反例消除思維定式

反例一般直觀鮮明，能有效消除思維定式。如教學(xué)簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，學(xué)生一般對(duì)“先進(jìn)行乘除運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算”存在誤解，且對(duì)于一些題目中的簡(jiǎn)便運(yùn)算十分敏感，一旦看到某些數(shù)字存在一定的聯(lián)系就會(huì)盲目地進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。這時(shí)，教師可列出1000÷25×40、1/4×4÷1/4×4兩道算式讓學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，大部分學(xué)生會(huì)運(yùn)用簡(jiǎn)便運(yùn)算的方法得出結(jié)論，然后教師讓學(xué)生對(duì)結(jié)論進(jìn)行交流并說出自己的理由。學(xué)生經(jīng)過探討后就會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算的順序錯(cuò)誤，教師再讓學(xué)生將第一題中的“×”改為“÷”，將第二題中的1/4×4全部用小括號(hào)括起來，這樣就會(huì)形成兩道可以進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的題目。在這個(gè)過程中，運(yùn)用反例進(jìn)行教學(xué)，就像一把利劍在手，能夠穿透數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，消除學(xué)生的思維定式。

3.應(yīng)用反例培養(yǎng)辯證思維能力

一般情況下，適時(shí)地將反例運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中去，能夠給學(xué)生的學(xué)習(xí)提供一些有價(jià)值的素材，從而引導(dǎo)學(xué)生用辯證的眼光去思考數(shù)學(xué)問題，使他們對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性有深刻的認(rèn)知和體會(huì)，并在不斷反駁和肯定的過程中，提高自己的辯證思維能力。如教學(xué)“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”時(shí)，教師先給出3、5、9、12、13五個(gè)數(shù)，讓學(xué)生找出除了1和其本身之外能被自己整除的數(shù)，這時(shí)學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)3、5、13三個(gè)數(shù)字找不到其他的約數(shù)。通過對(duì)問題進(jìn)行探究，學(xué)生就能夠總結(jié)出質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，正確判斷質(zhì)數(shù)與合數(shù)。

二、引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建反例的方法

許多教師已經(jīng)認(rèn)識(shí)到利用反例可以消除學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在的錯(cuò)誤，提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率，但僅僅由教師自己引入反例是遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到教學(xué)目標(biāo)的，教師還要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生舉出反例，體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主導(dǎo)作用。

1.根據(jù)定義中的關(guān)鍵詞構(gòu)建反例

如教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”一課時(shí)，為引導(dǎo)學(xué)生概括出小數(shù)的性質(zhì)，教師應(yīng)先問學(xué)生：“在理解小數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要注意其中的哪些關(guān)鍵詞？”這時(shí)學(xué)生就會(huì)回答“小數(shù)的末尾”，然后教師再引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例證明其重要性。反例（1）：在小數(shù)點(diǎn)后面添加或者去掉0，如7.3與7.03，其數(shù)值大小不相等。反例（2）：在小數(shù)部分中間的部位添加或者去掉0，如8.32和8.302，其數(shù)值大小不相等。反例（3）：2.6和20.6的數(shù)值大小不相等，說明整數(shù)部位的末尾也不能加上或者去掉0。通過以上三個(gè)反例，說明只有在小數(shù)部分末尾添加或去掉0，其數(shù)值才會(huì)不變。通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生自主構(gòu)建反例，這樣學(xué)生才會(huì)有深刻的印象，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。因此，教師在教學(xué)過程中要培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建反例的意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)真思考所學(xué)內(nèi)容及所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，從而打開學(xué)生的思維之門，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到最大限度地開發(fā)。

2.根據(jù)知識(shí)性質(zhì)構(gòu)建反例

在實(shí)際教學(xué)過程中，反例的構(gòu)建往往不是唯一的，這就要求學(xué)生要深刻認(rèn)識(shí)自己所學(xué)的內(nèi)容，能夠運(yùn)用自身積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和思維能力進(jìn)行批判性的思考。如教學(xué)“三角形的分類”一課時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形進(jìn)行觀察，并總結(jié)出所有三角形至少存在兩個(gè)銳角這一共同特征。教學(xué)到此還不能結(jié)束，教師還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更為深刻的探討，如“為何所有三角形內(nèi)必須至少存在兩個(gè)銳角”“是否能找出一個(gè)存在兩個(gè)鈍角或者是兩個(gè)直角的三角形”等問題。問題提出后，教師應(yīng)讓學(xué)生自己通過畫圖、動(dòng)手拼擺等方法進(jìn)行反例構(gòu)建，使學(xué)生深刻理解“一個(gè)三角形至少存在兩個(gè)銳角”的定義。這樣教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主進(jìn)行反例的構(gòu)建，既能讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)知識(shí)的本質(zhì)，又使學(xué)生的思維不斷得到訓(xùn)練。

總之，在數(shù)學(xué)課堂中，教師要適時(shí)引入反例進(jìn)行教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（責(zé)編 藍(lán) 天）