數(shù)量關(guān)系式是解決分?jǐn)?shù)實際問題的一把“鑰匙”

管景強(qiáng)

[摘 要]運用數(shù)量關(guān)系式，可以讓我們找到解決分?jǐn)?shù)實際問題的“鑰匙”。那么，怎樣才能準(zhǔn)確找到解決分?jǐn)?shù)實際問題的這把“鑰匙”呢？通過案例分析，發(fā)現(xiàn)對分率的理解與分析是關(guān)鍵。因此，課堂教學(xué)中，教師要教會學(xué)生準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系式的方法，提高學(xué)生解決分?jǐn)?shù)實際問題的能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)量關(guān)系式 分?jǐn)?shù)實際問題 解題能力

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）05-032

典型的分?jǐn)?shù)實際問題都隱含著基本的數(shù)量關(guān)系式，即“單位‘1的量×分率=分率所對應(yīng)的數(shù)量”，用好這個數(shù)量關(guān)系式，能夠讓我們找到解決分?jǐn)?shù)實際問題的“鑰匙”。那么，怎樣才能準(zhǔn)確找到解決分?jǐn)?shù)實際問題的這把“鑰匙”呢？其中，對分率的理解與分析是關(guān)鍵。

一、理解關(guān)系句中分?jǐn)?shù)的意義，準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系式

現(xiàn)行教材已淡化分率這一概念，可在分?jǐn)?shù)實際問題中，一般都含有用分?jǐn)?shù)表示兩個數(shù)量間倍比關(guān)系的句子（可稱為關(guān)系句），而句中的分?jǐn)?shù)也是分率。它表示的就是“單位‘1的量”“分率所對應(yīng)的數(shù)量”這兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系，即“分率所對應(yīng)的數(shù)量”是“單位‘1的量”的幾分之幾。我們從關(guān)系句中的分率入手，明確誰是誰的幾分之幾，就能輕松找出分?jǐn)?shù)實際問題中的基本數(shù)量關(guān)系式。

1.標(biāo)準(zhǔn)句式

關(guān)系句中可以明顯看出誰是誰的幾分之幾。如“黑兔只數(shù)是白兔的2 / 3”，從中可以看出這里的2 / 3是把白兔的只數(shù)看作單位“1”，指的是黑兔只數(shù)是白兔只數(shù)的2 / 3；反過來說，白兔只數(shù)的2 / 3就是黑兔的只數(shù)。因此，此題的數(shù)量關(guān)系式就可以列為“白兔×2 / 3=黑兔”。

2.省略句式

關(guān)系句中隱含或省略了一些關(guān)鍵詞語，這時就需要先補(bǔ)充完善關(guān)系句后再進(jìn)行分析。如“同學(xué)們?nèi)ブ矘洌谝惶熘擦? / 5”，這里可以讓學(xué)生先想想第一天植的是誰的2 / 5，待學(xué)生弄清“第一天植樹的棵數(shù)是植樹總棵數(shù)的2 / 5”后，自然就可以列出題中的數(shù)量關(guān)系式為“總棵數(shù)×2 / 5=第一天植的”。再如“用去一些后，還剩3 / 7”，這里可以讓學(xué)生先想想誰是誰的3 / 7，因為有“用去一些后”這幾個字的干擾，學(xué)生可能會出現(xiàn)兩種觀點：一是還剩的是原有的3 / 7；二是用去的是原有的3 / 7。接著，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比分析，得出正確的數(shù)量關(guān)系式為“原有的×3 / 7=還剩的”。另外，“一個數(shù)量比另一個數(shù)量多幾分之幾或少幾分之幾”的問題，也是學(xué)生最容易混淆和出錯的。如“紅花的朵數(shù)比黃花多3 / 5”，實際上這句話補(bǔ)充完整應(yīng)該是“紅花比黃花多的朵數(shù)是黃花朵數(shù)的3 / 5”，要讓學(xué)生理解這里的3 / 5是把黃花的朵數(shù)看作單位“1”，平均分成了5份，紅花比黃花多的朵數(shù)是這樣的3份（可以借助線段圖理解），數(shù)量關(guān)系式也就可以列為“黃花×3 / 5=紅花比黃花多的”。

不過，需要注意的是，分?jǐn)?shù)實際問題中有的分?jǐn)?shù)并不表示數(shù)量間的倍比關(guān)系，而是用分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量。

3.區(qū)別分?jǐn)?shù)表示的是分率還是具體數(shù)量

如有這樣一道題：“有兩根彩帶，第一根3米，第二根比第一根長1 / 4米，第二根長多少米？”有學(xué)生算出的結(jié)果是3米或3.75米，怎么得來的呢？實際上，學(xué)生是把這里的“長1 / 4米”當(dāng)作“長1 / 4”來計算了，這里的“1 / 4米”是指具體數(shù)量而不是分率。

區(qū)別分?jǐn)?shù)表示的是分率還是具體數(shù)量有一個簡單的辦法，就是看分?jǐn)?shù)后面有沒有單位名稱，沒有單位名稱的話就是分率，表示的是數(shù)量間的關(guān)系；有單位名稱的話，就表示具體數(shù)量。如果教學(xué)僅到此就止步，會發(fā)現(xiàn)學(xué)生遇到這樣的問題時還會犯類似的錯誤，因此我們應(yīng)該讓學(xué)生弄清“1 / 4”與“1 / 4米”之間的本質(zhì)不同。在教學(xué)中，我們可以經(jīng)常進(jìn)行這樣的練習(xí)：“兩根同樣長的鋼管，第一根用去2 / 5米，第二根用去2 / 5。哪一根用去的長一些？”（蘇教國標(biāo)版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第51頁的思考題）像這樣的問題，答案不是唯一的。通過討論，教師要讓學(xué)生清楚“用去2 / 5米”中的“2 / 5米”是把“1米”看作單位“1”，平均分成5份，表示其中的2份，化成小數(shù)可以是0.4米，用分米作單位是4分米，用厘米作單位就是40厘米，這是一個具體的、確定的、實實在在的長度，所以是個具體的數(shù)量。而“用去2 / 5”中的“2 / 5”是把一根鋼管看作單位“1”，“2 / 5”是針對這根鋼管而言的，表示的是用去的長度與這根鋼管長度這兩個數(shù)量間的倍比關(guān)系，因為鋼管的長度是未知的，所以這根鋼管的2 / 5也是未知的，從而得到三種不同的結(jié)果：當(dāng)這根鋼管的長度大于1米時，用去的長度就大于1米的2 / 5，即大于2 / 5米；當(dāng)這根鋼管的長度等于1米時，用去的長度就等于1米的2 / 5，即等于2 / 5米；當(dāng)這根鋼管的長度小于1米時，用去的長度就小于1米的2 / 5，即小于2 / 5米。學(xué)生產(chǎn)生這種不確定性的原因是不理解“2 / 5米”與“2/ 5”之間的差異，當(dāng)學(xué)生有了深刻的認(rèn)識后自然會認(rèn)識到單位名稱的重要性，進(jìn)而從本質(zhì)上理解了分?jǐn)?shù)后面帶不帶單位名稱的區(qū)別，正確分析出問題中數(shù)量間的關(guān)系。

4.找出隱含的數(shù)量關(guān)系式

從關(guān)系句中的分率入手，明確誰是誰的幾分之幾，可以找出分?jǐn)?shù)實際問題的基本數(shù)量關(guān)系式。實際上，結(jié)合關(guān)系句中的已知信息，通過數(shù)學(xué)聯(lián)想，還可以找出題中隱含的信息，從而找出隱含的數(shù)量關(guān)系式。如看到“一根繩子，用去1 / 3”時，可以想到“這根繩子還剩1-1 / 3”，就能得到數(shù)量關(guān)系式“一根繩子×（1-1 / 3）=還剩的”；看到“公雞的只數(shù)占雞總數(shù)的2 / 5”時，可以想到“母雞只數(shù)占雞總數(shù)的1-2 / 5”，從而得到數(shù)量關(guān)系式“雞總數(shù)×（1-2 / 5）=母雞只數(shù)”；看到“現(xiàn)價比原價便宜1 / 3”，可以想到“現(xiàn)價應(yīng)該是原價的1-1 / 3”，得到數(shù)量關(guān)系式“原價×（1-1 / 3）=現(xiàn)價”；看到“一堆煤，第一天用去1 / 7，第二天用去2 / 5”，可以想到“還剩的”是這堆煤的1-1 / 7-2 / 5，可以得到數(shù)量關(guān)系式“一堆煤×（1-1 / 7-2 / 5）=還剩的”……學(xué)生分析關(guān)系句時往往通過關(guān)鍵詞，如“用去”“便宜”“還?！钡龋M(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)想找出題中隱含的數(shù)量關(guān)系式。這里，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生，如果感到解決問題有困難，可以通過畫線段圖的方法，尋找數(shù)量與分率間的對應(yīng)關(guān)系來確定題中的數(shù)量關(guān)系式。如上面例中看到“一根繩子，用去1 / 3”“現(xiàn)價比原價便宜1 / 3”等，就可以通過畫線段圖來找出分率與數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系。如下圖：

從圖中可以明顯看出，“用去的長度”對應(yīng)的分率是1 / 3，“還剩的長度”對應(yīng)的分率是1-1 / 3，從而得到隱含的數(shù)量關(guān)系式為“一根繩子×（1-1 / 3）=還剩的”；“現(xiàn)價比原價便宜的”對應(yīng)的分率是1 / 3，“現(xiàn)價”對應(yīng)的分率是1-1 / 3，從而得到隱含的數(shù)量關(guān)系式為“原價×（1-1 / 3）=現(xiàn)價”。

二、運用數(shù)量關(guān)系式，解決分?jǐn)?shù)實際問題

例1.世界上最小的洲是大洋洲，面積大約900萬平方千米。（1）歐洲的面積是大洋洲的10 / 9，是北美洲的5 / 12。（2）北美洲的面積是亞洲的6 / 11，是南極洲的12 / 7。（3）南美洲的面積是北美洲的3 / 4，是非洲的3 / 5。分別算出各個洲的面積。（蘇教國標(biāo)版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第65頁第12題）

本題是“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”與“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”這兩種分?jǐn)?shù)實際問題的混合運用，題目中條件多，數(shù)量間的關(guān)系復(fù)雜，到底是用分?jǐn)?shù)乘法計算，還是用分?jǐn)?shù)除法或方程計算，學(xué)生往往分辨不清。這時，理清各數(shù)量間的關(guān)系，通過列出數(shù)量關(guān)系式來分析問題就能取得很好的效果。為了節(jié)省時間，提高教學(xué)效率，列數(shù)量關(guān)系式時，教師可以要求學(xué)生簡寫數(shù)量關(guān)系式，已知量可以標(biāo)出在關(guān)系式下方，未知量可以用“？”表示。如下：

（1）歐洲的面積是大洋洲的10 / 9，是北美洲的5 / 12。

大洋洲×10 / 9=歐洲 北美洲×5 / 12=歐洲

900 ？ ？ 1000

（歐洲：900×10 / 9=1000） （北美洲：1000÷5 / 12=2400，或列方程解）

（2）北美洲的面積是亞洲的6 / 11，是南極洲的12 / 7。

亞洲×6 / 11=北美洲 南極洲×12 / 7=北美洲

？ 2400 ？ 2400

（亞洲：2400÷6 / 11=4400，或列方程解） （南極洲：2400÷12 / 7=1400，或列方程解）

（3）南美洲的面積是北美洲的3 / 4，是非洲的3 / 5。

北美洲×3 / 4=南美洲 非洲×3 / 5=南美洲

2400 ？ ？ 1800

（南美洲：2400×3 / 4=1800） （非洲：1800÷3/ 5=3000，或列方程解）

對列出的數(shù)量關(guān)系式進(jìn)行分析后，可使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系明朗化，解決問題的思路和方法也就明確了。

例2.光明畜牧場養(yǎng)了900頭肉牛。（1）肉牛比奶牛少1 / 5，奶牛有多少頭？（2）奶牛比肉牛多1 / 4，奶牛有多少頭？

本題是稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)實際問題，通過關(guān)系句，我們可以列出基本數(shù)量關(guān)系式來分析。如下：

（1）奶?！? / 5=肉牛比奶牛少的 （2）肉?！? / 4=奶牛比肉牛多的

對于第（2）題，很明顯可以先求出奶牛比肉牛多的頭數(shù)，再加上900就可以求出奶牛的頭數(shù)。而對于第（1）題，列出的數(shù)量關(guān)系式中奶牛頭數(shù)與肉牛比奶牛少的頭數(shù)都是未知的，這樣就沒法算出奶牛的頭數(shù)。這時，通過關(guān)系句“肉牛比奶牛少1 / 5”還能想到：把奶牛的頭數(shù)看作單位“1”，肉牛比奶牛少的頭數(shù)是奶牛頭數(shù)的1 / 5，那么肉牛頭數(shù)就應(yīng)該是奶牛頭數(shù)的1-1 / 5，可以找出隱含的數(shù)量關(guān)系式“奶?！粒?-1 / 5）=肉?！?。同理，第（2）題也能找出類似形式的隱含數(shù)量關(guān)系式（如下）。

（1）奶?！粒?-1 / 5）=肉牛 （2）肉?！粒?+1 / 4）=奶牛

從中可以發(fā)現(xiàn)，通過上面的數(shù)量關(guān)系式可以很容易算出所求的問題。

例3.商店運來一批水果，第一天賣出9 / 20，第二天賣出105千克，還剩全部水果的3 / 8，這批水果共有多少千克？

通過關(guān)系句，可以列出如下的基本數(shù)量關(guān)系式。

一批水果×9 / 20=第一天賣的 一批水果×3 / 8=還剩的

本題運用上面的基本數(shù)量關(guān)系式解決不了所求問題，那么可以找隱含的數(shù)量關(guān)系式來分析解決問題。先畫出線段圖，如下。

一批水果×（1-9 / 20-3 / 8）=第二天賣的

從圖中可以看出，“第二天賣出的105千克蘋果”對應(yīng)的分率應(yīng)該是這批水果的（1-9 / 20-3 / 8），可以通過數(shù)量關(guān)系式來解決本問題，列式為105÷（1-9 / 20-3 / 8），或用方程解。

如上述例子所示，當(dāng)通過基本數(shù)量關(guān)系式不能解決問題時，我們可以尋找隱含的信息，從中找出隱含的數(shù)量關(guān)系式，通過分析隱含的數(shù)量關(guān)系式，方便我們解決一些稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)實際問題。當(dāng)然，解決分?jǐn)?shù)實際問題的方法和途徑還有很多，通過列數(shù)量關(guān)系式來解決只是其中最基本的一種方法，運用好數(shù)量關(guān)系式這把“鑰匙”，對學(xué)生解決分?jǐn)?shù)實際問題能力的提高會有顯著的效果。我們在實際運用時，不必強(qiáng)求學(xué)生都要書面列出數(shù)量關(guān)系式，熟練者能在腦中浮現(xiàn)這樣的分析過程即可。

（責(zé)編 杜 華）