在經(jīng)驗(yàn)貫通中感受數(shù)學(xué)的理性力量

嵇憲長(zhǎng)

[摘 要]發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要。在數(shù)學(xué)課堂中，要努力讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)者，并以此作為推進(jìn)課堂進(jìn)程和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。為了達(dá)成這一目標(biāo)，教師要善于依托新知引入、新知形成、新知深化等學(xué)生的“認(rèn)知節(jié)點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。通過(guò)教師引領(lǐng)、同伴互動(dòng)、自我提問(wèn)等角度，讓學(xué)生領(lǐng)悟發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的一些方法，不斷增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本領(lǐng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)問(wèn)題 發(fā)現(xiàn) 認(rèn)知節(jié)點(diǎn) 提問(wèn)方法

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）05-015

【課堂實(shí)踐】

一、激疑引新，喚醒經(jīng)驗(yàn)

1.口算搶答——引出“準(zhǔn)”

師：通過(guò)四年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)掌握了加、減、乘、除這四種運(yùn)算的基本方法。今天這節(jié)課，首先進(jìn)行一個(gè)關(guān)于加法的小測(cè)試，看誰(shuí)的反應(yīng)快。（大屏幕依次出現(xiàn)6、7、2、3、4、8，生按順序相加得到總和30）

師：恭喜！你們已經(jīng)達(dá)到計(jì)算水平的第一層次——準(zhǔn)。（板書(shū)）

2.全面觀察——引出“巧”

師：當(dāng)這六個(gè)數(shù)一起展現(xiàn)在你的面前，讓你求和時(shí)，除了按照剛才從左到右的順序依次相加外，現(xiàn)在又有什么新的想法？

生1：可以采用兩兩結(jié)合的方法求和，因?yàn)槊拷M兩個(gè)數(shù)剛好湊十。

（呈現(xiàn)方法：6+7+2+3+4+8=（6+4）+（7+3）+（2+8）=30）

師：佩服！你們的計(jì)算水平已經(jīng)上升到——巧。（板書(shū)：巧）這種方法與按順序加相比，巧在何處？

生2：巧在把能“湊十”的兩個(gè)數(shù)先加。（板書(shū)：湊十）

師：請(qǐng)仔細(xì)觀察，為了湊十，我們對(duì)原來(lái)的算式做了哪些“手術(shù)”？

生3：把一些數(shù)的位置改變了，進(jìn)行了調(diào)換。

生4：沒(méi)有按照從左到右的順序計(jì)算，而是把湊十的兩個(gè)數(shù)先算。

（適時(shí)提煉板書(shū)：“交換加數(shù)位置”“改變運(yùn)算順序”）

3.無(wú)疑生疑——促探索

師：對(duì)于你們大膽地給這道連加算式實(shí)施的這兩個(gè)“手術(shù)”，老師產(chǎn)生了疑問(wèn)。你們知道老師產(chǎn)生了什么疑問(wèn)嗎？

（生討論、猜想、提問(wèn)）

二、舉例說(shuō)理，提煉經(jīng)驗(yàn)

1.教學(xué)加法交換律

師：請(qǐng)注意，老師產(chǎn)生的疑問(wèn)是“交換加數(shù)的位置，和會(huì)發(fā)生變化嗎？”（在“交換加數(shù)位置”上打上一個(gè)“？”）

生1：不會(huì)。比如4+3和3+4，都等于7，它們的和是一樣的。（板書(shū)：4+3=3+4）

師：你不僅回答了問(wèn)題，而且舉了一個(gè)簡(jiǎn)單的例子證明自己的想法，值得表?yè)P(yáng)。（板書(shū)：舉例）不過(guò)一個(gè)例子能證明一個(gè)結(jié)論是正確的嗎？

生2：不能。必須舉很多的例子。

師：你們還有其他不同類(lèi)型的例子嗎？

生3：有。比如20+60=60+20。（板書(shū)）

師：為什么說(shuō)這是不同類(lèi)型的例子呢？

生3：剛才是一位數(shù)加法，我這是兩位數(shù)加法。

師：說(shuō)得很有道理。還有其他不同類(lèi)型的例子嗎？

生4：220+340=340+220。

師：你是算了兩邊的得數(shù)以后才知道相等，還是一開(kāi)始就知道相等？

生4：我沒(méi)有算。因?yàn)樯底佣贾老嗟取?/p>

師：“傻子都知道”是什么意思？

生5：他的意思是這樣的兩個(gè)式子一定是相等的，不用算就知道。

生6：我們以前在考試中就經(jīng)常有這樣的兩個(gè)式子讓我們選擇“﹥”“﹤”“=”填空，我們每次選擇“=”都是正確的。

師：也就是說(shuō)這樣的兩個(gè)式子相等，不是偶然的，而是必然的！既然如此，這當(dāng)中就一定蘊(yùn)含著某種道理。你能從道理上講一講嗎？（板書(shū)：說(shuō)理）

生6：因?yàn)樵诹惺綍r(shí)不管你先寫(xiě)哪個(gè)數(shù)，后寫(xiě)哪個(gè)數(shù)，最后都是把這兩個(gè)數(shù)加起來(lái)，所以一定是相等的。

生7：把兩個(gè)部分合起來(lái)是不分先后順序的。

師：剛才我們先用 “舉例”證實(shí)了“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”。又用“說(shuō)理”證明了“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”。那么你喜歡用什么方法來(lái)表示這個(gè)規(guī)律呢？（生試寫(xiě)、匯報(bào)）

生8：□+○=○+□。

生9：甲+乙=乙+甲。

生10：藍(lán)色+紅色=紅色+藍(lán)色。

生11：a+b=b+a。

師：剛才這么多方法，都比較形象、準(zhǔn)確地表示了這條規(guī)律，那么你認(rèn)為哪種表示方法最適合數(shù)學(xué)呢？為什么？

生12：我認(rèn)為字母最適合，因?yàn)橛米帜副容^簡(jiǎn)單。

生13：我看過(guò)書(shū)了，書(shū)上就是用字母表示的。（板書(shū)：a+b=b+a）

師：想一想美國(guó)的數(shù)學(xué)書(shū)上會(huì)怎么表示？其他國(guó)家的數(shù)學(xué)書(shū)上會(huì)怎么表示？

生14：美國(guó)的數(shù)學(xué)書(shū)上肯定用字母表示，因?yàn)樗麄兙驼f(shuō)英語(yǔ)。其他國(guó)家的數(shù)學(xué)書(shū)上也應(yīng)該用字母表示吧。

師：說(shuō)得對(duì)。這是全世界數(shù)學(xué)界的統(tǒng)一規(guī)定。之所以選擇用字母表示，最主要的原因當(dāng)然是因?yàn)樗?jiǎn)單方便，但你們有沒(méi)有想過(guò)或許有其他的原因呢？

生15：我想可能是因?yàn)槊绹?guó)的科學(xué)領(lǐng)先，經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)，所以英語(yǔ)是世界上最通用的語(yǔ)言。不過(guò)隨著我們中國(guó)越來(lái)越強(qiáng)大，學(xué)漢語(yǔ)的人也會(huì)越來(lái)越多。

師：是的，現(xiàn)在世界上確實(shí)掀起了一股“漢語(yǔ)熱”。試著給這條規(guī)律起個(gè)名字吧？

生16：加法交換律。（板書(shū)）

2.教學(xué)加法結(jié)合律

師：剛才我們討論了兩個(gè)手術(shù)中的第一個(gè)手術(shù)“交換加數(shù)位置”，接下來(lái)我們討論第二個(gè)手術(shù)“改變運(yùn)算順序”。你們能像剛才老師那樣針對(duì)它提出一個(gè)問(wèn)題嗎？

生17：在加法中，改變運(yùn)算順序，會(huì)不會(huì)改變結(jié)果呢？

生18：不會(huì)。比如（3+4）+5=3+（4+5）。

師：請(qǐng)大家注意觀察，生18舉的這個(gè)例子中，等式兩邊什么沒(méi)有變化？什么發(fā)生了變化？

生19：三個(gè)數(shù)的位置沒(méi)有變化，結(jié)果沒(méi)有變化。

生20：兩邊計(jì)算的順序不同。

生21：兩邊結(jié)合的方式不一樣。

師：我想請(qǐng)問(wèn)剛才那個(gè)同學(xué)，你在舉這個(gè)例子時(shí)，是先計(jì)算然后知道相等，還是一開(kāi)始就知道相等？

生18：不用計(jì)算。因?yàn)椴还苣悴捎檬裁错樞蚝喜?，最后都是把這三個(gè)部分合在一起，所以改變運(yùn)算順序，和不變。

師：你的意思是不用舉例了，這也是一條規(guī)律。大家同意嗎？這條規(guī)律叫什么名稱(chēng)？在數(shù)學(xué)中怎樣表示呢？試著自己寫(xiě)一寫(xiě)、議一議。

（生試寫(xiě)、交流，板書(shū)揭示“加法結(jié)合律”）

師：這就是加法運(yùn)算中存在的兩條重要規(guī)律，我們把它們統(tǒng)稱(chēng)為“加法運(yùn)算律”（板書(shū)）。這兩條運(yùn)算律的關(guān)鍵詞分別是什么？你是如何理解的？

生19：加法交換律的關(guān)鍵詞是“交換”，意思是在加法中可以交換加數(shù)的位置；加法結(jié)合律的關(guān)鍵詞是“結(jié)合”，意思是可以改變?cè)瓉?lái)的運(yùn)算順序，進(jìn)行重新結(jié)合。

三、回顧既往，貫通經(jīng)驗(yàn)

師：其實(shí)，這兩條規(guī)律早就陪伴著我們了，只是在今天這個(gè)合適的時(shí)機(jī)把它們提煉出來(lái)罷了。瞧，這是我們一年級(jí)時(shí)候經(jīng)常練習(xí)的“一圖兩式”，同學(xué)們想想看，這里面就有誰(shuí)的影子？

生1：加法交換律。

師：后來(lái)，在計(jì)算比較復(fù)雜的加法時(shí)，為了保證結(jié)果的準(zhǔn)確，我們也經(jīng)常像這樣用交換兩個(gè)加數(shù)位置的方法進(jìn)行驗(yàn)算?，F(xiàn)在看來(lái)，這是哪一條規(guī)律的應(yīng)用？

生2：加法交換律。

師：用湊十法幫助我們計(jì)算20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法，需經(jīng)歷這樣的思考過(guò)程。這當(dāng)中有誰(shuí)的影子？

生3：加法結(jié)合律。

師：解決這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以用兩種不同的思路，最后得到的結(jié)果一樣。這其實(shí)是對(duì)哪種規(guī)律的有力證明？

生4：加法結(jié)合律。

師：如此看來(lái)，今天所學(xué)的新知識(shí)還算是新知識(shí)嗎？

生5：不是！其實(shí)我們?cè)缇椭懒恕?/p>

師：是的。這正是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的特點(diǎn)“舊中有新，新中有舊”。但不要忘了一個(gè)前提條件，那就是要想學(xué)好新知識(shí)，先要——

生6：學(xué)好舊知識(shí)。

四、練習(xí)延伸，提升經(jīng)驗(yàn)

1.讓學(xué)生練習(xí)書(shū)上“想想做做”第1題和第2題（過(guò)程略）

2.介紹“高斯求和問(wèn)題”

師：在人類(lèi)的數(shù)學(xué)發(fā)展史上，曾經(jīng)有一位偉大的數(shù)學(xué)家把加法的交換律和結(jié)合律用到了極致，同學(xué)們想了解嗎？（依次出示高斯問(wèn)題的背景和思維過(guò)程）請(qǐng)同學(xué)們比較一下，為了實(shí)現(xiàn)“巧算”，我們運(yùn)用加法運(yùn)算律是為了“湊整”，而高斯是為了什么？

生1：是為了把每一組的和都變成101，這樣就有50個(gè)101，就是5050。

師：簡(jiǎn)單地說(shuō)，高斯是為了“湊同”。這樣就可以把一道復(fù)雜的加法變成乘法，簡(jiǎn)稱(chēng)為“變加為乘”。你覺(jué)得這樣的思維方式怎么樣？

生2：真是太絕妙了！

五、課堂總結(jié)，積淀經(jīng)驗(yàn)（略）

【教后反思】

一、經(jīng)驗(yàn)貫通，彰顯課堂的邏輯力量

好的數(shù)學(xué)課堂是自然流淌的，應(yīng)該有一股內(nèi)在的、強(qiáng)大的邏輯力量在推動(dòng)著課堂朝著預(yù)定的目標(biāo)不斷前行。

鑒于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中已經(jīng)儲(chǔ)存了關(guān)于新知的豐厚經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課以經(jīng)驗(yàn)的激活、提煉、拓展和積淀貫通全課。課伊始，用六個(gè)數(shù)激活學(xué)生既有的加法經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)“依次相加”和“結(jié)合湊十相加”兩種不同的方法對(duì)比，指明學(xué)生提高計(jì)算水平的方向——由“準(zhǔn)”到“巧”。這六個(gè)數(shù)，雖然簡(jiǎn)單，卻是一個(gè)結(jié)構(gòu)性的學(xué)習(xí)材料（所謂結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)材料是指教師把所要學(xué)的知識(shí)隱蔽地鑲嵌到學(xué)習(xí)材料中，便于學(xué)生通過(guò)主動(dòng)探索重新“發(fā)現(xiàn)”、“創(chuàng)造”相應(yīng)的知識(shí)）。利用這一簡(jiǎn)明的結(jié)構(gòu)性材料，順利引出本節(jié)課的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題——“交換加數(shù)位置”和“改變運(yùn)算順序”，給接下來(lái)的探討、交流和對(duì)話(huà)提供話(huà)題。

圍繞“交換加數(shù)位置”進(jìn)行交流，是學(xué)生既有加法經(jīng)驗(yàn)的自然輸出，最后通過(guò)歸納總結(jié)，抽象表達(dá)出規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程，培養(yǎng)了符號(hào)意識(shí)，提升了經(jīng)驗(yàn)水平。探討“改變運(yùn)算順序”，則是剛剛獲得的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和建模經(jīng)驗(yàn)的主動(dòng)遷移和再次強(qiáng)化，它為今后探索其他運(yùn)算律打下伏筆。

“對(duì)以往學(xué)習(xí)歷程的回顧”，既直接檢驗(yàn)了學(xué)生對(duì)加法運(yùn)算律的記憶、辨認(rèn)和理解，又有效地溝通了新舊知識(shí)的聯(lián)系，使學(xué)生清晰地感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)“舊中帶新、新舊聯(lián)系”的發(fā)展特點(diǎn)。

整節(jié)課，遵循“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是學(xué)生既有經(jīng)驗(yàn)的改造”，以嚴(yán)整、精煉的課堂結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的內(nèi)在邏輯力量推進(jìn)課堂，力求達(dá)到“教學(xué)思路”“學(xué)習(xí)思路”和“知識(shí)發(fā)展之路”的“三路”統(tǒng)一，使課堂呈現(xiàn)出自然、合理的生長(zhǎng)質(zhì)態(tài)，引領(lǐng)學(xué)生順利建構(gòu)新知。

二、舉例說(shuō)理，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性特征

本節(jié)課，我采用了雙線(xiàn)推進(jìn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生確認(rèn)加法運(yùn)算律的事實(shí)存在。

一條線(xiàn)索是舉例證實(shí)。在利用準(zhǔn)備題讓學(xué)生初步感知“交換加數(shù)位置，和不變”的現(xiàn)象后，嘗試讓學(xué)生列舉出更多的有這類(lèi)現(xiàn)象的等式，進(jìn)行更多的驗(yàn)證，從而體驗(yàn)現(xiàn)象的普遍性。當(dāng)然，這并不是為了舉例而舉例，舉的例子越多就越好，而是要通過(guò)教師引導(dǎo)使學(xué)生感受到要舉出與眾不同的例子，要舉出特殊的例子才能更充分地說(shuō)明問(wèn)題。

另一條線(xiàn)索是說(shuō)理證明?！凹热徊皇桥既?，而是必然，就說(shuō)明其中一定蘊(yùn)藏著某種道理。你能試著講一講嗎？”由于這個(gè)問(wèn)題帶有邏輯推理的意味和性質(zhì)，學(xué)生對(duì)此明顯不太適應(yīng)，課堂上頓時(shí)安靜下來(lái)。在接下來(lái)的討論交流中，學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到“無(wú)論你先寫(xiě)哪個(gè)數(shù)，再寫(xiě)哪個(gè)數(shù)，結(jié)果都是把這兩部分合起來(lái)，所以和不變?！边@種說(shuō)理方法讓大家茅塞頓開(kāi)。等到了加法結(jié)合律的學(xué)習(xí)，有很多學(xué)生已經(jīng)不太愿意“舉例證實(shí)”了，他們紛紛主動(dòng)地選擇“說(shuō)理證明”的方法——“不管你采用什么順序結(jié)合，最后都是把這三個(gè)部分合到一起，所以和不變。”這無(wú)疑提高了教學(xué)效率，提升了學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平。

三、相機(jī)滲透，感悟生活的教育意蘊(yùn)

課堂即生活，生活即教育，數(shù)學(xué)課堂也不例外。其實(shí)，一個(gè)民主、尊重、開(kāi)放的數(shù)學(xué)課堂，一個(gè)學(xué)生感到“心理安全、自由”的數(shù)學(xué)課堂，一個(gè)教師始終對(duì)學(xué)生真誠(chéng)關(guān)注、由衷欣賞、恰當(dāng)指導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂，一個(gè)學(xué)生能積極主動(dòng)展現(xiàn)真性情、表白真想法的數(shù)學(xué)課堂，本身就是一幅溫馨的生活畫(huà)卷，充滿(mǎn)濃濃的教育意蘊(yùn)。

本節(jié)課，我從“生態(tài)課堂”的角度，尋找了兩個(gè)滲透點(diǎn)。第一個(gè)點(diǎn)是關(guān)于字母表述規(guī)律的討論?！癮+b=b+a，為什么用字母表示最適合數(shù)學(xué)？”“國(guó)外的數(shù)學(xué)書(shū)上也是這樣表示的嗎？”“除了簡(jiǎn)單方便之外，有沒(méi)有其他的原因呢？”透過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的追尋，除了促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的符號(hào)意蘊(yùn)外，有沒(méi)有可能開(kāi)拓了部分學(xué)生的國(guó)際視野？有沒(méi)有可能激起部分學(xué)生的民族自豪感？這些誰(shuí)也說(shuō)不準(zhǔn)，因?yàn)榻虒W(xué)本身就是確定性和可能性的結(jié)合。第二個(gè)點(diǎn)是關(guān)于“高斯求和”問(wèn)題的討論。課堂上，讓學(xué)生穿越時(shí)空想象當(dāng)時(shí)小高斯和其他同學(xué)面臨“1+2+3+…+98+99+100”這一復(fù)雜問(wèn)題情境時(shí)的不同表現(xiàn)，此種對(duì)比，更加凸顯了靜心思考的獨(dú)特魅力、敢于超越的精神力量和高超完美的人類(lèi)智慧。這是一種人文精神，也是一種科學(xué)精神，這種精神正是推動(dòng)數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力之一。

（責(zé)編 金 鈴）