引導學生由“程序化水平”邁向“結構化水平”

嵇憲長

[摘 要]“程序化水平”是指學生按順序熟練地處理數學問題的能力，“結構化水平”是指學生按原理靈活地處理數學問題的能力。以“三位數除以一位數”教學內容為例分析了引導學生由“程序化水平”升華為“結構化水平”的基本路徑。

[關鍵詞]程序化水平 結構化水平 算理 算法

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）05-013

先對題目中的兩個詞做一個解釋：“程序化水平”和“結構化水平”，這兩個看上去非常專業(yè)的名詞，是基于我自己在教學實踐中產生的真切感受，并結合個人對相關詞語的理解而自行杜撰出來的，旨在用它們來描述和區(qū)分學生對于相關知識的理解已經達到的不同的水平層次。

“程序化水平”是指學生能夠運用概念和規(guī)則，按照正常的操作步驟正確處理問題的能力；“結構化水平”是指學生能夠憑借概念和規(guī)則，在打亂正常操作順序的情況下，依然能夠正確而靈活地處理問題的能力。很明顯，“結構化水平”高出“程序化水平”一個層次。

舉個例子幫助理解。如“三位數除以一位數”的計算，達到“程序化水平”的標志是學生能夠按照計算法則所設定的步驟實施相關的操作，并且表現出相對流暢熟練的狀態(tài)；達到“結構化水平”的標志是學生能夠適時地擺脫計算法則既定的操作順序的束縛，而進入相對自如而靈活的境界。更直觀和直接地說，“程序化水平”的學生只能計算圖1的題，而結構化水平的學生則不僅能計算圖1的題，而且能探索圖2的題。

也許有人認為，可能是學生熟練程度還不夠吧。可是，在經過長達一個月的“除法”單元學習和訓練后，幾乎所有的學生都能達到熟練的程序化水平，但是能自然達到“結構化水平”的學生依然是十之二、三。這是為什么呢？原因就是達到“程序化水平”和“結構化水平”的基礎和路徑不是完全一致，有些情況下還可能背道而馳。

具體來說，學生完全可能在不理解除法算理的前提下，僅是依靠多次模仿和強行記憶來實施相應的算法操作，從而達成“程序化水平”。而“結構化水平”恰是建立在理解算理，明晰每一步計算中被除數、除數、商、積、余數之間關系的基礎上。只有這樣的學生才能通過適當的練習首先達到“程序化水平”，再伴隨著算法熟練程度的提高，升華為“結構化水平”。相反，如果一個學生屬于前一種情況，多加練習只會使他（她）每一步的操作更加游離于有意識思維的監(jiān)控之外，從而演變成一種純粹機械的下意識活動。要想他（她）能夠從“程序化水平”上升至“結構化水平”，就必須回頭補上“算理”這一課。只有在算理和算法的“雙輪驅動”下，才能幫助學生實現既定的目標。

如此分析，促進學生結構化水平達成的方法也就慢慢浮現——

一是要加強算理教學。

算理教學最好是在對比中進行，以題組的形式出現。

例如：（1）在口算300÷3時，可以把它看成是（ ）個（ ）除以3，商是（ ）個（ ），就是（ ）。

（2）在口算300÷5時，可以把它看成是（ ）個（ ）除以5，商是（ ）個（ ），就是（ ）。

再如：（1）在口算84÷7時，應該先算（ ）÷（ ）=（ ），再算（ ）÷（ ）=（ ），最后算（ ）+（ ）=（ ）。

（2）在口算84÷6時，應該先算（ ）÷（ ）=（ ），再算（ ）÷（ ）=（ ），最后算（ ）+（ ）=（ ）。

（3）在口算84÷4時，應該先算（ ）÷（ ）=（ ），再算（ ）÷（ ）=（ ），最后算（ ）+（ ）=（ ）。

這樣的題組既可以讓學生理解算理，又可以培養(yǎng)學生思維的靈活性。

二是要培養(yǎng)整體觀念。

在學生掌握基本的算法程序后，要能及時地讓學生從具體的計算題的背景中跳出來，觀察、欣賞豎式計算的整體樣貌。如，可以出現豎式除法的標準框架（如圖3），并提出一些問題：（1）這道除法可分成幾步？（2）每步的上面一個數與下面一個數分別是怎么來的？表示什么意思？幫助學生建立對于除法的整體觀念，促進學生理解算理，掌握算法。

在學完這個單元后，還可以要求學生按照三位數除以一位數的不同情況，畫出不同的豎式框架，幫助學生區(qū)分各種情況的不同之處，尋找各種情況的內在聯系，整體構建關于這一類除法的認知結構。（圖略）

三是要經常雙向思維。

要讓學生在順向思維的基礎上，有較多的機會開展逆向思維，讓學生的思維在雙向操作中自由穿梭。

如，可設計這樣的習題讓學生展開思考：請根據有余數除法的橫式記錄情況，（ ）÷6=54……2，填寫類似于圖3的除法豎式框架圖。（圖略）

這樣的練習無疑能指引學生更好地把握除法豎式中數與數之間的相互關聯，逐步擺脫除法法則規(guī)定的運算順序的束縛，朝著更加靈活機動的方向邁進。

（責編 金 鈴）