例說積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

羅 瓊

(江西財(cái)經(jīng)職業(yè)學(xué)院，江西九江 332000)

?

例說積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

羅 瓊

(江西財(cái)經(jīng)職業(yè)學(xué)院，江西九江 332000)

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件的不斷開發(fā)，數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)分析方法在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)建設(shè)中的作用愈發(fā)突出。積分特別是定積分作為一種量化分析工具在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，可以求經(jīng)濟(jì)總量及其平均值或變動值、求解最大最小值、算資本現(xiàn)值和資本存量、計(jì)算消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余等等。

積分；經(jīng)濟(jì)學(xué)；資本現(xiàn)值；消費(fèi)者剩余；生產(chǎn)者剩余

在如今的知識經(jīng)濟(jì)時(shí)代，計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件不斷被開發(fā)出來，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用已經(jīng)深入到社會的各個領(lǐng)域。高等數(shù)學(xué)中的積分作為一種量化分析的工具在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用就十分廣泛，涉及內(nèi)容很多，如求經(jīng)濟(jì)總量及其平均值或變動值、求解經(jīng)濟(jì)函數(shù)最大或最小值、算資本現(xiàn)值和資本存量、計(jì)算消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余等等。以下分別舉例說明。

1 求經(jīng)濟(jì)總量及其平均值或變動值

變化率(即邊際)和彈性是經(jīng)濟(jì)分析中常用的概念。已知某一經(jīng)濟(jì)量(如需求、成本、收入或利潤)的變化率(即邊際)或彈性函數(shù)，則可以用不定積分或一個變上限的定積分來求出原經(jīng)濟(jì)總量及其平均值，如果要求它在某個范圍內(nèi)的改變量，就直接用定積分解決。

例1 設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)C'(q)=60-2q(萬元/年)，固定成本C(0)=100(萬元)，求總成本函數(shù)和平均成本函數(shù)。

解1 總成本函數(shù)C(q)是邊際成本函數(shù)的原函數(shù)，因此

C(q)=∫C'(q)dq=∫(60-2q)dq=60q-q2+c,又C(0)=100，得c=100，所以，

例2 某汽車的需求價(jià)格彈性為-2，其售價(jià)為10萬元/輛時(shí)，需求量為 2萬輛，求此汽車的需求函數(shù)。

例3 設(shè)某產(chǎn)品總收益的變化率R'(q)=50-q(元/件)，求從10件增加到20件時(shí)，總收益及平均收益的變化量。

即從10件增加到20件時(shí)，總收益增加350元，平均收益增加35元/件。

2 求解經(jīng)濟(jì)函數(shù)最大最小值

眾所周知，企業(yè)經(jīng)營永遠(yuǎn)力求在現(xiàn)有條件下成本最低或利潤最大。所以，經(jīng)濟(jì)分析中常遇決策優(yōu)化問題。若已知某經(jīng)濟(jì)量的邊際，可用積分求出原經(jīng)濟(jì)函數(shù)，再利用極值原理求其最值。

例4 某產(chǎn)品產(chǎn)量為x臺時(shí)，邊際成本為MC=2x-10。若固定成本100萬元，售價(jià)50萬元/臺，假定產(chǎn)銷平衡，求最小平均成本和最大利潤。

由L'(x)=40-2x=0，得唯一駐點(diǎn)x=20，且L"(20)=-2<0，所以，當(dāng)產(chǎn)量為20臺時(shí)利潤最大，最大利潤為L(20)=300萬元。

3 算資本現(xiàn)值和投資

例5 某電器行推出一項(xiàng)分期付款的助銷活動：某型號空調(diào)一次性付款要6999元,分期付款，則每月付850元，10個月付清。若現(xiàn)金的月利率為3%，試問哪種付款方式合算？

例6 某投資項(xiàng)目投資成本1萬元，每年均勻收入2000元,投資年利率5%，且連續(xù)計(jì)息。試求：1)該投資的回收期；2)該投資為無限期時(shí)的純收入貼現(xiàn)值。

解 1)投資回收期n就是當(dāng)總收入的現(xiàn)值等于投資時(shí)的時(shí)間, 投資成本C= 1萬元，

4 計(jì)算資本存量

5 計(jì)算消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余

消費(fèi)者剩余CS和生產(chǎn)者剩余PS是經(jīng)濟(jì)福利分析的兩個重要工具。消費(fèi)者剩余是指消費(fèi)者在購買一定數(shù)量的商品時(shí)愿意支付的總價(jià)格和實(shí)際支付的總價(jià)格之間的差額；生產(chǎn)者剩余是指生產(chǎn)者銷售某種商品所得到的款額與其生產(chǎn)成本之間的差額。假設(shè)商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為P=D(q)和P=S(q)，市場價(jià)格為p0時(shí)，購買量為q0(即均衡價(jià)格和均衡產(chǎn)量)，則得如下消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余的計(jì)算公式：

例8 已知某蔬菜市場的需求函數(shù)為P=10-q，供給函數(shù)為P=7+0.5q，求消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余。

解：先求出市場均衡價(jià)格p0和均衡產(chǎn)量q0：由10-q=7+0.5q得p0=8，q0=2。

結(jié) 語

當(dāng)然，積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用還有很多，例如，通過積分量化分析期值和現(xiàn)值來進(jìn)行固定資產(chǎn)投資與融資租賃的決擇[2]；已知服務(wù)行業(yè)服務(wù)概率的頻率函數(shù)，求某個時(shí)間段內(nèi)的服務(wù)概率[3]；公司根據(jù)銷售額的變化率，利用定積分計(jì)算盈利來決定廣告策略問題等等，在此就不一一例說。隨著經(jīng)濟(jì)、計(jì)算機(jī)技術(shù)等的不斷發(fā)展，積分的應(yīng)用會更加廣泛，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)管理的關(guān)系也將越發(fā)密切。

[1]蔡 瓊，岳素青.定積分在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用[J].哈爾濱職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2010,(3)：116-117.

[2]龔友運(yùn).積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用淺析[J].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào),2011，(3)：121-122.

[3]盧達(dá)平.《微積分》在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用[J].龍巖學(xué)院學(xué)報(bào),2006，(6)：109-111.

[4]仉志余.大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用教程[M].北京：北京大學(xué)出版社,2005.160-164.

[5]趙樹媛.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(一)微積分(三版)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社,2012.253-254.

[6]高鴻業(yè).西方經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社,2007．

Examples for the Application of Integration in Economics

LUO Qiong

(Jiangxi Vocational College of Finance and Economics, Jiujiang, Jiangxi, 332000)

With the rapid development of the economics and the constant exploitation of the computer technology and mathematical software, mathematical knowledge and its analytical methods are playing more and more important roles in the current economic construction. The application of integration, especially the definite integration in economics as a tool of quantitative analysis is very broad, which can be used to calculate economic aggregate and average or variation, maximum and minimum, present capital value and capital stock, consumer surplus and producer surplus or so on.

integration; economics; present capital value; consumer surplus; producer surplus

2015-04-09

羅 瓊(1967-)，女，湖南江華人，江西財(cái)經(jīng)職業(yè)學(xué)院副教授。研究方向：數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)。

O172

A

1008-8156(2015)02-0070-03

修回日期：2015-05-12