提升教師問題意識，促進(jìn)主動發(fā)展的教學(xué)案例分析

王銀珠　張新軍

【摘 要】培養(yǎng)問題意識是學(xué)生主動探索的切入口，激發(fā)問題意識，形成自己的獨(dú)立見解，真正改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題意識是引發(fā)學(xué)生思維與探索活動的向?qū)?。教學(xué)中問題意識的構(gòu)建要符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，能引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)發(fā)生的過程，尋找到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】問題意識；引領(lǐng)教學(xué)；活動中構(gòu)建；提升學(xué)科能力

普通高中新課程《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的亮點(diǎn)是突出“過程性目標(biāo)”。要學(xué)生“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”。培養(yǎng)問題意識正是讓學(xué)生主動探索的切入口，從而激發(fā)問題意識，形成自己的獨(dú)立見解，真正改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。同時新的課堂教學(xué)突顯“問題引領(lǐng)教學(xué)活動”的認(rèn)知。問題成為教學(xué)過程的起點(diǎn)，也是教學(xué)過程的指向，促進(jìn)主動發(fā)展的課堂教學(xué)的著力點(diǎn)。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題意識是引發(fā)學(xué)生思維與探索活動的向?qū)АＳ辛藛栴}意識，學(xué)生的好奇心才能激發(fā)；有了問題意識，學(xué)生的思維才開始啟動；有了問題意識，學(xué)生的探索才真正有效；有了問題意識，學(xué)生的學(xué)習(xí)動力才能持續(xù)。然而問題意識的引發(fā)離不開教師對問題意識有效構(gòu)建，只有教師教學(xué)的問題意識鋪墊，才能有效劃歸為學(xué)生的問題意識的構(gòu)建。那種簡單的“是不是”、“對不對”等沒有思維含量的提問充斥課堂，只能弱化學(xué)生的智力。通過問題意識，才能把知識的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的思維過程有機(jī)的聯(lián)系起來，使知識的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能讓學(xué)生有效發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律、認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，并在活動中構(gòu)建數(shù)學(xué)，真正完成問題意識的培養(yǎng)。

案例1.復(fù)數(shù)概念的引入

問題1：在遨游數(shù)字王國時，你還記得數(shù)的概念發(fā)生和發(fā)展的過程嗎？在歷盡幾次“添加新數(shù)”之后，數(shù)集已經(jīng)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集。但是，由于負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能開平方，所以代數(shù)運(yùn)算在實(shí)數(shù)集內(nèi)仍不能永遠(yuǎn)實(shí)施。有些代數(shù)方程的問題在實(shí)數(shù)范圍無法解決或者解決的不夠完美。例如，當(dāng)b2-4ac<0時，實(shí)系數(shù)一元方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根；一元三次方程x3=1只有一個根，根的個數(shù)與方程的次數(shù)如此不一致。數(shù)的概念需要進(jìn)一步發(fā)展。

實(shí)數(shù)集如何推廣？

在新的數(shù)集里，怎樣實(shí)施數(shù)的運(yùn)算？

這里的問題情境表面上符合“數(shù)”的概念擴(kuò)充過程，學(xué)生在過去的經(jīng)驗(yàn)中熟悉了當(dāng)“b2-4ac<0時，實(shí)系數(shù)一元方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根”這樣的結(jié)論，現(xiàn)在要學(xué)生從中提出問題很難。這個情境與問題人為色彩嚴(yán)重，脫離了學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，難以啟動學(xué)生的思維。

問題2：16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在討論問題“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40”時，認(rèn)為把答案寫成5+和5-就可以滿足要求：（5+）+（5-）=5+5=10.（5+）（5-）=5×5-×=25-（-15）=40.我們知道，在實(shí)數(shù)集內(nèi)，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，然而表示什么意義呢？你也許覺得這個問題有點(diǎn)可笑。因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒有平方根，因此沒有意義。盡管很長一段時間內(nèi)，部分?jǐn)?shù)學(xué)家都認(rèn)為5+和5-這兩個式子沒有意義，是虛構(gòu)的、想象的，但在解決許多問題時，使用類似于這樣的式子卻帶來極大地方便。那么能作為數(shù)嗎？它真的是無意義的、虛幻的嗎？

這里以數(shù)學(xué)史上真實(shí)發(fā)生的故事作為情境，也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上真實(shí)的問題，這個問題曾經(jīng)困擾過許多數(shù)學(xué)家。今天，高中生同樣會對這個看似荒謬但又難以否定的問題感興趣。這個情境與問題符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，所以學(xué)生問題意識的激發(fā)更需教師設(shè)計(jì)問題意識時依托性。

案例2.解三角形中——余弦定理

問題1.開門見山指出“在三角形中，已知兩角及一邊，或已知兩邊和其中一邊的對角，可以利用‘正弦定理求其他的邊和角。那么，已知兩邊及其夾角，怎樣求出此角的對邊呢？已知三邊，又怎樣求出它的三個角呢？”

這個問題是以復(fù)習(xí)引新式的模式提出來的，上承正弦定理，下啟本節(jié)內(nèi)容，在先概括正弦定理的基礎(chǔ)上提出面臨的問題，學(xué)生是否會馬上提出解決這兩個問題的另一個定理呢？他們的內(nèi)心必然會呼應(yīng)出余弦定理的誕生么？也許仍會構(gòu)造直角三角形去完成此任務(wù)呢？

問題2.如圖，某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條三地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度。工程技術(shù)員現(xiàn)在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁，量出A到山腳B、C的距離，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC的張角，最后通過計(jì)算求出山腳BC的長度。

這個問題是以問題情境式提出的，在學(xué)生腦海中很快就形成了一個認(rèn)識沖突，即體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育聯(lián)系實(shí)際，又很接近余弦定理的教學(xué)目標(biāo)。

提出問題的出發(fā)點(diǎn)不同，對教學(xué)活動的導(dǎo)向作用也就不同。探究和證明余弦定理的過程既是本節(jié)的一個重點(diǎn)也是本節(jié)的難點(diǎn)。問題1及問題2都沒有明確解題的目標(biāo)。即解三角形的必要條件。特別值得一提的是，教材對正弦定理和余弦定理的講解都用了向量法，可見向量的地位和作用多么的重要。并且運(yùn)用向量法既可以克服幾何論證中有時要添加輔助線但又難發(fā)現(xiàn)的缺陷，又可以帶來用計(jì)算代替演繹論證的優(yōu)越性，可使問題變得簡潔明快、容易入手。但是學(xué)生處理問題的第一反應(yīng)就是化為直角三角形，用勾股定理。向量法卻很少提起，怎樣讓學(xué)生去想到0，再變形到，是不容易想到的。是技巧性太強(qiáng)？或是對向量的認(rèn)識不足？教師在這里狠下功夫認(rèn)真研究研究，怎樣把學(xué)生扶上臺階，成為我們思考的問題。分析其問題之一是學(xué)生對向量的認(rèn)識不足，學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量一章是有缺失，沒有理解向量這一工具地位與重要作用。如何運(yùn)用向量基底體現(xiàn)及坐標(biāo)體系解決這個問題新課程是把他分解到另一章節(jié)中了。這里再次對教材的整體把握，新課程的螺旋式上升的理解對教師提出更高要求。問題之二是教師沒有構(gòu)建好學(xué)生的知識體系，當(dāng)然也就無法完成學(xué)生的問題意識的構(gòu)建。還是新課程的螺旋式上升在此處就有不合適之處呢？都值得我們的思考。

問題3.從三角形全等的判定定理可以知道，三角形的基本元素之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系。例如三角形內(nèi)角和定理揭示了三角形的三個內(nèi)角間的數(shù)量關(guān)系，勾股定理揭示了直角三角形三邊間的數(shù)量關(guān)系。

三角形基本元素間還存在著什么樣的關(guān)系呢？

給出在三角形ABC中，存在著向量關(guān)系0，再變形到，怎樣把向量關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系？經(jīng)討論利用向量的數(shù)量積可以講向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，在上式兩邊平方可以得到余弦定理；在上式兩邊同乘以向量AB垂直的向量，就是前面已學(xué)過的正弦定理。

這個問題開門見山，直入本節(jié)課的重點(diǎn)。這種接受性學(xué)習(xí)比發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)應(yīng)該更注重反思過程，從定理的推導(dǎo)過程中你受到了什么的啟發(fā)？用向量方法有什么認(rèn)識？向量關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系的途徑有哪些？這樣學(xué)生的問題意識的構(gòu)建同樣能完成。當(dāng)然哪種問題意識的鋪墊更能有助學(xué)生問題意識的培養(yǎng)仍是值得探討的問題。

所以教師教學(xué)中問題意識的構(gòu)建要符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)；能引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)發(fā)生的過程，尋找到數(shù)學(xué)的本質(zhì)；要有對教材的批判思想的問題意識；要有對教材的整體把握及新課程的螺旋式上升的理解的意識；要有問題意識的依托性、導(dǎo)向性、探究性。才能完成對學(xué)生問題意識的有效培養(yǎng)。

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