中美部分線性代數(shù)教材比較分析

摘 要 文章對(duì)目前流行的國(guó)內(nèi)部分線性代數(shù)教材和引進(jìn)的幾本美國(guó)原版教材進(jìn)行了分析與比較，指出在內(nèi)容編排、內(nèi)容處理、邏輯體系等方面存在的不同，就線性代數(shù)教材的發(fā)展方向及內(nèi)容改革提出了有關(guān)建議。

關(guān)鍵詞 線性代數(shù) 中外教材 比較

中圖分類(lèi)號(hào)：O241.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.04.021

Comparative Analysis on Part of Chinese and

American Linear Algebra Textbook

MEI Li

（Mathematics Department， Hubei Land Resources Vocational College， Wuhan， Hubei 430090）

Abstract This article analyzed and compared the domestic part of the popular linear algebra textbooks and the introduction of several American original materials， in terms of content in different layout， content processing， such as the existence of a logical system， the development and direction of linear algebra textbook content reform put forward the proposal.

Key words Linear Algebra; Chinese and foreign textbooks; comparison

在理工科數(shù)學(xué)教學(xué)改革過(guò)程中，因?yàn)榻滩募卸唧w地體現(xiàn)了教學(xué)指導(dǎo)思想、教學(xué)內(nèi)容體系、教學(xué)目標(biāo)要求，所以教材建設(shè)是最基礎(chǔ)性的環(huán)節(jié)。隨著高等教育的發(fā)展，越來(lái)越多的學(xué)校實(shí)施了雙語(yǔ)教學(xué)，一部分國(guó)外優(yōu)秀原版教材被引進(jìn)國(guó)內(nèi)（主要是美國(guó)的教材，如文[1]～[3]），使用外文教材開(kāi)展雙語(yǔ)教學(xué)固然可以提高學(xué)生的英文水平，但更重要的是學(xué)習(xí)國(guó)外優(yōu)秀教材中所體現(xiàn)的教學(xué)思想和教學(xué)方法。

線性代數(shù)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)、工程和社會(huì)科學(xué)的學(xué)生的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，其核心內(nèi)容包括矩陣以及向量空間理論，這些概念和理論不僅為各個(gè)專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域提出相關(guān)問(wèn)題時(shí)提供了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)語(yǔ)言，而且也為解決問(wèn)題準(zhǔn)備了有力的工具。線性代數(shù)的主要內(nèi)容有矩陣與線性方程組、矩陣代數(shù)、向量與向量空間、行列式，線性變換、歐氏空間等。比較中外教材，發(fā)現(xiàn)有很大不同。

第一，對(duì)這些內(nèi)容的編排先后順序及重要性， 國(guó)內(nèi)大部分教材，把行列式作為第一章，而國(guó)外教材把線性方程組作為第一章。行列式自然是處理有關(guān)問(wèn)題的一個(gè)重要工具，在以后求解線性方程組、求逆矩陣、求矩陣的秩、求向量組的秩、求最大線性無(wú)關(guān)組、求線性表示等問(wèn)題時(shí)發(fā)揮重要作用，但學(xué)生一開(kāi)始就接觸一般n階行列式的定義、性質(zhì)、計(jì)算，顯得非常抽象，而且行列式運(yùn)算量大，計(jì)算步驟復(fù)雜。

國(guó)外教材把線性方程組作為第一章，通過(guò)線性方程組引出矩陣表示，然后引出矩陣的行初等變換，以上討論的行列式的作用都可以通過(guò)矩陣的行初等變換解決。事實(shí)上是把矩陣及其行初等變換作為重點(diǎn)講述，行列式大多是在矩陣代數(shù)以后特征根與特征向量之前講述。

第二，在內(nèi)容處理上，國(guó)外教材及早引進(jìn)了一些重要概念，例如在第一章線性方程組就引入線性組合和線性無(wú)關(guān)的概念，從而幫助學(xué)生很快地從用一般方法解線性方程組過(guò)渡到用基、生成系等概念等來(lái)處理和解決相應(yīng)的問(wèn)題（[1]、[2]）。文[2]在第一章線性方程組就引用了線性變換的概念，而文[1]在第三章向量空間里也討論了線性變換。

國(guó)內(nèi)教材大多比較注重邏輯順序引入一個(gè)概念之前要作很多鋪墊，從行列式到矩陣再到矩陣的初等變換，講到向量的線性相關(guān)性已是第三章或第四章，而線性變換則安排在最后一章作為選學(xué)內(nèi)容。

第三，向量空間的概念是線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，國(guó)外教材大多將二維空間與三維空間作為特殊例子，文[1]專(zhuān)門(mén)在第2章討論二維空間和三維空間，這是兩個(gè)非常形象，學(xué)生又很熟悉的空間，在這個(gè)基礎(chǔ)上，推廣到Rn這個(gè)n維空間，實(shí)現(xiàn)了從感性思維到理性思維的一個(gè)飛躍，最后再進(jìn)入完全抽象的一般線性空間。

國(guó)內(nèi)教材很少有將R2與R3作為Rn的特殊例子的，所以學(xué)生覺(jué)得抽象，也許這部分內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)中向量解析幾何的內(nèi)容，但R2與R3中向量之間的線性關(guān)系卻是高等數(shù)學(xué)中所沒(méi)有的。鑒于此，目前有些將線性代數(shù)與解析幾何統(tǒng)一處理的教材。一方面，線性代數(shù)為解析幾何提供方法;另一方面，解析幾何為線性代數(shù)提供模型和推廣的基礎(chǔ)。

第四，在內(nèi)容的邏輯推理上，國(guó)內(nèi)教材由于受到前蘇聯(lián)教材的影響，對(duì)定義、定理、證明、舉例這一套推理十分強(qiáng)調(diào)，甚至是過(guò)分強(qiáng)調(diào)（文[6]）?，F(xiàn)行國(guó)內(nèi)差不多每一本教材的每一節(jié)內(nèi)容都是定義、定理、證明、舉例的邏輯體系，不同的是有些定義之前可能有引例，有些定義之后有性質(zhì)。這樣的教材讀了之后，有時(shí)會(huì)讓人感到過(guò)于抽象，索然無(wú)味，甚至對(duì)這門(mén)課程不得要領(lǐng)，不知道課程的重點(diǎn)在哪里，也不知道學(xué)這門(mén)得到底要干什么。其實(shí)一本教材最重要的是要說(shuō)清楚這門(mén)課的主題和最主要的內(nèi)容，包括來(lái)龍去脈與思維過(guò)程，同時(shí)要考慮讀者的接受程度和學(xué)習(xí)方法，書(shū)中的定義、定理、證明、舉例的邏輯結(jié)構(gòu)都是為這個(gè)主題服務(wù)的，所以也沒(méi)有必要千篇一律都按照這個(gè)邏輯機(jī)構(gòu)編排。

目前引進(jìn)的原版教材幾乎沒(méi)有以上的邏輯推理，都是定義和例子加很少的定理或性質(zhì)，可以看出國(guó)外教材更注重基本概念。

第五，線性代數(shù)是一門(mén)既嚴(yán)謹(jǐn)又抽象的課程，國(guó)內(nèi)教材由于注重邏輯推理，例子少而又少，特別是缺少有實(shí)際背景的例子，而國(guó)外教材大多有很多有實(shí)際背景的例子，例如，交通網(wǎng)、電網(wǎng)的例子，解析幾何的例子，經(jīng)濟(jì)模型、航空模型、動(dòng)力系統(tǒng)等，通過(guò)這些實(shí)際例子的具體計(jì)算，自然地逐步地建立抽象的概念和理論。

抽象性是線性代數(shù)的一大特點(diǎn)，也是所有數(shù)學(xué)類(lèi)課程的一大特點(diǎn)，因?yàn)槌橄笏噪y學(xué)。線性代數(shù)的教材中幾乎所有定義都是抽象的。抽象本身并非壞事，“一切科學(xué)的抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然”（列寧語(yǔ)），正是數(shù)學(xué)的抽象性確定了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。在教學(xué)中我們要讓抽象更自然，力求通俗易懂，貼近現(xiàn)實(shí)生活，用活生生的實(shí)際問(wèn)題克服抽象帶來(lái)的困難。所以一本好的教材應(yīng)以實(shí)際為背景，逐步過(guò)渡到抽象的概念和內(nèi)容，增加趣味性，激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)好、用好線性代數(shù)的信心。

第六，國(guó)內(nèi)教材的排版格式大多固定不變，比較呆板，而國(guó)外教材則比較活潑，定理及重要內(nèi)容大多用矩形框表出，或者加上底紋，另外由于加上了很多例子和應(yīng)用，所以圖形比較多，一些內(nèi)容通過(guò)圖表來(lái)幫助理解。

第七，21世紀(jì)是信息的時(shí)代，現(xiàn)代教學(xué)手段促進(jìn)了教學(xué)改革的步伐，為進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量提供了有利的教學(xué)環(huán)境，國(guó)外一些教材大多講了數(shù)學(xué)軟件Matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用，并且每章結(jié)尾都附有專(zhuān)門(mén)用Matlab做的練習(xí)題，這有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)線性代數(shù)和應(yīng)用代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。目前國(guó)內(nèi)很多院校開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，專(zhuān)門(mén)講述一些數(shù)學(xué)軟件的使用，也有一些教材開(kāi)始附上Matlab等數(shù)學(xué)軟件的使用與練習(xí)，但僅僅是剛剛開(kāi)始。線性代數(shù)學(xué)時(shí)有限，如何利用數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)是一個(gè)有待探討的課題。

第八，國(guó)內(nèi)教材大多邏輯推理嚴(yán)密，內(nèi)容豐富，而留給學(xué)生的作業(yè)則要求學(xué)生鞏固掌握，通常教師授課時(shí)將課本內(nèi)容吃透再講給學(xué)生，而且要信息量大，學(xué)生始終處于一種被動(dòng)接受的地位，作業(yè)也只需依據(jù)教師的講授便可完成，毫無(wú)創(chuàng)新可言。比如向量的線性相關(guān)性一章定理、推論眾多，學(xué)生難于掌握。

國(guó)外教材的主要內(nèi)容相對(duì)較少，主要是定義與例子，而課后的練習(xí)則相對(duì)較多，一些定理或性質(zhì)大多放在練習(xí)題里，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，主要是培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，課堂上也有練習(xí)（Class exercises），每周都有一次輔導(dǎo)課（Tutorial），由此可以通過(guò)教材看出中外教學(xué)思想和教學(xué)方法的不同。

2001年教育部頒布的新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出了一個(gè)新的理念：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者?！逼湫吕砟顚?duì)所有數(shù)學(xué)類(lèi)課程教學(xué)都是適用的。在教學(xué)一對(duì)矛盾中，教師始終“占據(jù)”主角地位，掌握著話語(yǔ)權(quán)和裁判權(quán)。所以教師時(shí)而會(huì)抱怨學(xué)生，說(shuō)自己講了十遍八遍，花費(fèi)了很大氣力，學(xué)生還是不會(huì)，甚至根本不聽(tīng)。要解決這個(gè)問(wèn)題，就要轉(zhuǎn)變教育觀念。教師和學(xué)生的地位更平等，由教師過(guò)去課堂上的表演主角、知識(shí)傳授者、真理的化身，轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、組織者、指導(dǎo)者和參與者。更多地讓學(xué)生自己進(jìn)入角色去感受、去探索、去表達(dá)，即便失敗也不可怕，讓學(xué)生由被動(dòng)接受向主動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變，是新的課程教學(xué)改革方向。

總之，中外線性代數(shù)教材存在著很大的不同，國(guó)內(nèi)教材有自己的優(yōu)勢(shì)和不足，可以借鑒國(guó)外優(yōu)秀教材的優(yōu)點(diǎn)以彌補(bǔ)其不足。目前，國(guó)內(nèi)高等教育正在發(fā)生重大的變化，正在走向大眾化教育，社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制、科技創(chuàng)新導(dǎo)向以及依法治國(guó)對(duì)高等教育人才培養(yǎng)工作提出了新的要求，高等學(xué)校之間的競(jìng)爭(zhēng)也日趨激烈?？茖W(xué)技術(shù)在飛速發(fā)展，工業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的新技術(shù)、新工藝、新材料層出不窮，基礎(chǔ)學(xué)科領(lǐng)域的理論體系也有了重大發(fā)展與變化，然而高等教育的很多課程教材卻在幾十年內(nèi)基本沒(méi)有大的變化?，F(xiàn)在的線性代數(shù)教學(xué)正在迎接新的挑戰(zhàn)，教材、教學(xué)思想和教學(xué)方法都不是固定不變的，必須適應(yīng)變化的形勢(shì)，通過(guò)比較我們可以吸取中外教材的精華，然后與中國(guó)實(shí)際相結(jié)合，必將推進(jìn)我國(guó)的教材改革和課程建設(shè)，從而出版更多優(yōu)秀的教材，以促進(jìn)我國(guó)創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

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