以“求變思維”促進(jìn)學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)

摘要：“一題多解與一題多變”的教學(xué)方式可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的反思能力和解題能力。一題多解是從不同的角度、不同的方位去審視分析問題，是一種發(fā)散思維，而一題多變則是創(chuàng)造性思維的體現(xiàn)，通過題設(shè)的變化、結(jié)論的變化、引申新問題讓學(xué)生對知識的理解更深刻。本文以蘇教版《必修二》解析幾何和立體幾何為平臺，通過兩個例題，從“求變思維”的角度來闡述在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何激發(fā)學(xué)生反思性學(xué)習(xí)，提高課堂效率。

關(guān)鍵詞：一題多解;一題多變;反思性學(xué)習(xí)

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " " 文章編號：1992-7711（2015）13-082-1

一、一題多解，反思學(xué)習(xí)

一道數(shù)學(xué)題因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生自我反思和分析問題的能力。特別是在高三解題教學(xué)時，要經(jīng)常注意引導(dǎo)學(xué)生自我反思，從不同的方面，探求解題途徑，以求最佳解法。下面我們通過例題來說明一題多解在教學(xué)中的滲透。

例1如圖，已知過點(diǎn)A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)，l與直線m：x+3y+6=0相交于N。探索AM·AN是否與直線l的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請求出其值;若有關(guān)，說明理由。

分析：本題關(guān)鍵是點(diǎn)M的坐標(biāo)求解，學(xué)生一開始會考慮直線和圓聯(lián)立方程并結(jié)合韋達(dá)定理求出M的坐標(biāo)，但運(yùn)算量有點(diǎn)大，如何優(yōu)化解法？

解：因為CM⊥MN，

所以AM·AN=（AC+CM）·AN=AC·AN+CM·AN=AC·AN。

方法一：設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，討論斜率的存在性。

方法二：由于直線l斜率為零的情況不滿足題意，故設(shè)直線的“反斜截式”方程x=my-1，斜率不存在的問題迎刃而解。

方法三：采用設(shè)而不求的思想，考慮最后的問題聚焦于點(diǎn)N，而點(diǎn)N在定直線m：x+3y+6=0上，故直接設(shè)點(diǎn)N（x0，y0），則x0+3y0+6=0，所以AN=（x0+1，y0），

所以AM·AN=AC·AN=x0+1+3y0=（x0+3y0）+1=-6+1=-5，

故AM·AN與直線l的斜率無關(guān)，且AM·AN=-5。

以上三種方法總體上講采用了代數(shù)方法，解決了圓中的有關(guān)定值問題，那本題是否可以從幾何角度給予解釋證明呢？方法四揭示了AM·AN為定值的幾何本質(zhì)。

方法四：連接CA并延長交直線m于點(diǎn)T，易知Rt△ACM∽Rt△ANT，

所以，ACAM=ANAT，即AM·AN=AC·AT，又因為AC=10，AT=510，

所以，AM·AN=AC·AT=5，故AM·AN=-AM·AN=-5。

一題多解重在通過老師的引導(dǎo)，讓學(xué)生自己思考，自覺的動腦、動手，充分發(fā)揮學(xué)生自己的聰明才智，得到解題方法。而不是多種方法一骨腦的由老師講解，讓學(xué)生整理。一題多解的有效性學(xué)習(xí)思路是老師引導(dǎo)，學(xué)生想，討論，最后老師將方法匯總，學(xué)生通過一題多解讓學(xué)生培養(yǎng)善于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，找到問題的最優(yōu)解法。數(shù)學(xué)課堂上，適時地通過一題多解去激發(fā)出學(xué)生的智慧，讓學(xué)生從不同的方法、角度、思維方式去觀察、聯(lián)想、分析，根據(jù)問題的特定條件探索出一系列的解題思路，激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對所學(xué)知識的深刻理解，有利于學(xué)生溝通知識間的聯(lián)系，訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性，靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，這對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

二、一題多變，發(fā)散思維

在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，一題多變要循序漸進(jìn)，步子要適宜，變得自然流暢，使學(xué)生的思維得到充分發(fā)散，而又不感到突然。一題多變，對一道數(shù)學(xué)題或聯(lián)想，或類比，或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結(jié)論，積極開展多種變式題的求解，哪怕是不能解決，有助于學(xué)生應(yīng)變能力的養(yǎng)成，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的形成，增強(qiáng)學(xué)生面對新問題敢于聯(lián)想分析予以解決的意識。下面我們通過例題來說明一題多變在教學(xué)中的滲透。

例2已知正方體的各個頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長等于2，求這個外接球的表面積？

變式1：在三棱錐ABCD中，三條側(cè)棱兩兩垂直且長度均為2，求這個三棱錐外接球的表面積？

變式2：求棱長為2的正四面體ABCD的外接球的表面積？

變式3：在三棱錐ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，則該三棱錐外接球的表面積？

解決例2問題的關(guān)鍵是外接圓的直徑就是正方體的體對角線，在長方體中這個也是成立的。對于變式1、2需要把三棱錐補(bǔ)成一個正方體，轉(zhuǎn)化為正方體的外接球問題（如圖1、2）。變式3需要把三棱錐補(bǔ)成一個長方體（CE=DE=32，AE=7），轉(zhuǎn)化為長方體的外接球問題（如圖3）。

通過例2我們可以發(fā)現(xiàn)：一道習(xí)題在手，若能打開思維的窗扉，從各種角度去考慮，尋求不同的解題策略，對提高我們的解題能力大有幫助，解題后認(rèn)真總結(jié)，摸索規(guī)律，舉一反三，其收益更為明顯。實(shí)際教學(xué)中，特別是高三復(fù)習(xí)課，需要我們教師從數(shù)與形的角度深入研究，拓展學(xué)生的知識，讓學(xué)生構(gòu)建解決解析幾何問題的能力和方法，在某類問題上形成一個完整的“微系統(tǒng)、微框架”，以達(dá)到以點(diǎn)帶面的效果，提高課堂效率。