日火地三體模式的數(shù)值模擬研究

摘要針對中學(xué)物理行星軌道的形狀問題，用數(shù)值模擬方法驗證了不同質(zhì)量速度比條件下日火地三體的軌道規(guī)律。將現(xiàn)代物理學(xué)是由實驗，理論和計算三部分組成的這一思想貫徹到教學(xué)手段中。從而一定程度上激發(fā)學(xué)生對于物理研究的興趣，引發(fā)進一步的思考。

關(guān)鍵詞

三體運動 橢圓軌道 數(shù)值模擬 中學(xué)物理

課題背景

根據(jù) 《數(shù)值模擬方法驗證行星運行的軌道》我們了解了二星運動軌道的規(guī)律，這讓我們不禁產(chǎn)生以下疑問：

（1）二星運動軌道是橢圓的，太陽火星地球的運動軌道是什么形狀的呢？

（2）在不同情況下，比如太陽火星地球、太陽地球月亮、等質(zhì)量三星纏繞、等質(zhì)量三星共軌，他們的軌道有什么區(qū)別？

（3）當(dāng)滿足動量守恒，無外力作用后，二星的軌道固定不變，那么日火地三星的軌道也是永遠固定不變的嗎？

帶著這些問題，我們從牛頓的萬有引力方程和牛頓力學(xué)定律出發(fā)，得到相應(yīng)的差分方程，通過數(shù)值方法來驗證日火地三星運動軌道的形狀，并討論不同質(zhì)量速度比條件下的變化。

理論依據(jù)

論文【1】用圖1表示二體之間的相互作用，得到了二體問題加速度，位置的計算公式。我們把它推廣到三體的形式。得到公式（1）、（2）、（3）。

3. 數(shù)據(jù)模擬結(jié)果

我們在二體的基礎(chǔ)上討論三體的運行軌道，我們假設(shè)一開始只有太陽和火星這兩個星體，他們的運行軌道為雙橢圓重疊，后來地球與他們形成了三星系統(tǒng)，但是這個三星系統(tǒng)并不穩(wěn)定，意味著三星運行的軌道并不像雙星一樣穩(wěn)定，因為三個星體之間的萬有引力的大小會隨著他們的相對位置改變而改變，從而導(dǎo)致他們的運動軌跡不固定。下面我們要對每一種情況進行分類討論。

情景一：當(dāng)三星的相對位置固定不變，位置坐標(biāo)為（0，0），（1.5，0）和（2，0）時：

（1）當(dāng)質(zhì)量比為100：1：1時，軌道圖為

（2）當(dāng)質(zhì)量比為50：1：1時，軌道圖為

通過對軌道圖的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)前兩種情況的軌道較為穩(wěn)定，可以形成橢圓，因為三星之間互相作用的萬有引力趨向于一個平衡狀態(tài)，使軌道穩(wěn)定。然而后面三種情況的軌道為不穩(wěn)定狀態(tài)，是因為萬有引力趨向于不平衡狀態(tài)，比如說當(dāng)?shù)厍蚝突鹦强康奶鼤r，他們兩個會互相吸引，從而導(dǎo)致軌道偏離。

情景二：當(dāng)三星的質(zhì)量比保持不變，為100：1：1（這個質(zhì)量比比較具有代表性），把三體的相對位置改變：

（1）當(dāng)位置坐標(biāo)為（0，0）（1.5，0）和（2，0）時，軌道圖為

（2）當(dāng)位置坐標(biāo)為（0，0）（1.5，0）和（4，0）時，軌道圖為

通過對不同質(zhì)量比的情況分析，我們可以發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，當(dāng)火星和地球靠得太近時，太陽對他們的束縛能力要小于火星和地球之間的吸引力，這就導(dǎo)致了相撞。由此可見，要使日火地形成較為穩(wěn)定的三星軌道，那么火星和太陽必須離得很近，地球則要相對偏遠一些，這也符合我們的太陽系行星分布規(guī)律，即這種軌道：

情景三：上面兩種情況都是考慮動量守恒的，接下來我們來考慮如果一開始動量不守恒，即P太陽≠P地球+P火星。

（1）當(dāng)質(zhì)量比為100：1：1時，軌道圖為

（2）當(dāng)質(zhì)量比為25：1：1時，軌道圖為

由此可見，我們只有保證動量守恒，即P太陽=P地球+P火星時，才能構(gòu)成較為穩(wěn)定的三星系統(tǒng)。

4. 教學(xué)意義

本模擬方法利用物理學(xué)原理和MATLAB編程，成功的驗證了三星（日火地）的軌道規(guī)律。該方法將現(xiàn)代物理學(xué)是由實驗，理論和計算三部分組成的這一思想貫徹到教學(xué)手段中。從而一定程度上激發(fā)學(xué)生對于物理研究的興趣，引發(fā)進一步的思考。

參考文獻

【1】數(shù)值模擬方法驗證行星運行的軌道，高竹，2012，中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊

【2】天體力學(xué)[M]，趙進義，1983，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社

【3】微分方程數(shù)值解法（第四版）[M]，李容華，劉播，2009，高等教育出版社

【4】Matlab圖形圖像處理[M]， 董長虹，賴志國，余嘯海，2004，國防工業(yè)出版社