多高層框架結(jié)構(gòu)靜力彈塑性分析

【摘 要】針對擬力法僅在剛性連接鋼框架中應(yīng)用的現(xiàn)狀，根據(jù)鋼筋混凝土框架以及半剛性連鋼框架的受力特點，并基于擬力法的基本假定與思路，得出了鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中塑性鉸和半剛性連接鋼框架中連接的彎矩一相對轉(zhuǎn)角關(guān)系，從而推導(dǎo)并獲得了擬力法在框架結(jié)構(gòu)靜力彈塑性分析中的通用公式。通過與有限元理論計算結(jié)果的比較，表明基于擬力法的框架結(jié)構(gòu)靜力彈塑性分析方法在應(yīng)用于各類框架結(jié)構(gòu)時都有著較高的精度，從而為將基于擬力法的動力彈塑性分析包括地震能量分析拓展到鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)以及半剛性連接鋼框架結(jié)構(gòu)中奠定了基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】擬力法；框架結(jié)構(gòu)；彈塑性分析；半剛性連接；靜力

引言

Kevin K.F.Wong和Rong Yang 于1999年提出了擬力法（ForceA nalogy Method）的基本概念并將其應(yīng)用于鋼框架結(jié)構(gòu)的彈塑性分析當中，其基本假定是：結(jié)構(gòu)在進入彈塑性狀態(tài)后，塑性變形只發(fā)生在構(gòu)件的某些集中區(qū)域（結(jié)構(gòu)的其他部分保持彈性），這些彈塑性區(qū)域的性能可以用塑性鉸來描述，而結(jié)構(gòu)的塑性位移正是由于這些塑性鉸的轉(zhuǎn)動所引起的。擬力法的核心步驟是將塑性鉸等效為作用有彎矩的理想鉸。本文中對擬力法的求解領(lǐng)域進行了擴展，將其應(yīng)用于鋼筋混凝土框架和半剛性連接鋼框架的彈塑性分析當中。

1公式推導(dǎo)

擬力法中對各變量正方向規(guī)定如下：力與位移以向右（水平方向）和向下（垂直方向）為正；轉(zhuǎn)角以順時針方向旋轉(zhuǎn)為正；彎矩以逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正。在以下討論中，剛性連接鋼框架和鋼筋混凝土框架統(tǒng)稱剛接框架，半剛性連接鋼框架簡稱半剛接框架。以一單跨梁為例說明基本方程的推導(dǎo)過程。圖1為一單跨超靜定梁，跨中在集中力F（t）的作用下發(fā)生x（t）大小的位移，梁左端發(fā)生屈服形成塑性鉸（根據(jù)擬力法的基本假定，梁的其他部分保持彈性），對于剛接梁來說，梁左端的相對轉(zhuǎn)動量θ（t）為塑性鉸的轉(zhuǎn)動量，對半剛接梁而言，θ（t）等于連接處彈性轉(zhuǎn)角與塑性轉(zhuǎn)角之和，梁端相應(yīng)的彎矩為M（t），此時梁的狀態(tài)可以按如圖1所示的方式進行等效。

根據(jù)疊加原理，圖1中的等效狀態(tài)又可以分解為圖2中的轉(zhuǎn)角狀態(tài)與位移狀態(tài)的疊加，轉(zhuǎn)角狀態(tài)下鏈桿的約束反力為Fθ（t），位移狀態(tài)下梁的固端彎矩為M{（t），則有

顯然，當梁的材料一定時，式（9）中的4個剛度值是定值（與梁端是否屈服無關(guān)）。當F已知時，式（9）無法求得x，M和θ三個未知數(shù)，因此須補充一個方程：

式（10）為梁左端塑性鉸的彎矩與相對轉(zhuǎn)角之間的滯回關(guān)系，若取兩折線關(guān)系，其形式如圖3所示。聯(lián)立式（9），（10），可以已知外力F求出相應(yīng)的位移x，彎矩M和相對轉(zhuǎn)角B；或已知位移x求出相應(yīng)外力F以及彎矩M、相對轉(zhuǎn)角B。式（9），（10）就是擬力法的核心表達式，梁的材料以及梁左端的連接狀態(tài)并不影響表達式的形式。

2在框架結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用

在框架結(jié)構(gòu)的每一個集中力作用處定義一個與集中力方向相同的位移自由度，在框架結(jié)構(gòu)每一個可能出現(xiàn)相對轉(zhuǎn)動以及需要獲知彎矩值的位置定義一個相對轉(zhuǎn)角自由度，并有

式中：n為結(jié)構(gòu)的位移自由度數(shù)；m為結(jié)構(gòu)的相對轉(zhuǎn)角自由度數(shù)。按前述的思路同樣可以獲得應(yīng)用于框架結(jié)構(gòu)分析中的基本公式，但公式中的力、位移、彎矩、相對轉(zhuǎn)角以及剛度將不再是數(shù)，而是矩陣，但它們的物理意義仍然相同，各剛度矩陣的意義如下（位移狀態(tài)為各相對轉(zhuǎn)角自由度處不發(fā)生相對轉(zhuǎn)動；轉(zhuǎn)角狀態(tài)為各位移自由度處不發(fā)生位移）：

K1為m*m階矩陣。元素k1ij為框架在轉(zhuǎn)角狀態(tài)下，第j個相對轉(zhuǎn)角自由度發(fā)生單位轉(zhuǎn)動（其余相對轉(zhuǎn)角自由度不發(fā)生轉(zhuǎn)動）時，第i個相對轉(zhuǎn)角自由度處的彎矩。

K2為n*m階矩陣。元素k2ij為框架在轉(zhuǎn)角狀態(tài)下，第j個相對轉(zhuǎn)角自由度發(fā)生單位轉(zhuǎn)動（其余相對轉(zhuǎn)角自由度不發(fā)生轉(zhuǎn)動）時，第i個位移自由度處鏈桿的約束反力。

K3為m*n階矩陣。元素k3ij為框架在位移狀態(tài)下，第J個位移自由度處發(fā)生單位位移（其余位移自由度不發(fā)生位移）時，第i個相對轉(zhuǎn)角自由度處的彎矩。

K為n*n階矩陣。元素kij為框架在位移狀態(tài)下，第J個位移自由度發(fā)生單位位移（其余位移自由度不發(fā)生位移）時，在第i個位移自由度處施加的水平力。

根據(jù)功的互等定理可知：

所以上式可寫為：

補充m個彎矩一相對轉(zhuǎn)角關(guān)系：.

聯(lián)立式（15），（16）（2m+n個方程），則可根據(jù)外力F求出相對應(yīng)的位移X，彎矩M和相對轉(zhuǎn)角θ（2m+n個未知數(shù)），或根據(jù)位移X求出相對應(yīng)的外力F、彎矩M、相對轉(zhuǎn)角式θ（15），（16）是擬力法應(yīng)用于框架結(jié)構(gòu)的通用表達式，式（15）中的分塊剛度矩陣在分析過程中為常值，與結(jié)構(gòu)是否進人彈塑性狀態(tài)無關(guān)，結(jié)構(gòu)的彈塑性性能完全由式（16）來體現(xiàn)，即結(jié)構(gòu)的彈塑性性能完全由各塑性鉸的彈塑性性能來體現(xiàn)。文獻[2]中介紹了擬力法在剛性連接鋼框架中的應(yīng)用，以下討論擬力法在鋼筋混凝土框架和半剛性連接鋼框架的靜力彈塑性分析中的應(yīng)用。

2.1鋼筋混凝土框架.鋼筋混凝土框架在進人彈塑性狀態(tài)后，由于開裂的影響，構(gòu)件的抗彎剛度會小于彈性抗彎剛度，根據(jù)文獻[3]中關(guān)于曲率計算理想化的描述，在求解式（15）中的3個剛度矩陣時，構(gòu)件的抗彎剛度可?。▓D4）

根據(jù)文獻[3]，得塑性鉸的極限轉(zhuǎn)動量為：

式中：lp為塑性鉸的等效長度。根據(jù)圖4，5的對應(yīng)關(guān)系得：

塑性鉸等效長度l。的求解方法有很多，具體可見文獻[4]。根據(jù)式（17），（19），就可以通過構(gòu)件截面的彎矩一曲率關(guān)系獲得求解3個剛度矩陣所需的構(gòu)件抗彎剛度，并確定各塑性鉸的彎矩一相對轉(zhuǎn)角關(guān)系。

算例1：一單層單跨鋼筋混凝土框架，梁柱截面的寬度和高度分別為300，400mm，均采用對稱配筋，C35混凝土，在框架頂點作用一集中力，如圖6所示。在集中力作用點定義一個水平位移自由度，相對轉(zhuǎn)角自由度數(shù)設(shè)為4，分別設(shè)在梁的兩端和柱的根部，梁柱截面彎矩一曲率參數(shù)見表1.

表1梁柱截面的彎矩一曲率參數(shù)及塑性鉸等效長度

根據(jù)式（17）計算梁柱的抗彎剛度，并由各剛度矩陣定義得：

根據(jù)式（18）計算各相對轉(zhuǎn)角自由度的彎矩一轉(zhuǎn)角關(guān)系，卸載剛度取為無窮大。圖7為擬力法程序HRFAM計算結(jié)果與有限元計算程序IDARC5.5計算結(jié)果的對比，兩者比較接近，其結(jié)果見文獻[3]，按式（17）取構(gòu)件的抗彎剛度會使彈性位移偏大。

2.2半剛性連接鋼框架.相對于鋼筋混凝土框架，半剛性連接鋼框架的求解要簡單很多。獲得3個剛度矩陣所需的梁柱抗彎剛度直接取其彈性抗彎剛度即可；文獻「6]中總結(jié)了各種半剛性梁柱連接形式的彎矩一相對轉(zhuǎn)角的滯回關(guān)系，計算時可根據(jù)情況方便地取用。

算例2：一單層單跨鋼框架，高度與跨度均為5m，在框架頂點作用一集中力，形式如圖6所示，材料參數(shù)見表2，梁與柱采用半剛性連接。

3結(jié)語

（1）擬力法與傳統(tǒng)的有限元方法相比，在處理彈塑性問題時由于不存在修正單元剛度矩陣和重組結(jié)構(gòu)剛度矩陣的過程，因而計算效率較高，這種優(yōu)勢在動力非線性的分析中會更加突出；同時，由于擬力法在彈塑性分析過程中能求解各塑性鉸的彎矩以及相對轉(zhuǎn)動量，因此對分析中的結(jié)構(gòu)是否破壞能進行實時監(jiān)測，只要制定相應(yīng)結(jié)構(gòu)破壞準則（塑性鉸的極限轉(zhuǎn)動量、可能的破壞機構(gòu)、層間位移限值）就可獲得靜力彈塑性分析中結(jié)構(gòu)已經(jīng)發(fā)生破壞的依據(jù)。（2）由于擬力法是將結(jié)構(gòu)的塑性變形區(qū)域考慮為塑性鉸，因而整個結(jié)構(gòu)的滯回耗能將會是各塑性鉸的滯回耗能之和，因此，當擬力法與能量分析結(jié)合時，便能有效地解決耗能分析難以進人構(gòu)件層面的問題。（3）對擬力法的應(yīng)用領(lǐng)域進行了擴展，獲得了在鋼筋混凝土框架以及半剛性連接鋼框架彈塑性分析中應(yīng)用擬力法的方法。

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