Duffing系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

摘 要：Duffing系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)中常用的混沌模型之一，它具有非常豐富的動(dòng)力學(xué)行為，也是眾多科學(xué)家熱衷探究Duffing方程的原因。本論文通過(guò)介紹Duffing系統(tǒng)的背景，利用Matlab軟件中Simulink模塊搭建方程進(jìn)行仿真，并且利用Mutisim軟件進(jìn)行電路設(shè)計(jì)與模擬，得到了理想的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：Duffing系統(tǒng);Matlab仿真;模擬電路仿真

引言

20世紀(jì)初，德國(guó)科學(xué)家Duffing在他的論文中描述了一個(gè)受到強(qiáng)迫振動(dòng)的非線性系統(tǒng)引起的物理現(xiàn)象。這個(gè)系統(tǒng)的一般形式表示為：

（1）

式中，為外加強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅，為振動(dòng)的頻率，為阻尼因子;對(duì)非線性硬性彈簧系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，、均為正;而非線性軟性彈簧系統(tǒng)，為正，為負(fù)。方程（1）中具有非常豐富的動(dòng)力學(xué)行為，至今尚未被人們完全認(rèn)識(shí)。

一、杜芬方程的背景介紹

1979年，Holmes將方程進(jìn)一步修改，描述了在兩個(gè)永久磁鐵中的非均勻場(chǎng)中的支架梁的強(qiáng)迫振動(dòng)，即Duffing-Holmes方程：

（2）

式中，阻尼因子、驅(qū)動(dòng)力的頻率和幅值是可變參數(shù)。此方程可看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在雙勢(shì)阱中非線性振動(dòng)行為的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型。當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)一定時(shí)，隨著驅(qū)動(dòng)力幅值的增加其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)歷同宿軌道、分岔、混沌和大周期運(yùn)動(dòng)等各個(gè)狀態(tài)，成為研究混沌的常用模型之一[1，2]。

二、 Duffing系統(tǒng)的Matlab模型的建立

方程（2）中，除外加周期力振幅 是可變參數(shù)外，其余參數(shù)都取定值，=0.3，=-1，=1，=1.2，得到下面的方程：

（3）

根據(jù)式（3）提供的杜芬振子的理論數(shù)學(xué)模型，利用Matlab軟件中的Simulink模塊進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真[3]，以模塊化設(shè)計(jì)思想為核心指導(dǎo)，對(duì)運(yùn)算單元進(jìn)行布局，設(shè)計(jì)模塊化的非線性動(dòng)力學(xué)方程。杜芬方程的Simlink模型如圖1所示，仿真相圖結(jié)果如圖2所示。

改變 的取值，觀察隨著時(shí)間變化的曲線可知，當(dāng) lt;0.3時(shí)，方程的解是周期振蕩的，并且隨著 的增大，解的周期也成倍增加;當(dāng) =0.2時(shí)，振蕩周期;當(dāng) =0.28時(shí)，;當(dāng) =0.2867時(shí)，;由此可以大膽的猜想，如果 繼續(xù)增大， 應(yīng)為，此時(shí)周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)闊o(wú)窮大振蕩，也就是說(shuō)不在是周期運(yùn)動(dòng)了，并且開(kāi)始出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。當(dāng) =0.32時(shí)，系統(tǒng)由倍周期分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)。

圖3可以觀察到，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的曲線都是閉合的。在周期振蕩圖（圖3 （a）～（b））過(guò)程中，振蕩周期為，對(duì)應(yīng)的相圖中就有n條走向相近的軌跡。圖3 （c）為混沌現(xiàn)象，它的運(yùn)動(dòng)軌跡看似雜亂無(wú)章。

上述過(guò)程，可以解釋為：受迫振蕩可以看成杜芬線性振子和外加周期力兩個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的疊加。當(dāng) 很小，線性振子系統(tǒng)與外加周期力的作用都很弱，系統(tǒng)就會(huì)處于周期振蕩狀態(tài)。當(dāng) 增大，外加周期力將處于主導(dǎo)地位，系統(tǒng)將會(huì)處于混沌狀態(tài)。

三、 Duffing系統(tǒng)的電路模擬

根據(jù)杜芬系統(tǒng)的Simulink仿真框圖1，建立對(duì)應(yīng)Multisim電路仿真模型[4]，確定所需要的元器件及其參數(shù)，可以得到理想的仿真效果。當(dāng)=1.2， =0.32，杜芬系統(tǒng)的模擬仿真電路圖如圖4所示，仿真相圖如圖5所示：

圖5的仿真結(jié)果與圖2中杜芬系統(tǒng)的Simlink仿真相圖進(jìn)行對(duì)比，輸出的相圖一致，表明該模擬電路符合要求。

參考文獻(xiàn)：

[1] Holmes P J，Rand D A. The difurcations of Duffings’ equatinn： an application of catastrophe theory [J].J Sound and Vibration，1976，44（2）：237-253.

[2]黃永念.非線性動(dòng)力學(xué)引論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010.

[3] 楊素行.模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)簡(jiǎn)明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[4]賈紅艷.混沌與超混沌系統(tǒng)模型分析及模擬電路研究[D].天津：南開(kāi)大學(xué)信息技術(shù)科學(xué)學(xué)院，2010.

作者簡(jiǎn)介：王玉璞（1985-），女，河北石家莊人，碩士研究生，現(xiàn)就職于遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，專(zhuān)業(yè)教師。