高中數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的探索

【摘 要】數(shù)形結(jié)合的思想是高中數(shù)學(xué)主要的數(shù)學(xué)思想之一，也是高考的出題方向。數(shù)形結(jié)合思想是貫穿高中課程的主線(xiàn)，它的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系和直觀(guān)的圖形結(jié)合起來(lái)，它包括以形助數(shù)和以數(shù)輔形兩個(gè)方面，并且滲透到各個(gè)章節(jié)的每一個(gè)角落。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 以數(shù)解形 以形助數(shù) 思想方法

【中圖分類(lèi)號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）26-0106-03

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，“數(shù)”與“形”及它們的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)研究永恒的主題。從“數(shù)”“形”兩個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析，既注重“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性，又充分發(fā)揮“形”的直觀(guān)性?！耙詳?shù)解形，以形助數(shù)”，也是高考中必考的思想方法，高中數(shù)學(xué)教材中處處都蘊(yùn)涵著數(shù)形結(jié)合的思想。

一 數(shù)形結(jié)合的思想方法對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要的作用

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法兩者有明顯的區(qū)別與聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想是我們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，是從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容以及對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)觀(guān)點(diǎn)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的思想。數(shù)學(xué)思想同時(shí)還應(yīng)包括關(guān)于數(shù)學(xué)概念、理論、方法和對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)和實(shí)施數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段，也是數(shù)學(xué)思想的反映。因此，數(shù)學(xué)方法是外顯的，數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的。數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法深刻，數(shù)學(xué)方法在實(shí)際運(yùn)用中往往層次越低操作性就越強(qiáng)。

可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法兩者相關(guān)性很強(qiáng)，我們?cè)诜治鼋鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想稱(chēng)為數(shù)學(xué)思想，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)操作過(guò)程稱(chēng)為數(shù)學(xué)方法。在高中數(shù)學(xué)教材中，高中數(shù)學(xué)知識(shí)較為抽象，就必須從更高層次使用和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)模式的有效使用，能夠使很多高中數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化和直觀(guān)化。

首先，數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)概念“數(shù)和形”，在滿(mǎn)足一定的數(shù)學(xué)條件下兩者可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。所以，“數(shù)和形”兩者的結(jié)合在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題中存在一定的連續(xù)性，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)模式的有效使用，能很好地找到解題的思路，從而將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

其次，由于高中學(xué)生對(duì)“數(shù)和形”兩者的結(jié)合理解不夠深刻，不僅造成高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維僵化，而且造成了高中學(xué)生在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不注重轉(zhuǎn)換思維方式，只會(huì)根據(jù)數(shù)學(xué)題目和問(wèn)題死板地思考問(wèn)題。從而導(dǎo)致學(xué)生缺乏隨機(jī)應(yīng)變的解決問(wèn)題的能力，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)處理一些比較直觀(guān)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而對(duì)那些比較抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生往往就無(wú)能為力。

最后，由于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度不一樣，這就造成他們的數(shù)學(xué)思維存在一定的差異性，這樣就導(dǎo)致學(xué)生對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和理解不盡相同，從而影響其解題方式，進(jìn)一步就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)思維陷入僵化的狀態(tài)，嚴(yán)重影響學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的培養(yǎng)。但是，采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，能夠有效地改變這一現(xiàn)狀。

由上可知，數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)模式的運(yùn)用，

對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有著極其重要的推動(dòng)作用。

二 教師應(yīng)如何把握高中教材數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法及內(nèi)容

數(shù)形結(jié)合的思想是高中數(shù)學(xué)主要的數(shù)學(xué)思想之一，也是高考的出題方向。數(shù)形結(jié)合思想是貫穿高中課程的主線(xiàn)，它的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系和直觀(guān)的圖形結(jié)合起來(lái)，它包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，它滲透到各個(gè)章節(jié)的每一個(gè)角落。直觀(guān)的感受讓我們形成了對(duì)事物的感性認(rèn)識(shí)，為我們加深理解定義概念和性質(zhì)打下了基礎(chǔ)，很多探索性的研究都是從圖形開(kāi)始的，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)非常重要的思想方法。

高中教材知識(shí)一：主要內(nèi)容為初步認(rèn)識(shí)集合和函數(shù)。集合中的數(shù)軸和韋恩圖都能形象直觀(guān)地表現(xiàn)圖像，幫助理解集合的定義和性質(zhì)，以及利用圖形完成某些子交并補(bǔ)集的運(yùn)算；是函數(shù)就能畫(huà)出函數(shù)圖像，由函數(shù)的圖像直觀(guān)地反應(yīng)它的各種概念和性質(zhì)，如可以通過(guò)圖像反映函數(shù)的三要素，觀(guān)察出它的單調(diào)性、奇偶性、周期性等很多內(nèi)容；我們對(duì)諸如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等的研究都離不開(kāi)圖形，函數(shù)解析式和圖像是兩種函數(shù)的表達(dá)方式，也正說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，也體現(xiàn)了它的重要性。

高中教材知識(shí)二：主要內(nèi)容為初步認(rèn)識(shí)立體幾何和解析幾何。我們知道立體幾何是研究空間的幾何體，理所當(dāng)然離不開(kāi)圖像；而解析幾何完成了一個(gè)“數(shù)與形”的完美結(jié)合，它是通過(guò)坐標(biāo)法來(lái)研究幾何性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科。我們可以用代數(shù)方法來(lái)研究直線(xiàn)和圓，它是“數(shù)與形”結(jié)合的思想方法之集中體現(xiàn)。

高中教材知識(shí)三：主要內(nèi)容為初步認(rèn)識(shí)算法和概率統(tǒng)計(jì)。算法章節(jié)中的程序框圖也是一種圖形，這種程序框圖直觀(guān)明了，它為我們能順利完成編程提供了依據(jù)；概率統(tǒng)計(jì)中的圖形，即幾何概型，它更是一個(gè)典型的代表，變量的相關(guān)性主要研究線(xiàn)性的問(wèn)題，當(dāng)然和直線(xiàn)圖形是離不開(kāi)的，因?yàn)樾蔚囊?，才使得我們的理解變得更加?jiǎn)單直觀(guān)。

高中教材知識(shí)四：主要內(nèi)容為三角函數(shù)與平面向量。我們從三角函數(shù)的定義和性質(zhì)可知，角就是一種圖形；平面向量的概念指既有大小和方向的量，真正體現(xiàn)了“數(shù)與形”的兩個(gè)特征，向量在三角、函數(shù)、解析幾何、立體幾何（空間向量）中有著重要的作用，向量是一種數(shù)學(xué)工具，是溝通數(shù)與形的橋梁，正是它將幾何和代數(shù)結(jié)合起來(lái)。

高中教材知識(shí)五：主要內(nèi)容為解三角形、數(shù)列和不等式。其中解三角形就是將三角函數(shù)和三角形結(jié)合起來(lái)，借助圖形，使兩者完美統(tǒng)一；數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，我們完全可以通過(guò)圖形來(lái)進(jìn)一步研究它的性質(zhì)，如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一次函數(shù)直線(xiàn)特征、求和公式的二次函數(shù)拋物線(xiàn)特征、等比數(shù)列的指數(shù)函數(shù)特征等；不等式中，可以通過(guò)圖形來(lái)加深理解均值不等式等內(nèi)容，在線(xiàn)性規(guī)劃中，圖形的重要性更是不言而喻。

以上僅僅就五個(gè)必修模塊做了分析，在選修系列各個(gè)模塊中都有涉及到數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，足以證明它的重要性，教師要把握好高中數(shù)學(xué)教材中“數(shù)形結(jié)合”內(nèi)容，同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生要借助圖形的生動(dòng)性和直觀(guān)性來(lái)分析題目；還要借助數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)找到解題思路。

“數(shù)形結(jié)合”的思想方法是高中數(shù)學(xué)課程的一條主線(xiàn)，它貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系。教師要在教學(xué)中，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。這對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握是非常重要的，但真正對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、生活和工作起著重要作用的，并使學(xué)生終身受益的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

三 在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)遵循的原則

第一，滲透性原則：教師在教學(xué)過(guò)程中，要密切結(jié)合教材，不斷地、一點(diǎn)一滴地再現(xiàn)有關(guān)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，逐步地加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是融合在數(shù)學(xué)知識(shí)、方法之中的，所以采用滲透方式要不失時(shí)機(jī)地抓住機(jī)會(huì)。

第二，漸進(jìn)性原則：教師在教學(xué)過(guò)程中，要結(jié)合兩個(gè)實(shí)際，即教材實(shí)際和學(xué)生實(shí)際，不同的教材內(nèi)容有不同的要求，不同的學(xué)生也有不同的要求，要講究層次，不能超越，要反復(fù)多次，一小步一小步地漸進(jìn)。

第三，發(fā)展性原則：教師在教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生通過(guò)一個(gè)階段的學(xué)習(xí)，在原有的基礎(chǔ)上有所提高，要求學(xué)生從“學(xué)會(huì)”變成“會(huì)學(xué)”，同時(shí)在思維能力方面要有所發(fā)展。

第四，學(xué)生參與原則：教師在教學(xué)過(guò)程中，必須要求學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中充分發(fā)揮他們的主體作用，遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，運(yùn)用他們自己的器官（五官、手、腦），通過(guò)他們自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)，去探索數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的真諦。

數(shù)學(xué)思想方法是教師在啟發(fā)學(xué)生思維的過(guò)程中慢慢積累和形成的。所以，教師在教學(xué)過(guò)程中，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生解決問(wèn)題以后的“反思”，因?yàn)樵谶@個(gè)過(guò)程中總結(jié)提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)才是容易體會(huì)、容易接受的。同時(shí)，教師在教學(xué)過(guò)程中，要注意滲透的長(zhǎng)期性，數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是一朝一夕就能見(jiàn)效的，而是要有一個(gè)循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)練的過(guò)程，只有經(jīng)過(guò)這樣的一個(gè)過(guò)程，才能使學(xué)生真正地有所領(lǐng)悟。正如華羅庚先生說(shuō)的：數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。

四 數(shù)形結(jié)合例題剖析

“數(shù)”與“形”及它們的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)研究永恒的主題。從“數(shù)”“形”兩個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析，既注重“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性，又充分發(fā)揮“形”的直觀(guān)性?！皵?shù)”就是方程、函數(shù)、不等式及表達(dá)式，代數(shù)中的一切內(nèi)容；“形”就是圖形、圖像、曲線(xiàn)等。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以“形”直觀(guān)地表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形。高中數(shù)學(xué)教材中處處都蘊(yùn)涵著數(shù)形結(jié)合的思想，下面舉例說(shuō)明：

數(shù)形結(jié)合例題一：

如果奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f（x）的[-7，-3]上是____。

A.增函數(shù)且最小值為-5 B.增函數(shù)且最大值為-5

C.減函數(shù)且最小值為-5 D.減函數(shù)且最大值為-5

“數(shù)形結(jié)合”例題二：

如果角θ是第二象限的角，且滿(mǎn)足cosθ -sin θ= ，那么角θ 是_____。

A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角

可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，包含以形助數(shù)和以數(shù)輔形兩個(gè)方面。即借助形的生動(dòng)和直觀(guān)性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，比如：函數(shù)的性質(zhì)借助函數(shù)的圖像來(lái)直觀(guān)地說(shuō)明；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的屬性，比如：曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)用曲線(xiàn)的方程來(lái)精確地闡明。因此，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解題時(shí)要注意兩點(diǎn)：（1）注意數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化前后的問(wèn)題應(yīng)是等價(jià)的；（2）注意利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性，才能得出正確的結(jié)論。

五 數(shù)形結(jié)合的方法是提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的重要法寶

第一，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式，有利于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)初中和高中的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行銜接和過(guò)渡。教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，要針對(duì)學(xué)生的實(shí)際數(shù)學(xué)知識(shí)水平來(lái)制訂課堂教學(xué)方法，而數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式正好符合這一要求。

第二，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生形象思維和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。由于高中數(shù)學(xué)的符號(hào)化、形式化和抽象性之特點(diǎn)，這給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來(lái)了很大的困難，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不感興趣。教師在對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，要有效合理地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，以提高學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式使得高中數(shù)學(xué)中很多問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單和形象，使得學(xué)生容易理解和掌握，同時(shí)又能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的興趣。

第三，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式，有利于提高學(xué)生分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。教師在對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，使用“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)方式，有助于學(xué)生分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的提高。主要體現(xiàn)在能夠在很大程度上幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。但是，學(xué)生要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，不是一朝一夕就能做到的，必須有雄厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技巧，同時(shí)要有一個(gè)循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)練的過(guò)程。只有這樣，學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合才能不斷深化提高。

總之，“數(shù)形結(jié)合”的思想方法是高中數(shù)學(xué)課程的一條主線(xiàn)，它貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系。教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，要向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)還要提高學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕