高中數(shù)學(xué)有關(guān)數(shù)列專(zhuān)題的研究

數(shù)列是高中階段的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，也是高考中占分比重較高的類(lèi)型。所以，為了讓學(xué)生更好地掌握有關(guān)數(shù)列的知識(shí)，提高學(xué)生的靈活運(yùn)用能力，同時(shí)，也為高考做好準(zhǔn)備工作，本文就對(duì)數(shù)列的專(zhuān)題進(jìn)行概述。

一、有關(guān)數(shù)列的概念試題

概念題是數(shù)列題中的基礎(chǔ)，其中包括了等差數(shù)列、等比數(shù)列以及等差數(shù)列的求和以及等比數(shù)列的求和四個(gè)大的方面。所以，在數(shù)列的專(zhuān)題復(fù)習(xí)中，概念試題的分析就成為第一項(xiàng)工作，也是解決其他試題類(lèi)型的基礎(chǔ)。

例如：（1）已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式a4=5，a5=4，則a9等于____。

（2）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=3an+2，a1=2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)的和。

分析：從（1）中可以看出，這類(lèi)題是數(shù)列中基礎(chǔ)的基礎(chǔ)，甚至可以說(shuō)是“白給分”的試題。這道題考查的是等差數(shù)列的概念，即an=a1+（n-1）d，通過(guò)已知條件a4=5，a5=4列出關(guān)于a1和d的二元一次方程組，繼而求出a9。這樣類(lèi)型的試題是最簡(jiǎn)單，也是最基礎(chǔ)的。

從（2）中可以看出，該題考查了兩個(gè)基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，不僅考查了數(shù)列的概念，也考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)知識(shí)。所以，該題在解答的時(shí)候，首先要根據(jù)已知的條件，即an+1=3an+2來(lái)判斷該數(shù)列是等比數(shù)列還是等差數(shù)列，即：an=3an-1+2，an+1=3（an-1+1），即{an+1}是以a1+1=3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。這樣按照概念便能求出最后的答案。詳細(xì)的解題過(guò)程略。

從上述的兩道練習(xí)題可以看出，數(shù)列基礎(chǔ)性試題相對(duì)來(lái)說(shuō)是比較簡(jiǎn)單的，雖然在高中不會(huì)單獨(dú)的進(jìn)行考查，但也穿插在綜合試題里，對(duì)提高學(xué)生的解題效率起著非常重要的作用。

二、有關(guān)數(shù)列與函數(shù)的試題

數(shù)列本身就是一種特殊的函數(shù)，有效地將數(shù)列與函數(shù)結(jié)合起來(lái)不僅能夠提高學(xué)生的知識(shí)綜合應(yīng)用能力，而且，也是高考中常見(jiàn)的題型，更是提高學(xué)生解題能力的重要方式。所以，在數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的試題練習(xí)中，我們要做好分析，挖掘題目的主要考查點(diǎn)。

例如：已知=（cos（πx/4），1），=（f（x），2sin（πx/4），∥，數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1/2，an+1=f（an）n∈N*

（1）證明：0

（2）已知an≥1/2，證明an+1-π/4an>。

（3）設(shè)Tn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，判斷Tn與n-3的大小。

該題目將數(shù)列、向量、函數(shù)三個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在了一起，這樣的練習(xí)不僅能夠提高學(xué)生知識(shí)的靈活運(yùn)用能力，而且，對(duì)學(xué)生解題能力的提高也有著密切的聯(lián)系。

分析：在（1）中可以借助假設(shè)法進(jìn)行證明，再借助sinx為增函數(shù)來(lái)證明結(jié)論正確。

在（2）（3）中則是通過(guò)將數(shù)列與函數(shù)結(jié)合進(jìn)行的考查，如，an+1-π/4an-=sinπ/2an-π/4an-（1/2≤an<1），令g（x）=sinπ/2an-π/4an-。之后，通過(guò)求導(dǎo)來(lái)找出g（x）的最小值，最后，證明結(jié)論正確。

（3）中，則是在（2）的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)Tn進(jìn)行轉(zhuǎn)變來(lái)進(jìn)行計(jì)算的。本文就不再展示詳細(xì)的解答過(guò)程，但是，從該題來(lái)看，數(shù)列知識(shí)比較容易和其他知識(shí)相結(jié)合，這樣就增加了數(shù)列的綜合性，也無(wú)形中給綜合性試題增加了難度。所以，數(shù)列綜合性試題相對(duì)來(lái)說(shuō)也是高考中比較常見(jiàn)的，這對(duì)提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力也起著重要作用。

當(dāng)然，除了上述的兩種題型之外，還包括等比數(shù)列與等差數(shù)列相結(jié)合，以及數(shù)列求極限的試題等等。在此不再進(jìn)行一一介紹。所以，在高中數(shù)列的專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)中，教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，使學(xué)生在自主分析、專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)中掌握基本的數(shù)列知識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

孟祖國(guó).高中數(shù)列的有效教學(xué)研究[D].華中師范大學(xué)，2011.

編輯 馬燕萍