通過對話“為什么”來闡明知識點后的知識

摘 要：針對目前課堂上強行灌輸知識點這一現(xiàn)象，以三角函數(shù)這一章的教學為例，通過拷問自己“為什么”來引發(fā)思考，最終以回復提問的形式闡明教師真正要教給學生的知識，如，窮則變、需載體、尋規(guī)律等，而非簡單的知識點。

關鍵詞：為什么；知識點；三角函數(shù)

一、引言

在最近一次“5.5誘導公式”的聽課活動中，授課教師布置了如下的三個任務：

任務一：回顧各象限角的三角函數(shù)值的正負號；

任務二：假設角a是銳角，試判斷下列角a+k·360°，-a，180°+a和180°-a所在的象限；

任務三：將書上的四組誘導公式按任務二得出的象限填入指定的平面直角坐標系內(nèi)，你會發(fā)現(xiàn)什么？

接著，在授課老師的幫助下，很快就出來了十字口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”。新授總共歷時15分鐘，該教學內(nèi)容共計四組十二個誘導公式就已全部介紹完畢！

數(shù)學應該是讓人變得更加聰明的，可反觀這樣的課堂，我好生擔憂。

這之后，我的思緒起了漣漪，再也無法靜下心來繼續(xù)聽下去，而我的心則一直在拷問自己：多年以后，當授課老師所教的知識褪去，學生還會剩下什么？

由此我想到的是，在日常的教育教學工作中，在有限的45分鐘里，我們在教給學生教學內(nèi)容中知識點的同時，更多的應該是滲透一種有用的知識，真正讓學生感悟到數(shù)學的智慧之美！

下面就以高等教育出版社出版的數(shù)學（基礎模塊）上冊第5章的三角函數(shù)為例，通過對話“為什么”，來談談知識點后的知識，不當之處，敬請批評指正。

二、知識點后的知識

本章教材共分7節(jié)：

第1節(jié) 角的概念的推廣

本節(jié)涉及的主要知識點有：任意角的概念、象限角和界限角、終邊相同的角。

提問1：為什么要將初中角的概念推廣？

提問2：為什么要在平面直角坐標系中研究角？

提問3：為什么要學終邊相同的角？

對話：

回復提問1：教材實例1中的摩天輪告訴我們，生活中角的度數(shù)早已超出了0°～360°的范圍；實例2中的活絡扳手則告訴我們，生活中的角還出現(xiàn)了方向性的問題（即逆時針和順時針）。為解決上述兩個問題，所以，對初中角的概念進行推廣。我想說的是，社會發(fā)展日新月異，不僅我們要緊跟時代的需要，連同我們所掌握的知識也要緊跟發(fā)展，而當我們所掌握的知識無法反映或解決生產(chǎn)、生活中的一些實際問題時，則必須要創(chuàng)新！因此，這個知識點后的知識是：窮則變！

回復提問2：教材中簡單的一句話“為了研究方便”就將這一提問掩蓋過去了，但事實并沒有解決。其實，我們本章的三角學是代數(shù)和幾何的交匯，而坐標法則是建立這兩者之間關系的橋梁，比如，后來的同角三角函數(shù)的基本關系式中的平方關系，就是利用坐標法和勾股定理共同得到的；再如，誘導公式、兩角和與差的余弦公式的推導等。我想說的是，任何一個事情的研究都需要一個相對適合，同時方便我們研究的平臺，比如電商需要互聯(lián)網(wǎng)，互聯(lián)網(wǎng)則需要計算機。因此，這個知識點后的知識是：需載體！

回復提問3：教材中的實驗讓學生發(fā)現(xiàn)木條會重復地在OB位置出現(xiàn)，重復出現(xiàn)的現(xiàn)象則說明該事物可能具有周期性，這也就是三角函數(shù)是周期函數(shù)模型的原因，因此，與角a終邊相同的角（包括角a在內(nèi)）都可以寫成“a+k·360°（k∈Z）”的形式，其實質是“初始角+整數(shù)×周期”，弄明白這一點，對于幫助學生理解教材中的例2有一定的作用。我想說的是，我們所處世界的很多事物都具有規(guī)律性，甚至是周期性，找到規(guī)律，對于我們縮短研究這些事物的進程很有幫助。因此，這個知識點后的知識是：尋規(guī)律！

第2節(jié) 弧度制

本節(jié)涉及的主要知識點有：弧度制的概念、角度與弧度之間的轉換、弧長公式。

提問1：為什么有了角度制還要弧度制？

提問2：為什么要學弧長公式？

對話：

回復提問1：教材問題中“因為度、分、秒采用的是60進位制，所以，在角度制下，計算兩個角的加、減運算時，經(jīng)常會帶來單位轉換上的麻煩，的確，這是原因之一，但絕不是主要原因，采用弧度制以后，每一個角都會對應唯一的一個實數(shù)，這在高等數(shù)學學習微分、積分以及泰勒公式時，一定程度上減少了較大的運算量。當然，我個人還認為，當角a的度量值是一個實數(shù)時，為三角函數(shù)圖象順利地畫入平面直角坐標系鋪平了道路。我想說的是，當一些事物開始在某些熟悉的領域大放異彩時，比如，二十世紀末的汽車、手機和計算機等，我們一定得改變自己并最終接納它們。因此，這個知識點后的知識是：目長遠！

回復提問2：弧長公式的出現(xiàn)很好地解釋了汽車公里數(shù)的計算。比如，要估算1小時自行車（半徑已測得）可以前進多少米，并不真的需要坐上去騎1小時然后測量，我們只需估算自行車1分鐘內(nèi)轉的圈數(shù)即可。我想說的是，世界上兩個量之間存在著某種關系，選擇一個比較容易控制或監(jiān)測的量，就可以計算出另一個量的變化。因此，這個知識點后的知識是：易入手！

第3節(jié) 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)

本節(jié)涉及的主要知識點有：任意角三角函數(shù)的定義、各象限角的三角函數(shù)值符號、界限角的三角函數(shù)值。

提問：為什么要學任意角的三角函數(shù)？

對話：

回復提問：初中所學的是銳角的三角函數(shù)，自角被推廣到任意角后，任意角的三角函數(shù)存在嗎？如果存在，是否也應及時跟上，只是完善的時候不應和原有的銳角三角函數(shù)相悖。我想說的是，新事物的出現(xiàn)，與其相生相克的事物也必須盡快跟上。比如，互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)，滋生了電商，但同時也應跟上互聯(lián)網(wǎng)的管理條例，使其健康茁壯成長。因此，這個知識點的后知識是：應同步！

第4節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關系

本節(jié)涉及的主要知識點有：同角三角函數(shù)的基本關系式。

提問1：為什么要引入單位圓？

提問2：為什么要學同角三角函數(shù)的基本關系？

對話：

回復提問1：單位圓的引入純粹就是為了簡化運算，使運算式子變得簡潔而美麗，在此后誘導公式的推導中顯得尤為突出，當然還有兩角和與差的余弦公式的推導。但作為教師，我們得讓學生更加明了，我們引入單位圓簡化運算的實質就是單位“1”的運用，這在很多地方都用得到。反觀生活，我想說的是，比如家里玻璃碎了，一時半會兒又找不到尺子，如何測量、購買？這個時候，伸出手，丈量一下需要幾只手即可，這種方法就是手這個單位“1”的大膽使用。因此，這個知識點后的知識是：單位“1”！

回復提問2：理解并掌握了同角三角函數(shù)之間的平方關系和商數(shù)關系，就可以只知其中一個三角函數(shù)值，求出另外兩個，這就是我們常說的知一求二，此與后來數(shù)列中的知三求二、解三角形中的知三求三屬同一款式。我想說的是，在明確幾個量之間的關系后，我們可以攜帶最少的信息量，而通過關系式來求得其他的量。因此，這個知識點后的知識是：輕上陣！

第5節(jié) 誘導公式

本節(jié)涉及的主要知識點有：誘導公式、計算器的使用。

提問1：為什么要學誘導公式？

提問2：為什么要學利用計算器求任意角的三角函數(shù)值？

對話：

回復提問1：教材其實已作出明確說明，新知識中公式（5.8），可以把任意角的三角函數(shù)轉化為0°～360°（即0°～90°，90°～180°，180°～270°，270°～360°）范圍內(nèi)角的三角函數(shù)；270°～360°范圍內(nèi)的角可以轉化為負角，再利用公式（5.9），就可以把負角的三角函數(shù)轉化為正角的三角函數(shù)；90°～180°和180°～270°范圍內(nèi)的角，分別利用（5.10），（5.11），可以把此范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)轉化為銳角的三角函數(shù)。我想說的是，任何繁雜事物的研究與學習，最終都應回歸到我們所熟悉的簡單領域，而只有在我們所熟悉的簡單領域，才可以把事情辦好、辦精。因此，這個知識點后的知識是：繁化簡！另外，我想補充的是，既然學習了弧度制，為何弧度制后面的教學內(nèi)容反復地出現(xiàn)角度制，如a+k·360，180±a等，這樣的做法似乎不太妥當。

回復提問2：很多老師怕學生使用計算器后，干脆不記特殊角的三角函數(shù)值了，可是，我們所處這個世界里的角很少是以特殊角的形式存在的，因此，解決問題絕不可能是記幾個特殊角的三角函數(shù)值就可以搞定的，而且查三角函數(shù)值表的年代也已經(jīng)一去不復返了，那么，這個時候，我們就必須掌握如何使用好我們手頭的計算器來更好地為我們服務。我想說的是，如果工具可以幫我們快速地解決問題，為什么不使用呢？比如，我們現(xiàn)在仍在使用的算盤。因此，這個知識點后的知識是：用工具！

第6節(jié) 三角函數(shù)的圖像和性質

本節(jié)涉及的主要知識點有：正弦函數(shù)的圖像和性質、余弦函數(shù)的圖像和性質。

提問1：為什么要畫三角函數(shù)的圖像？

提問2：為什么稱（0，0），（，1），（，0），（，-1），（2，0）為五個關鍵點？

對話：

回復提問1：講到數(shù)形結合，很多人會記起那句“形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時難直觀”，的確，畫出函數(shù)圖像對于幫助研究和理解函數(shù)的性質有很好的作用，這一點不僅老師要明白，學生也要知道。我想說的是，在每一次畫函數(shù)圖像的新授課中，老師應該帶著學生一同作圖，熟悉作圖的每一個步驟，最終精確制圖。因此，這個知識點后的知識是：圖真相！

回復提問2：教材新知識中“觀察發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)y=sinx在[0，2？仔]上的圖象中有五個關鍵點：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（2，0）”。我們來看，對于正弦函數(shù)y=sinx在[0，2]上的圖象來說，（0，0）是起點，（2，0）是終點，（，1）和（，-1）是拐點（即最值點），（，0）是零點，假如這樣稱呼，它們算得上關鍵點了嗎？我想說的是，任何事物的發(fā)展可能都會伴隨著這樣一些點的出現(xiàn)，而只要我們能把握住這些事物的關鍵點，事物就不會往最糟糕的方向發(fā)展。因此，這個知識點后的知識是：重關鍵！

第7節(jié) 已知三角函數(shù)值求角

本節(jié)涉及的主要知識點有：已知三角函數(shù)值，利用計算器求角。

提問1：為什么要學已知三角函數(shù)值求角？

提問2：為什么要結合誘導公式來求角？

對話：

回復提問1：有已知角求三角函數(shù)值，就會有已知三角函數(shù)值求角，和加減、乘除一樣，這一對互為逆運算。我想說的是，在某種特定條件下，假如有一天我們又定義了一種新的運算，必將伴隨著它的逆運算同時出現(xiàn)，這是肯定的。因此，這個知識點后的知識是：逆必存！

回復提問2：一個角對應一個三角函數(shù)值，這是函數(shù)；而一個三角函數(shù)值，卻有無數(shù)個角與之相對應，這不是函數(shù)（這一點結合函數(shù)圖象來說明，學生就會明白）。為了讓求角成為函數(shù)，并方便計算器計算后輸出，人類給它設定了輸出角的范圍，即-90°～90°，因此，如果求指定范圍（這里指超出-90°～90°）內(nèi)的角，那么，就必須要結合使用誘導公式。我想說的是，目前計算機能計算并輸出的都是有限的結果，而對于無限的結果尚無法完全做到，所以，任何時候，別忽視了自己的作用。因此，這個知識點后的知識是：善自己！

為了應試，數(shù)學課堂更多的時候只是在傳授知識點，而并非真的知識，也難怪學生畢業(yè)后一直嚷嚷著數(shù)學最沒有用了，而在授課中應該教給學生的思維方式、數(shù)學思想等，卻又往往最容易被忽視掉。今天，國家已經(jīng)走在教育改革的路上了，而作為教育教學工作者的我們，也是時候靜下心來搞教學，多問自己一句為什么，多教給學生一些知識，而非空洞的知識點，做到真正的授人以漁而非魚。

如果我們持之以恒，若干年后，哪怕已畢業(yè)的學生忘記了所有的知識點，我相信，我們所傳授的知識，不會在學生的身上全部褪去，或許這就是太極中所說的：無招勝有招！而這些知識，也將是人類進步的驅動力，希望那時候的學生會和伽利略說的一樣，自然界最偉大的書是由數(shù)學語言寫成的。

三、結束語

如果此刻的你也認同，期待你的參與，以知識點為載體來滲透，傳授我們的知識。

參考文獻：

[1]李廣全.數(shù)學教學參考書：基礎模塊.上冊版（修訂版）.北京：高等教育出版社，2013.

[2]李忠.為什么要使用弧度制[J].數(shù)學通報，2009（11）.

[3]甘志國.數(shù)學解題與研究叢書：教材教法[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2014.

編輯 魯翠紅