如何認識中國古代數(shù)學中的數(shù)和形

【摘 要】數(shù)和形概念的產(chǎn)生是數(shù)學的萌芽和起源，它們的發(fā)展進程奠定了早期古代數(shù)學科學形成的基礎。從數(shù)和形開始的中國早期古代數(shù)學，在發(fā)展過程中也伴隨著數(shù)學理念、思想的形成和發(fā)展。數(shù)和形的相關內(nèi)容和內(nèi)涵與古代人們的生活融為一體，對中國古代數(shù)學中數(shù)與形的認識應從社會整體角度來認識才會全面深刻。

【關鍵詞】中國 古代數(shù)學 數(shù)和形

【中圖分類號】O112 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）28-0121-02

一 中國早期數(shù)學中數(shù)與形的建立

學習和了解過中國古代數(shù)學的人們都會清楚地記得，人類“數(shù)”的概念首先是從“結繩記事”和“刻痕記數(shù)”開始。古代人從原始生活中收集到的小木棍、小石子，以及動物的牙齒、骨頭開始記數(shù)。而關于“形”的概念則是從原始生活中建造器具、修建簡易居住房屋開始的。

“數(shù)”的發(fā)展過程中，隨著殷墟甲骨文中的一、二、三文字的出現(xiàn)，各種秦漢竹簡中關于不同版本“九九表”的記錄和“九九歌訣”的廣泛流行，以及早期“十六進制”的創(chuàng)建應用，可以認為這些是中國早期數(shù)學中代數(shù)學的萌芽和形成；在這一個過程中“算籌”出現(xiàn)繼而有了完美的十進位位值制記數(shù)法，是中國的獨特創(chuàng)造，是世界其他古代民族所沒有的。而“形”的發(fā)展過程，從古代生活器具的形狀以及它們上面的花紋和圖案，到建筑房屋所形成的平面和立體的幾何形狀，各種形狀的房頂搭建，生活及生產(chǎn)中各種方形、梯形、三角形、圓形等，再到后來的各種準確測量和記錄，“割圓術”和“勾股定理”的推廣應用，這一切都奠定并建立了中國古代幾何學的基礎。

單純地從一些書籍和文獻來看中國的古代數(shù)學，會認為早期的中國古代數(shù)學中關于“數(shù)”和“形”的相關內(nèi)容不夠豐富，不夠充實，沒有形成基本的結構和框架，也沒有連續(xù)性和系統(tǒng)性。帶有這種想法和態(tài)度，就難以認識和體會到中國古代數(shù)學中“數(shù)”和“形”的廣度與深度，也難以認識到早期中國古代數(shù)學所形成的體系和發(fā)揮的作用，因而對中國古代數(shù)學的歷史地位和巨大貢獻就認識不足。

中國文字起源于象形文字，數(shù)字也不例外，如，在“河圖洛書”中，數(shù)用圖來表示，圖可以表示數(shù)。這說明數(shù)與形有時也沒有完全區(qū)別。

二 中國古代數(shù)學內(nèi)涵的非單一性

數(shù)和形的相關內(nèi)容和內(nèi)涵與古代人們的生活融為一體，不可分離。

在當時宗教與社會生產(chǎn)和生活緊密相聯(lián)系的時期，許多東西的含義不是單一的，具有多方面的意義，也不具有排他性，共生共存。許多后來被人們提煉出來的具有數(shù)學意義的內(nèi)容和抽象出來的具體數(shù)學表達形式，其實最開始出現(xiàn)的形態(tài)和內(nèi)涵并非來源于數(shù)學本身。首先這些內(nèi)容來源于古代人們對生活和生產(chǎn)的初步認識與總結，其次逐步上升到對事物內(nèi)在聯(lián)系的認知和世界觀的形成。如“道生一、一生二、二生三、三生萬物”，這是道家的哲學思想，一直影響著人們，至今仍是了解古代人們思維形成過程和思想進步的重要參照，它仍具有必然的歷史意義和現(xiàn)實意義。從哲學層面來看，它反映出一種遞增關系，是一種逐漸發(fā)展的過程；同時也是一種頭尾相連相互依存與相互回應的內(nèi)在關系，具有相互循環(huán)甚至等同的含義。從數(shù)學的角度來看，“一”和“萬”，首先它是一個“數(shù)”的概念，而且反映出了在“量”上的差異，但它不只反映出數(shù)字上的大與小、多與少，同時也可用一個數(shù)學式子將兩者聯(lián)系在一起。因而，這種思想內(nèi)涵既有哲學上的意義同時也具有數(shù)學意義。

三 一切人類文明結晶都是社會發(fā)展的必然產(chǎn)物，數(shù)學也不例外

每一個地域的古代文明，必然伴隨著大量文明智慧的結晶，從而形成了各具特色、豐富多彩的文化形態(tài)，今天去看待和解讀這些文明成果時，應具有一種開放的態(tài)度和全面的視角。

1974年陜西西安發(fā)掘出的秦始皇兵馬俑，這是一個具有時代意義的發(fā)現(xiàn)，它將2000多年前世界上先進的成就、偉大的文明展現(xiàn)在人們面前。僅對一號坑進行統(tǒng)計，就挖掘出了6000多個鎧甲俑，各種兵器、戰(zhàn)車等物品加在一起，數(shù)目巨大。在2000多年前的秦朝，如何統(tǒng)計這些“數(shù)”，如何計算這些物品，必將是一件十分復雜而困難的事情，其中必將包含有數(shù)學計算和其他數(shù)學原理的內(nèi)容?？梢韵胂?，若當時沒有一系列有效的統(tǒng)計方法，沒有一套較為準確的良好計算，今天人們就無法看到這個輝煌的成果，從單個的“數(shù)”到極其大量的“數(shù)量”。從數(shù)到數(shù)量，這是一個思維的形成和進步，這是一個質(zhì)的突破，一個內(nèi)涵上的飛躍。

單純地從甲骨文中的簡單數(shù)字，難以看到中國古代數(shù)學的全貌，其實從目前眾多的文物和史料中，可以不斷地豐富和發(fā)展人們對中國古代數(shù)學的認識，如：在成都金沙遺址中，可以看到3000多年前商周時期出土的眾多精美玉器，其優(yōu)美的曲線、曲面造型極具美感并具有數(shù)學意義。

四 文明特點及多樣化表達，不影響中國古代數(shù)學的成就

中華文明的特點之一就是在表達上的多樣化，許多數(shù)學意義和思想隱藏在文字的表達里面，數(shù)學方法與計算方式就少有體現(xiàn)，在古代時期更是如此，如用兵馬過萬、率眾人馬、不計其數(shù)等文字記載，來反映數(shù)量的多少。容易造成現(xiàn)代人在認識中國古代數(shù)學時有種“模糊”的感覺，在與其他的地域文明相比較時，感覺那些時期的數(shù)學內(nèi)容不夠豐富，體系形成得不夠完整與嚴謹，缺乏清晰和數(shù)字化的印象，其數(shù)學理論也沒有得到有效的建立，因而削弱了中國古代數(shù)學在人們心中的地位。然而，從早期出現(xiàn)的文明史料“河圖洛書”中可看到，盡管它不是專業(yè)性的源于數(shù)學的文明成果，但它確實具有十分豐富的數(shù)學內(nèi)容以及表現(xiàn)形式，從某種意義上講，今天在理解和研究“河圖洛書”時，更應該去探索它在數(shù)學發(fā)展上的重要性，以及當初形成時的數(shù)學思想脈絡以及思維發(fā)展的軌跡。這樣才會揭開歷史真相，還原古代人們的智慧光芒。就其現(xiàn)實意義來講，它所蘊藏的數(shù)學內(nèi)涵和思想是不可替代的，其歷史地位不可低估。這種思想的起源及延續(xù)深刻地影響著人們的思維方向，為人類后來在數(shù)學領域中建立和發(fā)展出的幻方、數(shù)獨和群論等數(shù)學學科起到了奠基的作用。中國最早的數(shù)學文獻實物《算表》，利用乘法交換律原理，能夠快速計算100以內(nèi)的兩個任意整數(shù)的乘積，還能夠計算包含特殊分數(shù)“半”的兩位數(shù)乘法，被認為是目前發(fā)現(xiàn)的最早的實用算具。《算表》產(chǎn)生的春秋戰(zhàn)國時期是中國傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展的一個高潮，而且為傳統(tǒng)數(shù)學的第一個高潮提供了佐證。

五 早期形成的潛在數(shù)學思想和方法今天仍有意義

同樣用秦始皇兵馬俑來認識當時的“形”，戰(zhàn)車車身的直線和立方體，車輪的圓弧線和圓柱體，在當時，這些物體的造“形”如此精美，鑄造得如此細致，沒有杰出的數(shù)學知識和方法是無法達到的。

兵馬俑中關于馬匹形狀的造型，以及秦朝以前商周時期的各種青銅器的形狀造型，只從某些局部就能看到那是一些復雜的曲面，早已不是平面幾何所能解決的問題，用今天的立體幾何來看，仍是十分復雜的圖形，用解析幾何來認識，將會是十分復雜的曲線方程和曲面方程。目前仍具有啟迪和借鑒意義，也為后來中國在形的方面的突破奠定了基礎。例如，在臺北故宮博物院中，至今珍藏著清朝時期的眾多物品，其中，一個用象牙制作的球圖形雕刻十分精美，象牙球內(nèi)外共計24層，各層均可旋轉(zhuǎn)，且各層造型獨特。

在數(shù)形結合方面也用得非常巧妙，例如勾股定理的證明，通過構造一個“弦圖”來進行證明，就是數(shù)形轉(zhuǎn)換的一個極好的例子。此外，在用數(shù)形結合的方法上用得也非常廣泛，如，劉徽的“牟合方蓋”模型。祖暅在劉徽的基礎上推導出球體體積的正確公式，并提出“冪勢既同，則積不容異”的體積原理，即二立體等高處截面積均相等則二體體積相等的定理。

六 從社會整體角度來認識才會全面深刻

“數(shù)”和“形”的發(fā)展與中國古代社會發(fā)展同步，這個過程也體現(xiàn)出社會文明進步的過程。同時由于古代社會整體的生產(chǎn)力低下，人類的認知水平和智力發(fā)展的局限性，一切活動均是為了人類自身的簡單生存而進行的生產(chǎn)和生活。在中國古代，不可能形成單獨的數(shù)學學科，更不可能有意識地總結、提煉、歸納、綜合那些涉及到數(shù)學的相關知識和內(nèi)容。

從“數(shù)”和“形”開始的中國早期古代數(shù)學，在形成和發(fā)展過程中也伴隨著數(shù)學理念和思想的形成發(fā)展，包裹在人們社會生活中的數(shù)學內(nèi)容和方法，我們在認識中國古代數(shù)學時，不能簡單孤立地從中抽離出來，在今天認識和解讀時，必將回歸到當時的環(huán)境和狀態(tài)中，只有從古代整體社會和人們生活這一切入點，才能科學客觀、全面深入地認識中國古代數(shù)學的成就和意義。

參考文獻

[1]研究發(fā)現(xiàn)中國最早數(shù)學文獻實物《算表》[EB/OL].

http：//www.chinanews.com/cul/2014/01-07/5707900.shtml

〔責任編輯：龐遠燕〕