把握數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì) 促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)

2014年10月，臨安市舉行了數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)比武活動(dòng)，我作為評(píng)委之一有幸參與了錦城區(qū)的評(píng)比工作。其中有四位教師選擇了二年級(jí)上冊(cè)的“有序排列”這一教學(xué)內(nèi)容。對(duì)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)不同的理解和把握產(chǎn)生了不同的教學(xué)過(guò)程和教學(xué)效果，引發(fā)了我很多思考。

片段：情景導(dǎo)入，（前部分省略）出示中國(guó)地圖：

師：相鄰的兩個(gè)省份用不同的顏色來(lái)表示很容易區(qū)分，使人一眼就能看出。（圖略）

師：我們學(xué)校也有東、西兩個(gè)校區(qū)，請(qǐng)你用紅、黃兩種顏色來(lái)表示，有幾種不同的表示方法。

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生：東校區(qū)涂紅色，西校區(qū)涂黃色；或者東校區(qū)涂黃色，西校區(qū)涂紅色兩種。

師：如果老師想用紅黃藍(lán)三種顏色來(lái)表示東、西兩個(gè)校區(qū)，有幾種不同的涂法呢？

從紅黃藍(lán)三種顏色中選出兩種，給兩個(gè)校區(qū)涂上不同的顏色。

學(xué)生自主操作涂色，教師有意識(shí)地選取兩個(gè)學(xué)生的作品（一個(gè)涂了四種，一個(gè)涂了七種）展示。

師：你覺(jué)得他們涂得對(duì)嗎？為什么？怎樣才能做到不重復(fù)、不遺漏呢？說(shuō)說(shuō)你是怎樣涂的。從而引出了交換法和定位法。

課后與執(zhí)教老師進(jìn)行交流，我問(wèn)為什么選擇這個(gè)內(nèi)容進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，而不用教材上的例題。教師的回答是教材上的例題太簡(jiǎn)單，學(xué)生很容易得出這六個(gè)數(shù)，探究的價(jià)值不大，而用這個(gè)內(nèi)容有一定的難度，有利于探究活動(dòng)的開(kāi)展。這是老師的真實(shí)想法。老師的這種想法，引發(fā)我很多的思考。有序排列的教學(xué)重點(diǎn)是通過(guò)探究活動(dòng)，找到有序排列的基本策略，建構(gòu)有序排列的數(shù)學(xué)模型，而并非通過(guò)復(fù)雜的材料探究出排列的種類(lèi)。所以想要把握一個(gè)教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，必須要把握好教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，即透過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)書(shū)面的、靜態(tài)的符號(hào)形式，聯(lián)想到蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法、知識(shí)的發(fā)生發(fā)展歷史、社會(huì)生活應(yīng)用情境、學(xué)生的潛在經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知活動(dòng)過(guò)程等。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)不僅僅是單一的、靜態(tài)的符號(hào)形式，更是數(shù)學(xué)思想方法、語(yǔ)言、文化的整體的、動(dòng)態(tài)的綜合體現(xiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升必須在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過(guò)程中，感悟知識(shí)，形成技能，體驗(yàn)思想方法，獲得積極的情感體驗(yàn)。于是我在教學(xué)中設(shè)計(jì)了這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)。

一、把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)是一種思維方式，是一種“數(shù)學(xué)化”的思維方式，因此數(shù)學(xué)的魅力不僅在于它的精確計(jì)算，而在于它是一種思維方式，把具體的問(wèn)題上升到抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，再通過(guò)解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題將其應(yīng)用到具體的問(wèn)題解決中。這個(gè)過(guò)程被稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)思維就是一種模式化的思維方式。所以我們?cè)诮虒W(xué)有序排列時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生建立有序排列的數(shù)學(xué)模型。

片段一

情景導(dǎo)入：

師：今天老師要帶同學(xué)們一起去數(shù)學(xué)城堡游玩，大家喜歡嗎？可是進(jìn)入數(shù)學(xué)城堡要用密碼才能開(kāi)啟大門(mén)。提示：密碼是由1和2組成的一個(gè)兩位數(shù)，它有幾種可能？

生：12或者交換位置21兩種可能。

師：還有其他可能嗎？我們來(lái)試試吧。啊，密碼原來(lái)是21。大門(mén)打開(kāi)了，我們來(lái)到了數(shù)學(xué)宮殿。要進(jìn)入數(shù)學(xué)宮殿又要密碼才能開(kāi)啟大門(mén)。

提示：密碼是由1、2、3三個(gè)數(shù)中的兩個(gè)數(shù)組成的兩位數(shù)，這個(gè)密碼有幾種可能？每個(gè)同學(xué)在作業(yè)紙上試一試，寫(xiě)一寫(xiě)。

反饋：大家都寫(xiě)好了，我們來(lái)看看這兩位小朋友寫(xiě)得對(duì)嗎？

（1）12、23、13、21

生：少寫(xiě)了好幾個(gè)。

師：你認(rèn)為有幾個(gè)？他漏寫(xiě)了哪幾個(gè)？再看第二個(gè)同學(xué)寫(xiě)的。他寫(xiě)對(duì)了嗎？

（2）12、13、23、21、31、32、13

生：不對(duì)，13這個(gè)數(shù)重復(fù)了。

師：我們?cè)谂帕械臅r(shí)候不能重復(fù)，也不能漏寫(xiě)。怎樣才能做到不重復(fù)、不遺漏呢？

學(xué)生1演示：12、21、13、31、23、32

師：大家仔細(xì)看他取卡片的時(shí)候有規(guī)律嗎？是怎樣取的？（從小到大依次取的）。排數(shù)字的時(shí)候是怎樣排的？你能給你的方法取個(gè)名字嗎？（出示交換法）

師：誰(shuí)有和他不一樣的方法？上來(lái)給大家演示一下。

生2演示：12、13、21、23、31、32

師：大家仔細(xì)看他取卡片的時(shí)候有規(guī)律嗎？是怎樣取的？（從小到大依次取的）。排數(shù)字的時(shí)候是怎樣排的？你能給你的方法取個(gè)名字嗎？（出示定位法）

師：還有不一樣的方法嗎？

生3演示：21、31、12、32、13、23

師：說(shuō)說(shuō)你是怎樣排的。

教師總結(jié)：剛才三位小朋友上來(lái)給大家演示了他們的排列方法，有一個(gè)共同點(diǎn)就是都是按從小到大的順序依次來(lái)取卡片的，從而保證不重復(fù)、不遺漏。

建構(gòu)主義認(rèn)為：“教學(xué)，歸根到底是一種幫助和促進(jìn)人成長(zhǎng)的努力?！币饧唇虒W(xué)工作是為了幫助學(xué)生參與知識(shí)建構(gòu)，而非讓學(xué)生記住結(jié)果。學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)完成建構(gòu)的過(guò)程，必須以學(xué)習(xí)者原有的經(jīng)驗(yàn)、心理結(jié)構(gòu)等為基礎(chǔ)，教學(xué)需要找準(zhǔn)學(xué)生的“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”。從“學(xué)生的現(xiàn)實(shí)”去尋找教學(xué)素材，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，還能夠更好地提示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、把握數(shù)學(xué)的基本原則，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的基本原則就是求真、求簡(jiǎn)、求美。即把原本比較復(fù)雜的事物通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法變得簡(jiǎn)單，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的魅力。

片段二

師：到底是哪一個(gè)密碼呢？請(qǐng)看提示：密碼是這一列數(shù)中從小到大排在第四個(gè)的那個(gè)數(shù)，誰(shuí)能很快找到它？

■

生：是23。

師：他找對(duì)了嗎？說(shuō)說(shuō)從哪種方法的排列中更容易找到它？為什么？

教師總結(jié)：定十位法不僅取卡片的時(shí)候是按從大到小取的，而且排成的兩位數(shù)也是從大到小依次排列的，更能看出它的有序性。

教師在這個(gè)環(huán)節(jié)中首先通過(guò)對(duì)比，突出了用定十位法的優(yōu)越性，更能體現(xiàn)出排列的有序性。

片段三

師：打開(kāi)了數(shù)學(xué)宮殿的大門(mén)，這個(gè)宮殿真美啊，沈×、陳×、王×是好朋友，想在宮殿前拍照留念，如果每?jī)蓚€(gè)人都要拍一張，一共有幾種不同的排列方法？請(qǐng)?jiān)谧鳂I(yè)紙上排一排。

反饋：說(shuō)說(shuō)你是怎樣排的。

生1：沈×、陳×/陳×、沈×/沈×、王×/王×、沈×/陳×、王×/王×、陳×

生2：沈×、陳×/沈×、王×/陳×、沈×/陳×、王×/王×、沈×/王×、陳×

我們可以用交換法和定位法找到這六種排列，但要寫(xiě)這么多名字比較麻煩，誰(shuí)有更簡(jiǎn)潔的方法來(lái)表示呢？

生：我可以給他們寫(xiě)上號(hào)碼，再來(lái)排列。1號(hào)是沈×，2號(hào)是陳×、3號(hào)是王×，我就可以排成12、21、13、31、23、32。

師：真聰明，他把生活中的拍照問(wèn)題，用編號(hào)的方法就轉(zhuǎn)化成我們數(shù)學(xué)上的數(shù)字排列問(wèn)題了，又快又簡(jiǎn)單。

教師把生活中拍照的有序排列問(wèn)題與數(shù)學(xué)中有序排列的數(shù)學(xué)模型有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)。

教師在教學(xué)中要深入鉆研教材，同時(shí)高于教材，用一些更高的觀點(diǎn)來(lái)理解、把握教學(xué)內(nèi)容。教師可以通過(guò)還原數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)生過(guò)程，還原數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展歷史，著眼數(shù)學(xué)知識(shí)的本原意義，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的體系結(jié)構(gòu)等，把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。

？誗編輯 王夢(mèng)玉