例談高中數(shù)學(xué)探究的內(nèi)容選擇

摘 要：數(shù)學(xué)探究已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教師的常見教學(xué)行為，經(jīng)過了十多年的思考，今天的數(shù)學(xué)探究應(yīng)當(dāng)存在，但卻不能只是追求探究的形式. 將數(shù)學(xué)探究以更自然的形式存在于日常的數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中，是數(shù)學(xué)探究生命力重要的彰顯方式. 從數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想三個(gè)角度研究數(shù)學(xué)探究，是打造數(shù)學(xué)探究新常態(tài)的應(yīng)然舉措.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；探究內(nèi)容；選擇

盡管相對(duì)于課程改革開始的那段時(shí)間而言高中數(shù)學(xué)教學(xué)沒有那么熱鬧了，但在那段時(shí)間里積淀下來的一些教學(xué)思想?yún)s實(shí)實(shí)在在地影響著今天的數(shù)學(xué)教學(xué)，其中一個(gè)重要的內(nèi)容就是數(shù)學(xué)探究. 對(duì)于數(shù)學(xué)探究的意義，自然已經(jīng)不必再多說，但對(duì)于如何有效地開展數(shù)學(xué)探究，卻依然是一個(gè)重要的話題. 當(dāng)然，如何開展數(shù)學(xué)探究是一個(gè)范圍較大的話題，在這個(gè)話題當(dāng)中，對(duì)于探究內(nèi)容的選擇是一個(gè)重要的方面. 本文試圖就此再展開一些討論. 需要說明的是，在對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的思考日趨理性的今天再談這個(gè)話題，并不是為了完善探究的形式，并不是為了追求課堂的好看，自然也不是回過頭來重溫淺顯探究的舊夢(mèng)，而是為了在有效教學(xué)的語境之下，能夠讓數(shù)學(xué)探究更好地成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一種新常態(tài).

[?] 知識(shí)探究，高中數(shù)學(xué)探究的重要基石

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，尤其是對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，其所包括的豐富的知識(shí)，已經(jīng)成為其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)，從表面來看，數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用是其他理科的基礎(chǔ)，從實(shí)質(zhì)來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的思維尤其是邏輯思維成為其他幾乎所有學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 也正是由于這種工具性，使得很多場合下對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)變得很直接，這種直接又往往演變成講授式教學(xué)，從而使得數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)少有探究的味道. 然而，無論是從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度來看，還是從學(xué)生生成數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來看，數(shù)學(xué)知識(shí)的探究都應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)探究的基本內(nèi)容，知識(shí)探究應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)探究的重要基石.

先來看一個(gè)例子：“三角函數(shù)的周期性”知識(shí)的教學(xué). 在教材中，三角函數(shù)的周期性是通過這樣的語言呈現(xiàn)的：由單位圓中的三角函數(shù)線可知，正弦、余弦函數(shù)值的變化呈現(xiàn)出周期現(xiàn)象，每當(dāng)角增加（或減少）2π，所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正弦、余弦函數(shù)值也分別相同……這樣的描述一般來說能夠?qū)W(xué)生說懂，但從數(shù)學(xué)探究的角度來看，可能也失去了一次引導(dǎo)學(xué)生探究的機(jī)會(huì).

作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)知道周期性在三角函數(shù)中的地位與作用，因而學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)周期性的理解，也決定了后續(xù)很多數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí). 那么，對(duì)于周期性概念的建立，是不是可以以數(shù)學(xué)探究的方式來進(jìn)行呢？在筆者看來，是可以的，也是有一定的必要性. 作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，如果讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到探究可以使其深化對(duì)該知識(shí)的理解，那探究就是應(yīng)當(dāng)實(shí)施的. 筆者進(jìn)行了以問題鏈推動(dòng)學(xué)生探究的嘗試，設(shè)計(jì)的問題鏈?zhǔn)牵骸叭呛瘮?shù)是刻畫圓周運(yùn)動(dòng)的模型”這句話如何理解？三角函數(shù)與圓周運(yùn)動(dòng)是什么關(guān)系？在單位圓中是如何表現(xiàn)函數(shù)值的？函數(shù)值與單位圓中角的終邊是什么關(guān)系？終邊在單位圓中的變化范圍是多少？這種變化范圍對(duì)于函數(shù)值來說意味著什么？……在這樣的問題推進(jìn)之下，學(xué)生的思維會(huì)將三角函數(shù)與圓周運(yùn)動(dòng)與單位圓聯(lián)系起來，而終邊的變化范圍這個(gè)問題又會(huì)將學(xué)生的思維由靜引向動(dòng)，從而在他們的大腦中有可能出現(xiàn)一幅角的終邊在單位圓上運(yùn)轉(zhuǎn)的圖象，而這就為周期性的理解奠定了堅(jiān)實(shí)的思維基礎(chǔ). 等學(xué)生建立了周期性的概念之后，再回過頭來與學(xué)生回憶這一過程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的得出應(yīng)當(dāng)是思維的結(jié)果，是探究的結(jié)果.

這一過程并不需要太長的時(shí)間，也沒有刻意的探究痕跡，更多的是在學(xué)生的思維中營造一個(gè)探究的情境，當(dāng)然也是向?qū)W生傳遞一種數(shù)學(xué)探究的思想. 需要說明的是，在這一數(shù)學(xué)知識(shí)的探究中，沒有太多的探究形式，更多的是一種探究的思維與探究的思想. 這也是筆者在對(duì)數(shù)學(xué)探究進(jìn)行了很長時(shí)間的思考后的一個(gè)重要收獲. 筆者以為，像一些基本的數(shù)學(xué)概念等，數(shù)學(xué)探究的展開不必非要是大規(guī)模的探究活動(dòng)，而完全是可以基于學(xué)生思維的探究過程. 在這個(gè)過程中，有問題的提出，有問題的分析與解決，有問題解決后的反思與總結(jié)，那學(xué)生經(jīng)歷的就是一個(gè)小而精的探究過程，收獲的不僅有數(shù)學(xué)知識(shí)，還有數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過程.

[?] 方法探究，高中數(shù)學(xué)探究的深層追求

數(shù)學(xué)方法是除數(shù)學(xué)知識(shí)之外另一個(gè)重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，相對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)而言，方法更多的是一種數(shù)學(xué)思維的過程——也就是說，數(shù)學(xué)方法對(duì)于學(xué)生而言，不是教師口頭中的語言描述，也不是寫在紙面上的文字描述，而是體現(xiàn)在學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考的過程當(dāng)中. 從這個(gè)角度講，方法更多的表現(xiàn)在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用過程當(dāng)中. 筆者以為，數(shù)學(xué)方法的探究，應(yīng)當(dāng)遵循“鹽在湯中”的原則. 在這個(gè)隱喻里，“鹽”是指數(shù)學(xué)方法，“湯”是指數(shù)學(xué)知識(shí)，而將鹽有效地溶于湯中的途徑即所謂探究，也應(yīng)當(dāng)通過問題的設(shè)計(jì)與提出來進(jìn)行.

舉一個(gè)例子，在“雙曲線的漸近線”教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于教師講授下的漸近線知識(shí)理解也不會(huì)出現(xiàn)太大的困難，但在實(shí)際教學(xué)中筆者總感覺學(xué)生對(duì)該知識(shí)的記憶顯得有些機(jī)械，對(duì)類似知識(shí)的也缺乏一種有效的整合. 而事實(shí)上這又不能責(zé)怪學(xué)生，因?yàn)橐延械膶W(xué)習(xí)習(xí)慣決定了當(dāng)前的高中學(xué)生很少有主動(dòng)比較并整合數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)與能力. 于是筆者嘗試在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些探究.譬如筆者向?qū)W生提出問題：為什么雙曲線有漸近線而橢圓和拋物線等卻沒有呢？

事實(shí)證明，這一問題可以有效地打開學(xué)生的探究思路，他們會(huì)在問題的驅(qū)動(dòng)之下去比較雙曲線與橢圓和拋物線的圖象以及解析式，而比較的結(jié)果又往往是不能直接回答上述問題的. 于是探究會(huì)自然地邁向縱深：漸近線是如何定義的？漸近線引入的意義是什么？這一定義如果放到橢圓或者拋物線中去，又會(huì)出現(xiàn)什么樣的情形？對(duì)于第一個(gè)問題，學(xué)生可以通過回憶或者查詢課本得到，但此時(shí)學(xué)生會(huì)更深入地思考其含義——點(diǎn)沿曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)、無限接近、但不相交等關(guān)鍵描述的含義會(huì)更加清晰；對(duì)于第二個(gè)問題，往往需要教師的幫助，當(dāng)教師解釋漸近線在建筑、工件制造等過程中均有所運(yùn)用時(shí)，學(xué)生能夠明白漸近線并不純粹是數(shù)學(xué)家思維的產(chǎn)物，其在生產(chǎn)實(shí)際中也有重要的應(yīng)用；而第三個(gè)問題則是假設(shè)性的問題，由于前面兩個(gè)問題尤其是第一個(gè)問題的回答，學(xué)生顯然會(huì)認(rèn)識(shí)到某點(diǎn)在橢圓上無論如何運(yùn)動(dòng)，也無法與某直線無限逼近，因而這條直線是不存在的，故它們并沒有漸近線.

又如在“對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”的教學(xué)，一般是教師對(duì)原函數(shù)與反函數(shù)進(jìn)行比較，讓學(xué)生在教師的比較中“生成”欲學(xué)內(nèi)容的，但這樣的教學(xué)思路有一個(gè)明顯的不足就是，學(xué)生所經(jīng)過的機(jī)械對(duì)比學(xué)習(xí)過程，并不能讓看似順利得到的數(shù)學(xué)知識(shí)有深刻的理解. 于是筆者嘗試借助于“數(shù)形結(jié)合”，讓學(xué)生直接經(jīng)歷一個(gè)新的函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究過程. 在實(shí)際探究的過程中，學(xué)生會(huì)借助于反函數(shù)與原函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱的已有知識(shí)，在坐標(biāo)系上先行作出指數(shù)函數(shù)的圖象（同時(shí)回憶性質(zhì)，可以采用小組合作的方式進(jìn)行），在這一過程中，學(xué)生的注意力卻不集中于這一奠基性的工作上，而集中于如何通過對(duì)稱的特點(diǎn)去發(fā)現(xiàn)并描述對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn). 學(xué)生頭腦中的問題有：原函數(shù)和反函數(shù)關(guān)于哪條直線對(duì)稱？對(duì)稱后的圖象是什么樣子？其性質(zhì)應(yīng)當(dāng)如何描述？在這一過程中，既有問題驅(qū)動(dòng)，又有自發(fā)的新舊知識(shí)的比較與對(duì)新知識(shí)的描述……經(jīng)過這樣的探究，學(xué)生能夠自行收獲對(duì)數(shù)函數(shù)的大部分知識(shí)，教師只要再做適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥即可. 如此生成的知識(shí)，學(xué)生的理解要深得多.

[?] 思想探究，高中數(shù)學(xué)探究的必需營養(yǎng)

談到數(shù)學(xué)方法的探究，就不能不說數(shù)學(xué)思想. 在數(shù)學(xué)探究中，數(shù)學(xué)思想顯得有些高大上，很多時(shí)候教師在課堂上甚至感覺有些難以啟口. 筆者以為，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，談數(shù)學(xué)思想應(yīng)當(dāng)是理直氣壯的，不能空洞地談，要結(jié)合具體的實(shí)際來談. 而結(jié)合數(shù)學(xué)探究來談數(shù)學(xué)思想，則是一種比較好的選擇.

事實(shí)上，盡管上面兩點(diǎn)將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法分開來闡述，但實(shí)際的數(shù)學(xué)探究過程中，兩者卻常常是并存的. 在學(xué)生經(jīng)過有效的數(shù)學(xué)方法探究得到數(shù)學(xué)知識(shí)之后，在學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)的探究過程更好地理解了數(shù)學(xué)方法之后，教師就可以通過對(duì)數(shù)學(xué)探究進(jìn)行總結(jié)的機(jī)會(huì)來談?wù)剶?shù)學(xué)思想了. 譬如說上面提到的“數(shù)形結(jié)合”思想，自然不必在探究之前或者探究的過程中跟學(xué)生說“這就叫數(shù)形結(jié)合”，因?yàn)檫@容易打斷學(xué)生的探究思維過程. 但在探究結(jié)束之后，卻需要回過頭來跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，說其重要一是因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的對(duì)象就是數(shù)與形，二是因?yàn)閿?shù)與形都具有高度的抽象性，三是因?yàn)閿?shù)與形具有數(shù)學(xué)意義上的互相描述性，四是由數(shù)及形、由形及數(shù)往往是一種常用的數(shù)學(xué)探究思路.

對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的探究，更多的時(shí)候教師可以將數(shù)學(xué)思想隱藏在有形的探究過程之后，只要讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想的存在，那也算是探究的一種方式，盡管學(xué)生不知道，但營養(yǎng)卻是存在的.